重庆市主城区2024届高三上学期第一次学业质量检测试题 数学含解析

高2024届学业质量调研抽测（第一次）
数学试卷（答案在最后）
（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若复数z 满足(1i)2i z ⋅+=-，其中i 为虚数单位，则z z +等于（）
A.i
B.i
- C.1
D.1
-2.已知集合{
}2
2530A x x x =-++≥，{}
2B x x =∈≤N ，则A B ⋂的真子集个数为（）
A.3
B.4
C.7
D.8
3.2023年10月31日，神州十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x ，众数为y ，则（
）
A.88,90x y ==
B.83,90x y ==
C.83,85
x y == D.88,85
x y ==4.英国著名数学家布鲁克·泰勒（Taylor Brook ）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：
357sin 3!5!7!
x x x x x =-+-+⋯，其中!123n n =⨯⨯⨯⨯ ．根据该展开式可知，与357
22223!5!7!-+-+ 的
值最接近的是（）
A.sin 2︒
B.sin 24.6︒
C.cos 24.6︒
D.cos 65.4︒
5.已知某社区居民每周运动总时间为随机变量X （单位：小时），且(
)2
5.5,X N σ
~，(6)0.2P x >=．现
从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（）
A.0.642
B.0.648
C.0.722
D.0.748
6.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()1212f x x f x f x +=+，且0x >时，()0f x <，则关于x 的不等式()()2
20f x f x +≥的解集为（
）
A.[]2,0-
B.[]
0,2C.
(][)
,20,-∞-+∞ D.
(][)
,02,-∞⋃+∞
7.过点P 作圆22:4150C x y x +--+=的两条切线，切点分别为,A B ，若PAB 为直角三角形，
O 为坐标原点，则OP 的取值范围为（
）
A.
(22+ B.
(44-
+
C.22⎡-+⎣
D.44⎡-+⎣8.2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，
是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（）
A.50
B.36
C.26
D.14
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.已知3515a b ==，则下列结论正确的是（）
A.lg lg a b
> B.a b ab
+=C.1122a
b
⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
D.4
a b +>
10.已知函数()3
2
e 2x
f x x x ax =+--，则()f x 在()0,∞+有两个不同零点的充分不必要条件可以是
（）
A .
e 2e 1
a -<<- B.e 1e a -<<C.e e 1
a <<+ D.e 1e 2
a +<<+11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为,F O 为坐标原点，其准线与x 轴交于点M ，经过点M 的直线l 与抛物线交于不同两点()()1122,,,A x y B x y ，则下列说法正确的是（）
A.5OA OB ⋅=
B.存在50AMF ∠=︒
C.不存在以AB 为直径且经过焦点F 的圆
D.当ABF △的面积为
时，直线l 的倾斜角为
π6
或
5π
612.如图，在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11C D 的中点，M 是线段1A E 上的一点，则下列说法正确的是（
）
A .
当M 点与1A 点重合时，直线1AC ⊂平面ACM
B.当点M 移动时，点D 到平面ACM 的距离为定值
C.当M 点与E 点重合时，平面ACM 与平面11CC D D 夹角的正弦值为
3
D.当M 点为线段1A E 中点时，平面ACM 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面面积为
32
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知向量,a b 满足2,3,25a b a b ==-= ，则⋅=
a b ________．
14.已知()()2sin cos cos20,0,0f x a x x b x a b ωωωω=⋅+>>>的部分图象如图所示，当3π0,
4x ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
时，
()f x 的最大值为________
．
15.已知点F 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为3π的直线交椭圆于,P Q
两点，FP FQ FP FQ +=-
，则该椭圆的离心率为________．
16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，记2222
123n n T a a a a =++++ ，则n T =________；
若数列{}n b 满足3203n n b T n =--，则123n b b b b ++++L 的最小值是________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.在梯形ABCD 中，//,AB CD ABC ∠为钝角，2,4AB BC CD ===
，sin 4
BCD ∠=．（1）求cos BDC ∠；
（2）设点E 为AD 的中点，求BE 的长．
18.已知首项为正数的等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，满足412S S S =⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()1
1
4cos πn n n n b n a a ++=⋅
⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
19.实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近6年产值情况，数据如下表所示：
年份201820192020202120222023编号x 123456产值y /百万辆
9
18
30
51
59
80
（1）若用模型e bx y a =⋅拟合y 与x 的关系，根据提供的数据，求出y 与x 的经验回归方程（精确到0.01）；
（2）为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S 店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望，参考数据：
6
6
1
1
20.88,80.58i
i i i i u
x u ====∑∑，其中ln i i u y =．
参考公式：对于一组数据(),(1,2,3,,)i i x y i n = ，其经验回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率截距的最小二乘估计
分别为1
2
2
1
ˆˆ,n
i
i
i n
i
i x y
nx y b a
y bx x
nx ==-⋅=
=--∑∑．20.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB AP =
，
,6,45AB AD AB AD CD CDA ⊥+==∠=︒
．
（1）若E 为PB 的中点，求证：平面PBC ⊥平面ADE ；
（2）若平面PAB 与平面PCD
所成的角的余弦值为6
．（ⅰ）求线段AB 的长；
（ⅱ）设G 为PAD 内（含边界）的一点，且2GB GA =，求满足条件的所有点G 组成的轨迹的长度．
21.已知点M 为圆22:(2)4C x y -+=上任意一点，
()2,0B -，
线段MB 的垂直平分线交直线MC 于点Q ．（1）求Q 点的轨迹方程；
（2）设过点C 的直线l 与Q 点的轨迹交于点P ，且点P 在第一象限内．已知()1,0A -，请问是否存在常数λ，使得PCA PAC λ∠=∠恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由．
22.（1）已知函数()()e x
n f x x n =+，（,e n +∈N 为自然对数的底数），记()n f x 的最小值为n a ，求证：
2
1
1
e e n
i i a =>
-∑；
（2）若对()()
11,,e 12ln 0ax
x a x x x ∞⎛⎫
∀∈++-+
≥ ⎪⎝
⎭
恒成立，求a 的取值范围．
高2024届学业质量调研抽测（第一次）
数学试卷
（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若复数z 满足(1i)2i z ⋅+=-，其中i 为虚数单位，则z z +等于（）
A.i
B.i
- C.1
D.1
-【答案】C 【解析】
【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求出z ，再结合共轭复数的意义求解即得.【详解】依题意，2i (2i)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222z ----====-++-，则13
i 22
z =+，所以1z z +=.故选：C
2.已知集合{
}2
2530A x x x =-++≥，{}
2B x x =∈≤N ，则A B ⋂的真子集个数为（）
A.3
B.4
C.7
D.8
【答案】C 【解析】
【分析】求出集合A 、B ，可求出集合A B ⋂，可得出集合A B ⋂的元素个数，即可得出A B ⋂的真子集个数.
【详解】因为{
}{
}
2
2
1
2530253032A x x x x x x x x ⎧⎫=-++≥=--≤=-
≤≤⎨⎬⎩
⎭
，{}
{}{}2220,1,2B x x x x =∈≤=∈-≤≤=N N ，则{}0,1,2A B = ，
所以，A B ⋂的真子集个数为3217-=.故选：C.
3.2023年10月31日，神州十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x ，众数为y ，则（
）
A.88,90x y ==
B.83,90x y ==
C.83,85x y ==
D.88,85
x y ==【答案】D 【解析】
【分析】首先0.05a =，再根据百分位数和众数的计算方法即可.【详解】由题意得()0.0050.030.015101a +++⨯=，解得0.05a =，因为0.050.30.35+=，0.050.30.50.85++=，则0.350.750.85<<，
则样本数据的75%分位数位于[)80,90，则()0.35800.050.75x +-⨯=，解得88x =，因为样本数据中位于成绩[)80,90之间最多，则众数为8090
852
y +==，故选：D .
4.英国著名数学家布鲁克·泰勒（Taylor Brook ）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：
357sin 3!5!7!
x x x x x =-+-+⋯，其中!123n n =⨯⨯⨯⨯ ．根据该展开式可知，与357
22223!5!7!-+-+ 的
值最接近的是（）
A.sin 2︒
B.sin 24.6︒
C.cos 24.6︒
D.cos 65.4︒
【答案】C
【解析】
【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断即可.【详解】原式(
)()sin 2sin 257.3sin 90
24.6cos 24.6=≈⨯=+=
，
故选：C .
5.已知某社区居民每周运动总时间为随机变量X （单位：小时），且(
)2
5.5,X N σ
~，(6)0.2P x >=．现
从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（）
A.0.642
B.0.648
C.0.722
D.0.748
【答案】B 【解析】
【分析】根据正态分布的对称性结合概率的乘法公式即可.
【详解】由题意得( 5.5)0.5P x >=，则(5.56)0.50.20.3P x <<=-=，则(56)0.320.6P x <<=⨯=，
则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为2
2
3
3
33C 0.60.4C 0.60.648⨯+=,故选：B .
6.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()1212f x x f x f x +=+，且0x >时，()0f x <，则关于x 的不等式()()2
20f x f x +≥的解集为（
）
A.[]2,0-
B.[]
0,2C.
(][)
,20,-∞-+∞ D.
(][)
,02,-∞⋃+∞【答案】A 【解析】
【分析】根据函数单调性和奇偶性则得到不等式，解出即可.【详解】任取12t t <，则210t t ->，而0x >时，()0f x <，则()210f t t -<，
()()()()()22112111f t t t t f t t f t f t ⎡⎤=-+=-+<⎣⎦，
所以()f x 在R 上单调递减，
12,x x ∀∈R ，()()()1212f x x f x f x +=+，
取120x x ==，则(0)0f =，令21x x =-，得()()()1100f f x f x =+-=，所以()f x 为R 上的奇函数，
()
()220f x f x +≥，即()
()22f x f x ≥-，则22x x ≤-，解得[]2,0x ∈-故选：A.
7.过点P 作圆22:4150C x y x +--+=的两条切线，切点分别为,A B ，若PAB 为直角三角形，
O 为坐标原点，则OP 的取值范围为（
）
A.
(22+ B.
(44-
+
C.22⎡-+⎣
D.44⎡-+⎣【答案】D 【解析】
【分析】根据给定条件，求出点P 的轨迹，再利用圆的几何性质求解即得.
【详解】圆22:(2)(1C x y -+-=的圆心C ，半径1r =，
由,PA PB 切圆C 于点,A B ，且PAB 为直角三角形，得90,||||APB PA PB ∠== ，连接,AC BC ，
则90CAP CBP ∠=∠= ，即四边形APBC 是正方形，||PC =，
因此点P 在以点C 为半径的圆上，而||4OC =
=，
于是max min ||4|4OP OP =+=-，所以OP 的取值范围为44⎡+⎣.
故选：D
8.2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，
是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这
三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（）
A.50
B.36
C.26
D.14
【答案】A 【解析】
【分析】按照2,2,1和3,1,1分组讨论安排.【详解】（1）按照2,2,1分3组安装，
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有2
4C 6=种，
②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有1
2
2
432C C A 24=种，（2）按照3,1,1分3组安装，
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有3
2
42C A 8⋅=种，
②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有2
2
42C A 12=种，故共有62481250+++=种，故选：A .
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.已知3515a b ==，则下列结论正确的是（）
A.lg lg a b
> B.a b ab
+=C.1122a
b
⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D.4
a b +>【答案】ABD 【解析】
【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC ，利用基本不等式即可判断D.【详解】由题意得33log 15log 10a =>>，55log 15log 10b =>=，
1510log 3a <
=，1510log 5b
<=，则11
0a b <<，则0a b >>，
对A ，根据对数函数lg y x =在()0,∞+上单调递增，则lg lg a b >，故A 正确；
对B ，因为
151511
log 3log 51a b
+=+=，即1a b ab +=，则a b ab +=，故B 正确；对C ，因为0a b >>，根据指数函数12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，则1122a
b
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故C 错误；对D ，因为0a b >>，
11
1a b
+=，
()11224b a a b a b a b a b ⎛⎫
+=++=++≥+ ⎪⎝⎭
，
当且仅当a b =时等号成立，而显然a b ¹，则4a b +>，故D 正确；故选：ABD.
10.已知函数()3
2
e 2x
f x x x ax =+--，则()f x 在()0,∞+有两个不同零点的充分不必要条件可以是
（）
A.e 2e 1a -<<-
B.e 1e a -<<
C.e e 1a <<+
D.e 1e 2
a +<<+【答案】BCD 【解析】
【分析】将问题转化为2
e 2x a x x x =+-，令2e ()2(0)x g x x x x x
=+->，利用导数讨论()g x 的单调性，求
出min ()g x ，由()f x 在()0,∞+有2个不同零点的充要条件为e 1a >-，从而作出判断.【详解】因为32()e 2(0)x f x x x ax x =+-->，
令()0f x =，则2e
2x
a x x x
=+-，
令2e ()2(0)x
g x x x x x
=+->，
则22
223e e 22()(1e ())
2x x x x x x x g x x x x
-+-+'-==，注意到2e 20x x +>，令()0g x '=，解得1x =，所以当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，
则min ()(1)e 1g x g ==-，且当x 趋近于0或∞+时，()g x 都趋近于+∞，
若()f x 在()0,∞+有2个不同零点的充要条件为函数()y g x =与y a =图象在第一象限有2个交点，所以e 1a >-，即()f x 有2个零点的充要条件为e 1a >-，若符合题意，则对应的取值范围为()e 1,∞-+的真子集，结合选项可知：A 错误，BCD 正确；故选：BCD.
11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为,F O 为坐标原点，其准线与x 轴交于点M ，经过点M 的直线l 与抛物线交于不同两点()()1122,,,A x y B x y ，则下列说法正确的是（）
A.5OA OB ⋅=
B.存在50AMF ∠=︒
C.不存在以AB 为直径且经过焦点F 的圆
D.当ABF △的面积为时，直线l 的倾斜角为π6
或
5π
6【答案】AD 【解析】
【分析】设直线AB 的方程为1x my +=，将其与抛物线方程联立，得到韦达定理式，将其整体代入即可判断ACD ，求解直线与抛物线相切时的情况即可判断B.
【详解】对A ，由题意得()1,0F ，准线方程为=1x -，则()1,0M -，显然当直线AB 的斜率为0，即直线AB 的方程为0y =，此时不合题意，设直线AB 的方程为1x my +=，
联立抛物线方程24y x =，得2440y my -+=，216160m ∆=->，解得1m >或1m <-，
124y y m +=，124y y ⋅=，2114y x =，2
224y x =，则()2
121216y y x x =，121616x x =，则121=x x ，
()11,OA x y = ，()22,OB x y =
，
则1212145OA OB x x y y ⋅=+=+=
，A 正确；
对B ，当直线AB 与抛物线相切时，AMF ∠最大，则216160m ∆=-=，解得1m =±，根据抛物线对称性取1m =分析：
此时直线方程为1y x =+，此时直线斜率为1，则45AMF ∠=︒，因此不存在50AMF ∠=︒，B 错误；
对C ，假设存在以AB 为直径且经过焦点F 的圆，则0FA FB ⋅=
，
()()11221,,1,FA x y FB x y =-=- ，则()()1212110FA FB x x y y ⋅=--+=
，
即()12121210x x x x y y -+++=，()2
12121211242x x my my m y y m +=-+-=+-=-,
即()121220x x y y -++=，即()
2
24240m --+=，m =，满足1m >或1m <-，
即存在以AB 为直径且经过焦点F 的圆，C 错误；
对D ，211122
ABF S MF y y =
-=⨯== ，m =
此时直线斜率为3
±，则直线l 的倾斜角为π6或5π6，故D 正确.
故选：AD.
12.如图，在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11C D 的中点，M 是线段1A E 上的一点，则下列说法正确的是（
）
A.当M 点与1A 点重合时，直线1AC ⊂平面ACM
B.当点M 移动时，点D 到平面ACM 的距离为定值
C.当M 点与E 点重合时，平面ACM 与平面11CC D D 夹角的正弦值为
3
D.当M 点为线段1A E 中点时，平面ACM 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面面积为32
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A ，根据平行线确定一个平面即可判断，对BC 建立空间坐标系进行判断，对D 作出截面图形，并求出相关长度，利用面积公式即可求出.
【详解】对A ，因为11//AA CC ，所以点11,,,A A C C 四点共面，当M 点与1A 点重合时，直线1AC ⊂平面ACM ，故A 正确；对B ，以D
为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
因为E 为11C D 中点，则设()12,,1M t t -，10,2
t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，()1,0,0A ，()0,1,0C ，
则()1,1,0AC =- ，()2,,1AM t t =- ，()1,0,0DA =
，
设平面ACM 的方向量为(),,m x y z = ，则0
AC m AM m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即020x y tx ty z -+=⎧⎨-++=⎩，令1y =，则1,x z t ==，所以()1,1,m t =
，
则点D 到平面ACM
的距离DA m d m ⋅== B 错误；
对C ，当M 点与E 点重合时，由B 知此时12t =
，11,1,2m ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭ ，平面11CC D D 的法向量()1,0,0n = ，
设平面ACM 与平面11CC D D 夹角为θ
，
2
cos 3m n
m n θ⋅==
=
，
则sin 3θ==，故C 正确；对D ，连接11A C ，并在上底面内将直线11A C 沿着11B D
的方向平移，直至该直线经过点M ，交11D A 于点P ，
交11C D 于点N ，
因为11//AA CC ，11AA CC =，所以四边形11AA C C 为平行四边形，所以11//A C AC ，因为11//PN A C ，所以//AC PN ，因为点M PN ∈，
所以平面ACM 截正方体1111ABCD A B C D -所得的图形为四边形APNC ，不妨以1D 为坐标原点，在上底面内建立如图所示平面直角坐标系，则()110,1,,02A E ⎛⎫-
⎪⎝⎭，因为M 为线段1A E 中点，则11,42M ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，根据直线11//PN A C ，则1PN k =，设直线PN 的方程为y x b =+，代入点M 坐标得
1124
b -
=+，解得34b =-，则3
4y x =-，则点P 位于线段11A D 的四分之一等分点处，且靠近点1A ，
点N 位于线段11C D 的四分之一等分点处，且靠近点1C ，
则174AP CN ===
，AC =
，PN =//AC PN ，则四边形APNC
8=,
则12832APNC S =⨯=梯形，故D 正确.故选：
ACD.
【点睛】关键点睛：本题BC 选项的关键是建立合适的空间直角坐标系，
利用点到平面的距离公式和面面角的空间向量求法进行计算判断，对D 选项的关键是作出截面图形，并求出相关长度，得出其截面为等腰梯形，最后计算面积即可.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知向量,a b 满足2,3,25a b a b ==-= ，则⋅= a b ________．
【答案】15
4
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算即得.
【详解】由25a b -= ，得22
4425a b a b +-⋅= ，而
2,3a b == ，则4494·25a b +⨯-= ，所以154
a b ⋅= .
故答案为：
15
4
14.已知()()2sin cos cos20,0,0f x a x x b x a b ωωωω=⋅+>>>的部分图象如图所示，当3π0,
4x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()f x 的最大值为________．
【解析】
【分析】由图象求出函数()f x 的解析式，然后利用正弦型函数的基本性质可求得函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值.
【详解】因为()()2sin cos cos2sin 2cos20,0,0f x a x x b x a x b x a b ωωωωωω=⋅+=+>>>，设()()()sin 20,0f x A x A ωϕω=+>>，由图可知，函数()f x 的最小正周期为ππ4π612T ⎛⎫
=⨯+=
⎪⎝⎭
，则2π2π22πT ω===，又因为()()max min
22
22
2
f x f x A -+=
=
=，则()()2sin 2f x x ϕ=+，因为ππ2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛
⎫-
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，可得πsin 16ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，
所以，()ππ2π62k k ϕ-
=+∈Z ，则()2π2π3
k k ϕ=+∈Z ，则()2π2π2sin 22π2sin 233f x x k x ⎛
⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，当3π
04x ≤≤
时，2π2π13π2336
x ≤+≤，
故()max 2π2sin 232
f x ==⨯=.
15.已知点F 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为3π的直线交椭圆于,P Q
两点，FP FQ FP FQ +=-
，则该椭圆的离心率为________．
【答案】1-##1-【解析】
【分析】分析得四边形FPF Q '为矩形，则得到OFP △为正三角形，再利用椭圆定义和离心率定义即可.【详解】令椭圆的左焦点为F '，半焦距为c ，分别连接F P '，F Q '，
由FP FQ FP FQ +=-
，得四边形FPF Q '为矩形，
而π
3
FOP ∠=
，则OFP △为正三角形，所以||FP c =，F P '=，
2|1)a PF PF c ∴=+'=∣，则椭圆离心率为1c
e a
==-，
1.
16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，记2222
123n n T a a a a =++++ ，则n T =________；
若数列{}n b 满足3203n n b T n =--，则123n b b b b ++++L 的最小值是________．【答案】
①.
413
n -②.48
-
【解析】
【分析】由n a 与n S 的关系推导出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式，利用等比数列求和公式可求得n T 的表达式，分析数列{}n b 的单调性，找出数列{}n b 所有非正数项，即可求得123n b b b b ++++L 的最小值.
【详解】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，当1n =时，则11121a S a ==-，解得11a =，当2n ≥时，由21n n S a =-可得1121n n S a --=-，上述两个等式作差可得122n n n a a a -=-，则12n n a a -=，所以，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，则1
1122n n n a --=⨯=，
所以，2
1
4
n n
a -=，则21
21444
n n n n a a +-==，且211a =，
所以，(
)2
2221231144
114
3
n
n
n n
T a a a a ⋅--=++++==- ，32034204n n n b T n n =--=--，
则()()1
14
201442043420n n n
n n b b n n ++⎡⎤-=-+----=⋅-⎣⎦
，当1n =时，210b b -<，即12b b >，
当2n ≥时，134200n
n n b b +-=⋅->，则1n n b b +<，故数列{}n b 从第二项开始单调递增，
因为1200b =-<，且340b b =<，
所以，123n b b b b ++++L 的最小值为1232028048b b b ++=--+=-.
故答案为：41
3
n -；48-.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.在梯形ABCD 中，//,AB CD ABC ∠为钝角，2,4AB BC CD ===
，sin 4
BCD ∠=．（1）求cos BDC ∠；
（2）设点E 为AD 的中点，求BE 的长．
【答案】（1）
7
8
；（2
）
2
【解析】
【分析】（1）在BCD △中利用余弦定理求出BD ，再利用二倍角的余弦公式计算即得.（2）利用（1）的结论，借助向量数量积求出BE 的长.【小问1详解】
在梯形ABCD 中，由//,AB CD ABC ∠为钝角，得BCD ∠是锐角，在BCD △
中，sin 4
BCD ∠=
，则1cos 4BCD ∠==，
由余弦定理得4BD ==，即BCD △为等腰三角形，所以2
7cos cos(π2)cos 212cos 8
BDC BCD BCD BCD ∠=-∠=-∠=-∠=
.【小问2详解】
由//AB CD ，得ABD BDC ∠=∠，由点E 为AD 的中点，得1()2
BE BA BD =+
，
所以||2
BE = .18.已知首项为正数的等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，满足412S S S =⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()1
1
4cos πn n n n b n a a ++=⋅
⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【答案】（1）21n a n =+（2）当n 为偶数时，11233n T n =-+，当n 为奇数时，11
233
n T n =--+.【解析】
【分析】（1）根据等差数列前n 和公式即可求出1a ，则得到其通项公式；
（2）分n 为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可.
【小问1详解】
由题意得{}n a 是公差为2的等差数列，且412S S S =⋅，即()11141222a a a +=+，又因为10a >，所以13a =，所以数列{}n a 的通项公式1(1)21n a a n d n =+-=+.【小问2详解】由（1）知()()
()()()212321411
1cos πc 23os πn n b n n n n n n +⎛⎫=⋅
=⋅ ⎪⋅⎝+++⎭
+，
当n 为偶数时，11111111113557792123233
n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++=-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，当n 为奇数时，1111111
,(3)2132123233n n n T T b n n n n n -=+=
---=--≥++++，经检验，1n =时，满足11
233n T n =-
-+，综上，当n 为偶数时，11
233n T n =
-+，当n 为奇数时，11
233
n T n =-
-+.19.实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近6年产值情况，数据如下表所示：
年份201820192020202120222023编号x 123456产值y /百万辆
9
18
30
51
59
80
（1）若用模型e bx y a =⋅拟合y 与x 的关系，根据提供的数据，求出y 与x 的经验回归方程（精确到0.01）；（2）为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S 店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望，参考数据：
6
6
1
1
20.88,80.58i
i i i i u
x u ====∑∑，其中ln i i u y =．
参考公式：对于一组数据(),(1,2,3,,)i i x y i n = ，其经验回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率截距的最小二乘估计
分别为1
2
2
1
ˆˆ,n
i
i
i n
i
i x y
nx y b a
y bx x
nx ==-⋅=
=--∑∑．【答案】（1） 1.980.43e x y +=（2）答案见解析【解析】
【分析】（1）令ln ln e ln bx u y a bx a ===+，利用最小二乘法求出，即可得解；
（2）分析可知，利用超几何分布()4,5,8X H ~可得出随机变量的分布列，利用超几何分布的期望公式可求
【小问1详解】
令ln ln e ln bx u y a bx a
===+123456 3.56x +++++=
=，20.88
3.486
u ==，
则122222226
2
2
6
1
8ˆ0.586 3.5 3.48
0.431234566 3.5i i i i
i x u
nx x
b
u
nx ==-⋅-⨯⨯=
=+++++-⨯-=∑∑，
ˆln 3.480.43 3.5 1.98a
=-⨯=，所以 1.98ˆe a =，
所以 1.980.43 1.980.43e e e e x x bx y a +⋅=⨯==【小问2详解】由题意得1,2,3,4X =，
()13
53
48C C 511C 7014P x ====，
()22534
8C C 303
2C 707P x ====，()3153
48C C 3033C 707
P x ====，
()40534
8C C 51
4C 7014
P x ====，分布列为：
X
1234
P
1
143737114
数学期望()45
2.58
E X ⨯=
=20.如图，四
棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，
AB AP =，
,6,45AB AD AB AD CD CDA ⊥+==∠=︒．
（1）若E 为PB 的中点，求证：平面PBC ⊥平面ADE ；
（2）若平面PAB 与平面PCD 所成的角的余弦值为66
．（ⅰ）求线段AB 的长；
（ⅱ）设
G 为PAD 内（含边界）的一点，且2GB GA =，求满足条件的所有点G 组成的轨迹的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）（ⅰ）2；（ⅱ）π3
.【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，再结合面面垂直的判定推理即得.
（2）以点A 为原点，建立空间直角坐标系，设AB t =，利用面面角的向量求法结合已知求出t ，再求出AG 并确定轨迹求解即得.【小问1详解】
在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，则PA AD ⊥，
而,,,AB AD AB PA A AB PA ⊥=⊂ 平面PAB ，于是AD ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，则AD PB ⊥，由AB AP =，E 为PB 的中点，得,,,AE PB AE AD A AE AD ⊥=⊂ 平面ADE ，
因此PB ⊥平面ADE ，而PB ⊂平面PBC ，所以平面PBC
⊥平面ADE .
【小问2详解】
（ⅰ）由（1）知，直线,,AB AD AP 两两垂直，
以点A 为原点，直线,,AB AD AP 分别为,,x y z
轴建立空间直角坐标系，
过C 作CF AD ⊥于F
，由45CD CDA =∠=︒，得1CF DF ==，令(05)AB t t =<<，则(0,0,),(0,6,0),(1,5,0)P t D t C t --，(0,6,),(1,1,0)PD t t CD =--=-
，
设平面PCD 的法向量(,,)n x y z = ，则(6)00
n PD t y tz n CD x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令y t =，得(,,6)n t t t =- ，由AD ⊥平面PAB ，得平面PAB 的一个法向量(0,1,0)m =
，
依题意，||
|cos ,|||||
m n m n m n ⋅〈〉==
24120t t +-=，而0t >，解得2t =，所以线段AB 的长为2.
（ⅱ）显然AB ⊥平面PAD ，而AG ⊂平面PAD ，则AB AG ⊥，又2BG AG =，于是222(2)2AG AG =+
，解得3AG =
，因此点G 的轨迹是以点A
为圆心，3
为半径的圆的14，
所以点G 的轨迹的长度为
1233
ππ233
⋅=.21.已知点M 为圆22:(2)4C x y -+=上任意一点，
()2,0B -，
线段MB 的垂直平分线交直线MC 于点Q ．（1）求Q 点的轨迹方程；
（2）设过点C 的直线l 与Q 点的轨迹交于点P ，且点P 在第一象限内．已知()1,0A -，请问是否存在常数λ，使得PCA PAC λ∠=∠恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2
2
1
3
y x -=
（2）2λ=，证明见解析.【解析】
【分析】（1）利用双曲线定义即可得到其方程；
（2）先得到特殊情况时2λ=，再证明其对一般情况也适用.【小问1详解】
连接QB ，则
||||||2(||42)QB QC QM QC CM BC -=-===>‖‖‖‖，Q ∴点的轨迹是以点C ，B 为焦点的双曲线，
Q ∴点的轨迹方程为:2
2
13
y x -=
.【小问2详解】
因为Q 点的轨迹方程为:22
13
y
x -=，则1,2a c ==.
当直线l 的方程为2x =时，则2
2
213
y -=，解得3y =（负舍，
）则(2,3)P ，而3AC a c =+=，易知此时ACP △为等腰直角三角形，
其中,24
ACP PAC ππ∠=
∠=，即2ACP PAC ∠=∠，即:2λ=，
下证：2ACP PAC ∠=∠对直线l 斜率存在的情形也成立，设()11,P x y ，其中11x ≥，且12x ≠，因为()1,0A -，则111PA y k x =+，且221113
y x -=，
即(
)
2
2
1131y x =-，
()()()
111
12
22
22
111122121
2tan tan 21tan 1111PA PA
y x y k x PAC
PAC PAC k x y y x ⋅
++∠∠=
===-∠-+-⎛⎫- ⎪+⎝⎭
，
()()
()
()()()
11
111
2
2111112121tan 22122
131
x y x y y PAC x x x x x ++-∴∠=
=
=
-+--+--，1
1tan tan 22
PC y ACP k PAC x -∴∠=-=
=∠-，∴结合正切函数在ππ0,
,π22⎛⎫⎛⎫
⋃ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
上的图象可知，2ACP PAC ∠=∠
.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用先猜后证的思想，先得到直线
斜率不存在时2λ=，然后通过二倍角得正切公式证明一般情况即可.
22.（1）已知函数()()e x
n f x x n =+，（,e n +∈N 为自然对数的底数），记()n f x 的最小值为n a ，求证：
2
1
1
e e n
i i a =>
-∑；（2）若对()()
11,,e 12ln 0ax
x a x x x ∞⎛⎫
∀∈++-+
≥ ⎪⎝
⎭
恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）2,e ⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭
【解析】
【分析】（1）对()n f x 求导，利用导数求出()n f x 最小值，即n a ，然后得到
1
i
n
i a =∑，进而证明不等式；
（2）将(
)1e
12ln 0ax
a x x x ⎛
⎫+-+≥ ⎪⎝
⎭变形为()(
)
22e 11ln ax ax x x +≥+，构造函数()()ln 1g x x x =-，利
用导数求单调性和最值，证明恒成立，求出a 的取值范围.
【详解】（1）证明：因为()()e x
n f x x n =+，()()()e e 1e x
x
x
n f x x n x n =+'=+++，
因为x +∈N ，()()1e x
n f x x n =++'，
当()()1e 0x
n f x x n +'=+=时，即1x n =--，
当1x n >--时，()0n f x '>，()n f x 在()1,n ∞--+，x +∈N 上单调递增，
当1x n <--时，()0n f x '<，()n f x 在(),1n ∞---，x +∈N 上单调递减，当1x n =--时，()()1
min 1e n n n f x f n --=--=-所以1
e
n n a --=-，
(
)
2112341
1212
1
e e e 1e e e e +e
1e e e n n n
n i
n i a
a a a -----------=-⨯-=+++=-+++=-=
--∑ 因为210e e <-，所以22
1e 1e e e e n -->--，即21
1e e n
i i a =>-∑.综上，
2
1
1
e e n
i i a =>
-∑.（2）()(
)11,,e 12ln 0ax
x a x x x ∞⎛⎫∀∈++-+≥ ⎪⎝⎭，即(
)
21e 12ln 0ax
x a x x ⎛⎫++-≥ ⎪⎝⎭
，
所以(
)(
)
2
e 121ln 0ax
ax x x +-+≥，即(
)()
2
2
e 11ln ax
ax x x +≥+，令()()ln 1g x x x =-，()()ln 11
x g x x x =-+
-'，()()()22112111x g x x x x -=-=---''，
当12x <<时，()0g x ''<，当2x >时，()0g x ''>，所以()g x '在()1,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，所以()()22g x g ''≥=，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，
因为(
)(
)
2
2
e 11ln ax
ax x x +≥+，所以(
)(
)
2
e 11ax
g g x +≥+，即2e 111ax x +≥+>，即2e ax x ≥，即2ln ax x ≥，即2ln x
a x
≥，令()2ln x h x x =
，()2
1ln 2x
h x x -'=⨯，当()0h x '=时，e x =，
当1e x <<时，()0h x '>，即()h x 在()1,e 上单调递增，当e x >时，()0h x '<，即()h x 在()e,∞+上单调递减，，所以()()max 2ln e 2
e e e
h x h ==
=，
所以()max 2 e
a h x
≥=，
所以a的取值范围为
2,
e
∞
⎡⎫
+⎪⎢⎣⎭.
【点睛】关键点点睛：将原不等式进行构造，利用函数的单调性转化为
2ln x
a
x
≥在()
1,+∞上恒成立，利
用分离参数思想再求最值即可.。