高考数学复习学案(第12讲)：函数的图像

高考数学复习学案12：函数的图像

高考要求：

1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法

2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题

3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．

4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力

知识点归纳：

1．作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。

2．三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；

3．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．

4．平移变换：（1）水平平移：函数

()

y f x a

=+的图像可以把函数()

y f x

=的图像沿x轴方向向左(0)

a>

或向右(0)

a<平移||a个单位即可得到；

（2）竖直平移：函数

()

y f x a

=+的图像可以把函数()

y f x

=的图像沿x轴方向向上(0)

a>或向下(0)

a<

平移

||a个单位即可得到．

① y=f(x)

h

左移

→y=f(x+h); ② y=f(x)

h

右移

→y=f(x-h);

③y=f(x)

h

上移

→y=f(x)+h; ④y=f(x)

h

下移

→y=f(x)-h.

5．对称变换：（1）函数

()

y f x

=-的图像可以将函数()

y f x

=的图像关于y轴对称即可得到；

（2）函数

()

y f x

=-的图像可以将函数()

y f x

=的图像关于x轴对称即可得到；

（3）函数

()

y f x

=--的图像可以将函数()

y f x

=的图像关于原点对称即可得到；

（4）函数

1()

y f x

-

=的图像可以将函数()

y f x

=的图像关于直线y x

=对称得到．

①y=f(x)

轴

x

→y= -f(x); ②y=f(x)

轴

y

→y=f(-x);

③y=f(x)

a

x=

→

直线

y=f(2a-x); ④y=f(x)

x

y=

→

直线

y=f-1(x);

⑤y=f(x) 原点

→y= -f(-x).

6．翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；

（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．

7．伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；

（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或

压缩（01a <<）为原来的1

a 倍得到． ①y=f(x)ω

⨯→x y=f(ωx );② y=f(x)ω

⨯→y y=ωf(x).

以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点． 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点． 题型讲解：

1．作函数图象的一个基本方法

例1函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（ A ）

解：∵函数()()y f x g x =⋅的定义域是函数()y f x =与()y g x =的定义域的交集(,0)(0,)-∞+∞，图像不

经过坐标原点，故可以排除C 、D 。

由于当x 为很小的正数时()0f x >且()0g x <，故()()0f x g x ⋅<。 ∴选A.

例2 说明由函数2x

y =的图像经过怎样的图像变换得到函数3

21x y --=+的图像．

解：方法一：

（1）将函数2x y =的图像向右平移3个单位，得到函数3

2x y -=的图像； （2）作出函数32x y -=的图像关于y 轴对称的图像，得到函数3

2x y --=的图像；

（3）把函数32x y --=的图像向上平移1个单位，得到函数

321x y --=+的图像． 方法二：

（1）作出函数2x y =的图像关于y 轴的对称图像，得到2x

y -=的图像；

（2）把函数2x y -=的图像向左平移3个单位，得到3

2

x y --=的图像；

（3）把函数32x y --=的图像向上平移1个单位，得到函数

321x y --=+的图像． 例3设曲线C 的方程是3

y x x =-，将C 沿x 轴、y 轴正方向分别平移t 、s (0)t ≠个单位长度后得到曲线1C ，

（1）写出曲线1C 的方程；

（2）证明曲线C 与1C 关于点(,)

22t s

A 对称；

（3）如果曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，证明：2

4t s t

=-．

解：（1）曲线1C 的方程为

3

()()y x t x t s =---+； （2）证明：在曲线C 上任意取一点111(,)B x y ，设222(,)B x y 是1B 关于点A 的对称点，则有