压轴题01 函数性质的综合运用(原卷版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)

压轴题01函数性质的综合运用
函数是高中数学的主干，也是高考考查的重点，而函数的性质是函数的灵魂，它对函数概念的理解以及利用函数性质来解决相关函数问题起到十分重要的作用．此外在高考试题的考查中函数的性质也是常见题型．
考向一：利用奇偶性、单调性解函数不等式考向二：奇函数+M 模型与奇函数+函数模型考向三：周期运用的综合运用
1.单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x ；②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若()
f x是增函数，则()
f x
-为减函数；若()
f x是减函数，则()
f x
-为增函数；
②若()
f x和()
g x均为增(或减)函数，则在()
f x和()
g x的公共定义域上()()
f x
g x
+
为增(或减)函数；
③若()0
f x>且()
f x为增函数，
1
()
f x
为减函数；
④若()0
f x>且()
f x为减函数，
1
()
f x
为增函数．
2.奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数()
f x是偶函数⇔函数()
f x的图象关于y轴对称；
函数()
f x是奇函数⇔函数()
f x的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数()
y f x
=在0
x=处有意义，则有(0)0
f=；
偶函数()
y f x
=必满足()(||)
f x f x
=.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数()
f x的定义域关于原点对称，则函数()
f x能表示成一个偶函数与一个奇
函数的和的形式.记
1
()[()()]
2
g x f x f x
=+-，1
()()()]
2
h x f x f x
=--，则()()()
f x
g x
h x
=+.
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()
f x
g x f x g x f x g x f x g x
+-⨯÷.
对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；
奇()
⨯÷奇=偶；奇()
⨯÷偶=奇；偶()
⨯÷偶=偶.
(7)复合函数[()]
y f g x
=的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1
()()1
x x a f x m a -=+．
②函数()()x x f x a a -=±-．③函数2()log log (1)a
a x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m
-==-++
④函数()log )a f x x =或函数()log )a f x x =．注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x
m f x m x a =+≠-或函数2()()1
x m
f x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+．②函数()lo
g (1)2
mx a mx
f x a =+-
．③函数(||)f x 类型的一切函数．④常数函数3.周期性技巧
()()()()
211();()2()()()()
2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=
+=-+=-+=--+=-⎧-⎨
+=-⎩+=-⎧⎨
⎩+=--⎧-⎨
+=--⎩函数式满足关系（）
周期为偶函数
)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x a
f x +=--⎧⎨
⎩+=-⎧-⎨
+=--⎩+=-⎧⎨
⎩+=--⎧⎨
⎩为奇函数为奇函数
为偶函数
4.函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；
（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；
（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数
()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.
5.对称性技巧
（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-．
（2）若函数()y f x =关于点()a b ，
对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关
于原点对称．
1．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知函数()222
e e 287
x x f x x x --=++-+则不等式()()232f x f x +>+的解集为（
）
A．1(1)3
--，
B．1
(,1)(,)
3-∞--+∞ C．1(1)3-，
D．1
(,(1,)
3
-∞-⋃+∞2．（2023·安徽宣城·统考二模）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=．若()3f x +为奇函数，3
22
g x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
为偶函数，且()03g =-，()12g =，则
()20231
i g i ==∑（
）
A．670B．672C．674D．676
3．（2023·甘肃定西·统考一模）定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，
当0x >时，()0f x <，则不等式()()22
530f x f x x -+-<的解集为（
）
A．5,3
⎛⎫
-∞ ⎪
⎝
⎭
B．51,2⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭C．()5
,1,2
⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
D．5,3
⎛⎫+∞ ⎪
⎝⎭
4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知函数()()lg 122x x
f x x -=-++，
则不等式()()12f x f x +<的解集为（）A．()(),11,-∞-⋃+∞B．()
2,1--C．()()
,21,-∞-+∞ D．()
()
1
,1,3-∞-⋃+∞5．（2023·内蒙古·模拟预测）已知()f x 是定义在[]4,4-上的增函数，且()f x 的图象关于点()0,1对称，则关于x 的不等式()()23350f x f x x +-+->的解集为（）
A．()
,1-∞B．()
1,+∞C．(]
1,7D．(]
1,2
6．（2023·广西梧州·统考一模）已知定义在R 上的函数()f x 在(,1]-∞上单调递增，若函数(1)f x +为偶函数，且(3)0f =，则不等式()0xf x >的解集为（）
A．(1,3)
-B．(,1)(3,)-∞-⋃+∞C．(,1)(0,3)
-∞-⋃D．(1,0)(3,)
-+∞ 7．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0
x >时，()()2
ln 1f x x x =++，则不等式()211ln2f x +>+的解集为（
）
A．{1}∣<x x B．{0}x x <∣C．{1}x
x >∣D．{0}x
x >∣8．（2023·福建泉州·校考模拟预测）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果()31f =-，则不等式()110f x -+≥的解集为（
）
A．](2-∞，
B．[)2，
+∞C．[]24-，
D．[]14，
9．（2023·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知函数
()(
3
2e log e 1
x
x f x x =++在[],(0)k k k ->上的最大值与最小值分别为M 和m ，则
M m +=（）A．2-B．0
C．2
D．4
10．（2023·江西南昌·统考一模）已知函数()()3
51
12
=-+
f x x ，若对于任意的[]2,3x ∈，不等式()()21+-≤f x f a x 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．()
,2-∞B．(]
,2-∞C．()
,4-∞D．(]
,4∞-11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()e e 2x x
f x x x -=-++在区间[]22-,
上的最大值与最小值分别为,M N ，则M N +的值为（）
A．2
-B．0
C．2
D．4
12．（2023·全国·高三专题练习）若对x ∀，R y ∈．有()()()4f x y f x f y +=+-，则函数
22()()1
x
g x f x x =
++在[2018-，2018]上的最大值和最小值的和为（）
A．4B．8C．6
D．12
13．（多选题）（2023·浙江杭州·统考二模）已知函数()f x （x ∈R ）是奇函数，
()()2f x f x +=-且()12f =，()f x '是()f x 的导函数，则（
）
A．()20232f =B．()f x '的一个周期是4C．()f x '是偶函数
D．()11
f '=14．（多选题）（2023·安徽滁州·统考二模）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()
g x f x '=，若1
2f x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，()1g x +均为奇函数，则（
）
A．()00
f =B．()00
g =C．()()
14f f -=D．()()
14g g -=15．（多选题）（2023·吉林·统考三模）设定义在R 上的可导函数()f x 与()g x 导函数分别为()f x '和()g x '，若()()212f x g x x =-+，()1f x +与()g x 均为偶函数，则（）
A．()11g '=B．()20220323g =-'C．()24
f '=-D．99
1
198
100i f i =⎛⎫
= ⎪⎝'⎭∑16．（多选题）（2023·海南海口·校考模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 在(],2-∞上单调递增，且()2f x +为偶函数，则（）
A．()f x 的对称中心为()2,0B．()f x 的对称轴为直线2x =C．()()
14f f -<D．不等式()()34f x f x +>的解集为()
1,1,5
⎛⎫
-∞+∞ ⎪⎝
⎭ 17．（多选题）（2023·广东佛山·佛山一中校考一模）设函数()y f x =的定义域为R ，且满足(1)(1)f x f x +=-，(2)()0f x f x -+-=，当[]1,1x ∈-时，()1f x x =-+，则下列说法正确的是（
）
A．()1y f x =+是偶函数
B．()3y f x =+为奇函数C．函数()lg =-y f x x 有8个不同的零点
D．()2023
11
k f k ==∑18．（2023·江西吉安·统考一模）已知函数()f x 的定义域为R ,其导函数为()g x ,若函数(22)f x +为偶函数,函数(1)g x -为偶函数,则下列说法正确的序号有___________.①函数()f x 关于2x =轴对称;②函数()f x 关于(1,0)-中心对称;
③若(2)1,(5)1f f -==-,则(26)(16)=3g f +-;
④若当12x -≤≤时,1()e 1x f x +=-,则当1417x ≤≤时,17()e 1x f x -=-.
19．（2023·陕西榆林·统考一模）已知函数()f x 是定义在()2,2-上的增函数，且()f x 的图象关于点()0,2-对称，则关于x 的不等式()()240f x f x +++>的解集为__________.
20．（2023·全国·校联考模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数a ，
b 都有()()()1a a b b f f f +=+-，且当0x >时，()1f x >．若()23f =，则不等式
()
212f x x --<的解集为______．
21．（2023·江西赣州·高三统考阶段练习）已知()f x 是定义在[]4,4-上的增函数，且()f x 的图象关于点()0,1对称，则关于x 的不等式()()23350f x f x x +-+->的解集为
______.
22．（2023·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）已知()f x 是定义在()5,5-上的增函数，且()f x 的图象关于点()0,1-对称，则关于x 的不等式()()211320f x f x x ++-++>的解集为_________．
23．（2023·江苏常州·高三校联考开学考试）已知函数()2e e e e
x x
x x f x x ---=++，则不等式
()()21122f x f x x ++-<+的解集为__________.
24．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，
()1f x +是奇函数，且()()12f x g x -+=，()()32f x g x +-=，则下列结论正确的是
______．（只填序号）①()f x 为偶函数；②()g x 为奇函数；③()20
140k f k ==∑；
④()201
40k g k ==∑.
25．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知函数
()(
3
2e log e 1
x
x
f x x =++在[](),0k k k ->上的最大值与最小值分别为M 和m ，则函数()()()3
1g x M m x M m x -=+++-⎡⎤⎣⎦的图象的对称中心是___________.
26．（2023·全国·高三专题练习）设函数()()
)2
21ln
1
x x
f x x ++=+的最大值为M ，
最小值为N ，则M N +的值为________。