第4章 第1节 平面向量的线性运算与基本定理

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A 级 基础夯实练

1．(2018·吉林模拟)已知向量AB →与向量a ＝(1，－2)反向共线，|AB →

|＝25，点A 的坐标为(3，－4)，则点B 的坐标为( )

A ．(1,0)

B ．(0,1)

C ．(5，－8)

D ．(－8,5)

解析：选A ．依题意，设AB →＝λa ，其中λ＜0，则有|AB →

|＝|λa |＝－λ|a |，即25＝－5λ，∴λ＝－2，A B →

＝－2a ＝(－2,4)，因此点B 的坐标是(－2,4)＋(3，－4)＝(1,0)，故选A ．

2．(2018·银川模拟)如图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 可用基底e 1，e 2表示为( )

A ．e 1＋e 2

B ．－2e 1＋e 2

C ．2e 1－e 2

D ．2e 1＋e 2

解析：选B ．由题意可知e 1＝(1,0)，e 2＝(－1,1)，a ＝(－3,1)，设a ＝x e 1＋y e 2＝x (1,0)＋y (－1,1)＝(x －y ，y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－3，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－2，y ＝1，故a ＝－2e 1

＋e 2.

3．(2018·唐山模拟)设a ，b 为不共线的非零向量，AB →＝2a ＋3b ，BC →

＝－8a －2b ，CD →

＝－6a －4b ，那么( )

A ．AD →与BC →同向，且|AD →|＞|BC →|

B ．AD →与B

C →同向，且|A

D →|＜|BC →| C ．AD →与BC →反向，且|AD →|＞|BC →| D ．AD →∥BD →

解析：选A ．AD →＝AB →＋BC →＋CD →

＝2a ＋3b ＋(－8a －2b )＋(－6a －4b )＝－12a －3b ，又BC →

＝－8a －2b ，

∴AD →＝32BC →.

∵3

2＞0，∴AD →与BC →同向，且|AD →|＝32|BC →|＞|BC →|. ∴|AD →|＞|BC →|.

4．(2018·江门二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行，则A ＝( )

A ．π6

B ．π3

C ．π2

D ．2π3

解析：选B ．因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，

由于0＜A ＜π，所以A ＝π

3.

5．(2018·合肥模拟)已知a ，b 是不共线的两个向量，向量AB →＝λa ＋b ，AC →

＝a ＋μb (λ，μ∈R )，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )

A ．λ＋μ＝2

B ．λ－μ＝1

C ．λμ＝1

D ．λμ＝－1

解析：选C ．∵向量a 和b 不共线，∴AB →和AC →

为非零向量，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为存在k (k ≠0)，使得AB →＝kAC →

，即λa ＋b ＝k (a ＋μb )＝k a ＋kμb ，∵a 和b 不共线，∴λ＝k ，1＝kμ，∴λμ＝1，故选C ．

6．(2018·河北保定质检)设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB →＋32MA →＋3

2

MC →＝0，D 是AC 的中点，则|MD →

|

|BM →|

的值为( )

A ．13

B ．12

C ．1

D ．2

解析：选A ．∵D 是AC 的中点，∴DA →＋DC →＝0.又∵MB →＋32MA →＋32MC →＝0，∴MB →

＝－32(MA →＋MC →)＝－32×2MD →，即MB →＝3DM →，故MD →＝13BM →，∴|MD →

||BM →|

＝1

3.故选A ．

7．(2018·湖南省八校联考)如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝1

2DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →

，则( )

A ．m ＋n 是定值，定值为2

B ．2m ＋n 是定值，定值为3

C ．1m ＋1

n 是定值，定值为2 D ．2m ＋1

n 是定值，定值为3

解析：选D ．解法一：如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E .由AN →＝nAC →可得AC AN ＝1n ，所以AE EM ＝AC CN ＝1

n －1，由

BD ＝12DC 可得BM ME ＝12，所以AM AB ＝n n ＋

n －12＝2n

3n －1，因为AM →＝

mAB →，所以m ＝2n 3n －1

，整理可得2m ＋1n ＝3.

解法二：因为M ，D ，N 三点共线，所以AD →＝λAM →＋(1－λ)AN →.又AM →＝mAB →

，AN →＝nAC →，所以AD →＝λm AB →＋(1－λ)nAC → ①，又BD →＝12DC →，所以AD →－AB →＝12AC

→

－12AD →，所以AD →＝13AC →＋23AB → ②，由①②知λm ＝23，(1－λ)n ＝13，所以2m ＋1

n ＝3，故选D ．

8．(2018·常州八校联考)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →

，则λ＋μ等于________．

解析：因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →

＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45

AM →，

∴λ＝－45，μ＝85. 所以λ＋μ＝4

5. 答案：4

5

9．(2018·银川模拟)已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋1

2b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确命题的个数为________．

解析：BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，故①错误；BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋1

2b ，故②正确；

CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋1

2b ，故③正确； ∴AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －1

2a ＝0. ∴正确的命题为②③④. 答案：3

10．(2018·济南模拟)已知非零向量e 1，e 2，a ，b 满足a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2.给出以下结论：