清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一

积分曲线族 通 解y f ( x, C )对 应 于 xy平 面 上 的 一 族 曲 线 ， 称 为 积 分 曲 线 族.
2019/6/1
14
二、 一阶常微分方程的 初等积分法
• 所谓初等解法,就是用不定积分的方法求解 常微分方程.
• 初等解法只适用于若干非常简单的一阶常 微分方程,以及某些特殊类型的二阶常微分 方程.
dy

1
y x
dx x y
dx 1 y
这两个方程的共同特点是什麽 ?
x
可化为 dy g( y ) dx x
齐次型方程
2019/6/1
21
齐次型方程 dy g( y ) dx x
求解方法
令 u y x
即
y xu
dy u x du
dx
dx
代入得到
du g(u) u dx x
18
记 C eC1 , 则 有
y Ce x2 (C 0)
注意：y 0 也是方程的解!
(分离变量时,这个解被丢掉了!)
故C也 可 以 等 于 零
于是得到方程 dy 2xy dx
通解 y Cex2 (C R)
2019/6/1
19
(2) [解]
1 y2 3x2 y dy dx

y0
dy

dx
x x0

y1
有n个

定解条件
d n1 y
dx y 2019/6/1
n1
n1
x x0
13
定义5: ( 积分曲线 与积分曲线族)
常 微 分 方 程 的 每 一 个 解 都 是 一 个 一 元 函 数 y f ( x) 或 是 F ( x, y) 0 ( 隐式解), 它的图形称为该常微分 方 程 的 一 条 积 分 曲 线.
通 解 u(t ) A Cekt k
u(0) A C 1 C 1 A
k
k
特 解 u(t ) A (1 A )e kt
k
k
2019/6/1
12
n阶微分方程的定解问题
F( x,
y,
dy , , dx
dny dxn ) 0

y
x x0
分离变量
y dy 1 y2

dx 3x2
两端积分, 得 1 2 1 y2 1 C
2
3x
通解
注意：
1 y2 1 C 3x
y2 1 ,即y 1也是方程的解!
奇异解
2019/6/1
20
(二) 可化为可分离变量
[例2] dy y tan y
dx x x [例3] dy x y
2019/6/1
15
(一) 变量可分离型 dy f ( x)g( y)
dx
或 f ( x) dx g( y) dy
(二) 可化为可分离变量
(三) 一阶线性方程
dy p( x) y q( x) dx
(四) 伯努利(Bernoulli)方程
(五) 全微分方程 M(x, y)dx N(x, y)dy 0
性质5：
如 果 y*( x) 是 非 齐 次 方 程(1)的 一 个 解 ， y( x)是 齐 次 方 程(2)的 一 个 解,则 y*( x) y( x) 是 非 齐 次 方 程(1)的 解.
2019/6/1
30
一阶线性微分方程
a( x) dy b( x) y c( x) 0 dx
2019/6/1
17
(1) [解]
dy 2xy dx
分离变量 两边积分
1 dy 2x dx y

1 y
dy


2x
dx
ln y x2 C1 即 y e x2C1 e e x2 C1
当y 0时, y eC1ex2
当 y 0时, y eC1ex2
2019/6/1
是p(x)一个原函数 不是不定积分！
设 y1( x) 是 y' p( x) y 0的一个非
零解, 则通解 y Cy1( x)
2019/6/1
32
(2)用常数变异法解非齐次方程
dy p( x) y q( x) (1) dx
dy p( x) y 0 dx
对 应 于(1)的
(2) 齐次方程
(六) 积分因子
2019/6/1
16
(一) 分离变量法
[例1] 解 方 程
(1) dy 2xy dx
这两个方程的共同特点 是变量可分离型
(2) 1 y2 3x2 y dy dx
dy

f ( x)( y)
分离变量
g( y)dy
f (x)dx
dx
两边积分 g( y)dy f (x)dx 通解
2019/6/1
6
定义2: ( 微分方程的阶 ) 未知函数的导数的最高阶数称为
微分方程的阶.
例如
d 2
dt 2


m
d
dt

g
l

0
二阶
n阶微分方程的一般形式
F(
x,
y,
dy dx
, ,
dny dxn
)

0
2019/6/1
(1)
7
定义3: ( 线性与非线性)
未知函数及其各阶导数都是一次整式的微分 方程称为线性微分方程.
23
取指数并且脱去绝对值
sinu eC1x Cx (C 0)
由此又得到
y x arcsin(Cx) (C 0)
注意: y 0 也是原方程的一个解, 所以可以有C 0
通解 y x arcsin(Cx) (C R)
2019/6/1
24
[例3] dy x y dx x y
齐次
an( x) y 0 (2)
2019/6/1
28
(一)线 性 方 程 的 性 质
性质1：线 性 齐 次 方 程( 2) 必 有 零 解 。
性质2：若y y( x)是线性齐次方程(2)的解,则 y Cy( x)亦是(2)的解(C为任意常数)。
性质3：如果 y1( x)与 y2( x) 是线性齐次方程(2)
的 解, 则 它 们 的 任 意 线 性 组 合
y C1 y1( x) C2 y2( x)
都是方程(2)的解, 其中C1, C2 为任意常数.
2019/6/1
29
性质4：
如果 y1( x), y2( x) 是非齐次方程(1)的解, 则 y1( x) y2( x) 是齐次方程(2)的解.
阻 力:
2019/6/1
F2 v
切向分力 重力 4
根据牛顿第二定律,得到
m dv v mgsin
dt
注意到 v(t) l d
dt
从而有
d 2
dt2


m
d
dt

g l
sin

0
当 1时, sin ,所以有
微分方程
初始条件 定解条件
2019/6/1
这可是分什离麽变 方量程方？程！
2019/6/1
22
[例2]的 解: dy y tan y
dx x
x
令 u y 则 dy u x du , 代入得到
x dx
dx
u x du u tanu
dx
分离变量
cot udu dx
x
两端积分
2019/6/1
ln | sinu | ln | x | C1
称为微分方程的通解.
2019/6/1
9
例如: 一阶微分方程 du ku A dt
函数 u(t) A ekt是一个解 k
对 于 任 意 常 数C, 单 参 数 函 数 族
u(t) A Cekt k
是微分方程的通解
( du ku Ckekt A Ckekt A)
(2) 的通解为 y Ce p( x)dx Cy1( x)
假定(1)的解具有形式
y C( x) y1( x)
将这个解代入(1) , 经计算得到
2019/6/1
33
C( x) y1( x) C( x) y1 '( x)
p( x)C( x) y1( x) q( x)
y1( x) 是（2）的解，
1 2
ln(u2

2u

1)


ln
x

ln
C1
u2

2u 1
C x2
通解 y2 2xy x2 C
2019/6/1
26
[例4] 求 y' cos( x y) 的通解。
[解] 令 x y u , 1 y' u'
则u' 1 cos u
du dx 1 cos u

1
du cos
u


dx

du 2 sin2
u


dx
2
通解 cot x y x C
2
2019/6/1
27
(三) 一阶线性微分方程
n阶线性微分方程
y(n) a1( x) y(n1) an1( x) y
非齐次
an( x) y f ( x) (1)
y(n) a1( x) y(n1) an1( x) y
标准形式：
dy

p(x) y

非
q( x) 齐
dx
次
dy dx

p( x) y

0
齐 次
(1) 如何解齐次方程？
dy p( x) y 0 dx
可什分麽类离型型？！
2019/6/1
31
分离变量
dy p( x)dx y
解得 y ce p( x )dx 齐次通解
注意： 齐次通解的结构：
8
定义4: ( 微分方程的解)
如 果 把 函 数y y( x) 代 入 方 程(1)后 使 方 程 成 为 恒 等 式,则 称 函 数y y( x) 是 微 分 方 程(1)的 一 个 解.
微分方程的通解：
n阶 常 微 分 方 程(1)的 包 含n 个 独 立 的
任意常数的解y f ( x, C1, , Cn )
作业
P227 习题 8.1
1(2)(4)(6)(8). 4.
P236 习题 8.2
1(2)(4)(6).
2019/6/1
1
第二十一讲 简单常微分方程(一)
一、微分方程的基本概念
二、一阶常微分方程
2019/6/1
2
一、微分方程的基本概念
十七世纪末，力学、天文学、物理 学及工程技术提出大量需要寻求函数 关系的问题。在这些问题中，函数关 系不能直接写出来，而要根据具体问 题的条件和某些物理定律，首先得到 一个或几个含有未知函数的导数的关 系式，即微分方程，然后由微分方程 和某些已知条件把未知函数求出来。
2019/6/1
3
[例1] 一 个 质 量 为m的 小 球,系 在 线 的 一 端,
线 的 另 一 端 系 在 墙 上,线 的 长 度 等 于l.将
小 球 拉 开 一 个 小 角 度, 松 手 使 小 球 摆 动.
求 小 球 的 运 动 规 律. o
[解] 设小球线速度为v(t).

切向分力:F1 mg sin
n 阶 线 性 常 微 分 方 程 的 一般 形 式
a0 ( x)
dny dxn

a1( x)
d n1 y dx n1


an1
(
x
)
dy dx
an( x) y
f (x)
不 是 线 性 方 程 的非 称线 为性微分方程
例 如 dy 2 y是 一阶 非线 性微 分方 程 dx
2019/6/1


e

p(
x )dx
(C

q(
x
)e

p(
x
)dx
dx
)
非齐次通解
x
x
或
y ex0 p( x)dx (C
x
q(
x )e x0
p(
x )dx
dx)
x0
2019/6/1
35
给 y( x0 ) y0 得 C y0
C( x) y1 '( x) p( x)C( x) y1( x) 0 化简得到 C( x) y1( x) q( x)
即 C( x) q( x)e p( x)dx
2019/6/1
34
积分 C( x) q( x)e p(x)dx C
从而得到非齐次方程(1)的通解
y
dt
2019/6/1
10
通解有时也写成隐式形式
[ x, y( x), C1, C2, , Cn] 0
称为微分方程的通积分
微分方程的特解： 一个常微分方程的满足定解条件
的解称为微分方程的特解
2019/6/1
11
例如: 一阶微分方程定解问题
du ku A dt u(0) 1
[解] 令 u y , y ux , y' u xu' x
则u xu' 1 u 即 xu' 1 2u u2
1u
1u
1u 1 2u
u2
du

1 x
dx
凑微分
2019/6/1
25
1 2
d(u2 1 2u
2u u2
1)

1 x
dx
两端积分
得
d 2
dt2


m
d
dt

g
l

0
(t) t 0
0,
d
dt
t0
1
定 解 问 题
5
定义1: 含有未知函数的导数的方程 称为微分方程.
未知函数是一元函数,含有未知函数的导数 的微分方程称为常微分方程.
例如
d 2
dt 2


m
d
dt

g
l
0
Байду номын сангаас
未知函数是多元函数,含有未知函数的 偏导数的微分方程称为偏微分方程.