2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-- 切线的证明

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-- 切线的证明
一、综合题
1．如图，AB为半圆的直径，点C是弧AD的中点，过点C作BD延长线的垂线交于点E．
（1）求证：CE是半圆的切线；
（2）若OB=5，BC=8，求CE的长．
2．如图，在⊙ O中，AB是直径，BC是弦，BC=BD，连接CD交⊙ O于点E，⊙BCD=⊙DBE.
（1）求证：BD是⊙ O的切线.
（2）过点E作EF⊙AB于F，交BC于G，已知DE= 2√10，EG=3，求BG的长.
3．如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A，B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y= 34x+4，与x轴相交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；
（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离．
4．如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC 为⊙O 的切线；
（2）连接AE 并延长与BC 的延长线交于点G （如图②所示）．若AB= 4√5 ，CD=9，求线段BC 和EG 的长．
5．设C 为线段AB 的中点，四边形BCDE 是以BC 为一边的正方形．以B 为圆心，BD 长为半径的
⊙B 与AB 相交于F 点，延长EB 交⊙B 于G 点，连接DG 交于AB 于Q 点，连接AD ．
求证：
（1）AD 是⊙B 的切线； （2）AD=AQ ； （3）BC 2=CF•EG ．
6．如图，D 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过点D 的切线DE 交AB 的延长线于点E ，过点B 作
BC⊙DE 交AD 的延长线于点C ，垂足为点F.
（1）求证：AB=CB ；
（2）若AB=18，sinA=13
，求EF 的长.
7．如图，已知⊙C 过菱形ABCD 的三个顶点B ，A ，D ，连结BD ，过点A 作AE⊙BD 交射线CB 于
点E.
（1）求证：AE是⊙C的切线.
⌢围成的部分的面积.
（2）若半径为2，求图中线段AE、线段BE和AB
（3）在（2）的条件下，在⊙C上取点F，连结AF，使⊙DAF＝15°，求点F到直线AD的距离. 8．如图，以⊙ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D，BC是⊙O的切线，E为BC的中点，连接AE、DE.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）设⊙CDE的面积为S1，四边形ABED的面积为S2.若S2＝5S1，求tan⊙BAC的值；
（3）在（2）的条件下，若AE＝3 √2，求⊙O的半径长.
9．如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于点F.
（1）求证：FE是⊙O的切线；
（2）若∠F=30°，求证：4FG2=FC⋅FB；
（3）当BC=6，EF=4时，求AG的长.
10．如图，⊙ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将⊙ABC沿直线AB折叠得到⊙ABD，交⊙O于点D．连接CD交AB于点E，延长BD和CA相交于点P，过点A作AG⊙CD交BP于点
G．
（1）求证：直线GA是⊙O的切线．
（2）求证：AG•AD＝GD•AB．
（3）若tan⊙AGB＝√2，PG＝6，求sinP的值．
11．如图，AB是⊙O的直径，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC=∠AED.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
⌢中点，AE与BC交于点F，
（2）若点E是的BD
①求证：CA=CF；
②若⊙O的半径为3，BF=2，求AC的长.
12．在RtΔABC中，∠ACB=90°，以直角边BC为直径作⊙O，交AB于点D，E为AC 的中点，连接OD、DE.
（1）求证：DE为⊙O切线.
（2）若BC=4，填空：
①当DE=时，四边形DOCE为正方形；
②当DE=时，ΔBOD为等边三角形.
⌢的长为π，点P是BC上一动13．如图，A为⊙O外一点，AO⊙BC，直径BC＝12，AO＝10，BD
点，⊙DPM ＝90°，点M 在⊙O 上，且⊙DPM 在DP 的下方．
（1）当sinA ＝3
5
时，求证：AM 是⊙O 的切线；
（2）求AM 的最大长度．
14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC 与BD 交于点E ，且AC ＝BD ，连接AD ，BC.
（1）求证：⊙ADB⊙⊙BCA ；
（2）若OD⊙AC ，AB ＝4，求弦AC 的长；
（3）在（2）的条件下，延长AB 至点P ，使BP ＝2，连接PC.求证：PC 是⊙O 的切线.
15．如图，在⊙ABC 中，⊙C ＝90°，⊙ABC 的平分线交AC 于点E ，过点E 作BE 的垂线交AB 于点
F ，⊙O 是⊙BEF 的外接圆．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）过点E 作EH⊙AB ，垂足为H ，求证：CD ＝HF ； （3）若CD ＝1，EH ＝3，求BF 及AF 长．
16．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，连接OP ，过点B 作BC // OP 交⊙O 于点C ，点E 是 AB
⌢ 的中点.
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB=10，BC=6，求CE的长.
答案解析部分1．【答案】（1）证明：如图，连接AD、OC，OC交AD于F．
∵= ，
∴OC⊙AD，
∴AF=FD，∵OA=OB，
∴OF⊙BD，即OC⊙BE，
∵EC⊙EB，
∴EC⊙OC，
∴EC是⊙O的切线．
（2）解：连接AC，作OH⊙AC于H．
∵AB是直径，
∴⊙ACB=90°，
∴AC= = =6，
∵OH⊙AC，
∴AH=CH=3，OH= =4，
∵S⊙AOC= •AC•OH= •CO•AF，
∴AF= = ，
∴DF=AF= ，
∵⊙E=⊙ECF=⊙CFD=90°，
∴四边形ECFD是矩形，
∴EC=DF= ．
2．【答案】（1）证明：如图，连接AE，则⊙BAE=⊙BCE，
∵AB是直径，
∴⊙AEB=90°，
∴⊙BAE+⊙ABE=90°，
∴⊙ABE+⊙BCE=90°，
∵⊙BCE=⊙DBE，
∴⊙ABE+⊙DBE=90°，即⊙ABD=90°，
∴BD是⊙O的切线.
（2）解：如图，延长EF交⊙O于H，
∵EF⊙AB，AB是直径，
∴BE
⌢=BH⌢，
∴⊙ECB=⊙BEH，
∵⊙EBC=⊙GBE，
∴⊙EBC⊙⊙GBE，
∴BE
BG=
BC
BE，
∵BC=BD，
∴⊙D=⊙BCE，
∵⊙BCE=⊙DBE，
∴⊙D=⊙DBE，
∴BE=DE= 2√10，
∵⊙AFE=⊙ABD=90°，∴BD⊙EF，
∴⊙D=⊙CEF，
∴⊙BCE=⊙CEF，
∴CG=GE=3，
∴BC=BG+CG=BG+3，
∴2√10
BG=
BG+3
2√10
，
∴BG=-8（舍）或BG=5，
即BG的长为5.
3．【答案】（1）解：如图1，连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，
在Rt⊙AOE中，由勾股定理得：OA= √AE2−OE2= √52−32=4，∵OC⊙AB，
∴由垂径定理得：OB=OA=4，OC=OE+CE=3+5=8，
∴A（0，4），B（0，﹣4），C（8，0），
∵抛物线的顶点为C，
∴设抛物线的解析式为：y=a（x﹣8）2，
将点B的坐标代入得：64a=﹣4，
a=﹣116，
∴y=﹣1
16（x﹣8）
2，
∴抛物线的解析式为：y=﹣1
16x
2+x﹣4；
（2）解：直线l与⊙E相切；
理由是：在直线l的解析式y= 3
4x+4中，
当y=0时，即3
4x+4=0，x=﹣
16
3，
∴D（﹣16
3，0），
当x=0时，y=4，
∴点A在直线l上，
在Rt⊙AOE和Rt⊙DOA中，
∵OE
OA=
3
4，
OA
OD=
3
4，
∴OE
OA=
OA
OD，
∵⊙AOE=⊙DOA=90°，
∴⊙AOE⊙⊙DOA，
∴⊙AEO=⊙DAO，
∵⊙AEO+⊙EAO=90°，
∴⊙DAO+⊙EAO=90°，
即⊙DAE=90°，
∴直线l与⊙E相切；
（3）解：如图2，过点P作直线l的垂线PQ，过点P作直线PM⊙x轴，交直线l于点M，
设M（m，3
4m+4），P（m，﹣
1
16m
2+m﹣4），
则PM= 3
4m
+4﹣（﹣1
16m
2+m﹣4）= 1
16m
2﹣1
4m+8=
1
16(m−2)
2+ 31
4，
当m=2时，PM取最小值是31 4，
此时，P（2，﹣9 4），
对于⊙PQM，
∵PM⊙x轴，
∴⊙QMP=⊙DAO=⊙AEO，
又⊙PQM=90°，
∴⊙PQM的三个内角固定不变，
∴在动点P运动过程中，⊙PQM的三边的比例关系不变，∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，
PQ最小=PM最小•sin⊙QMP=PM最小•sin⊙AEO= 314×45= 315，
∴当抛物线上的动点P（2，﹣9
4）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为
31
5．
4．【答案】（1）证明：如图1，连接OE，OC；
∵CB=CE，OB=OE，OC=OC
∴⊙OEC⊙⊙OBC（SSS）
∴⊙OBC=⊙OEC
又∵DE与⊙O相切于点E
∴⊙OEC=90°
∴⊙OBC=90°
∴BC为⊙O的切线．
（2）解：解：如图2，过点D作DF⊙BC于点F，
则四边形ABFD是矩形，
∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B
∴DA=DE，CE=CB，
在Rt⊙DFC中，CF= √92−(4√5)2=1，
设AD=DE=BF=x，
则x+x+1=9，
x=4，
∵AD⊙BG，
∴⊙DAE=⊙EGC，
∵DA=DE，
∴⊙DAE=⊙AED；
∵⊙AED=⊙CEG，
∴⊙EGC=⊙CEG，
∴CG=CE=CB=5，
∴BG=10，
在Rt⊙ABG中，AG= √AB2+BG2=6 √5，∵AD⊙CG，
∴⊙CEG⊙⊙DEA,
∴AD
CG=
AE
EG=
4
5，
∴EG= 5
9
×6 √5= 10√5
3
．
5．【答案】（1）证明：连接BD，
∵四边形BCDE是正方形，
∴⊙DBA=45°，⊙DCB=90°，即DC⊙AB，∵C为AB的中点，
∴CD是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴⊙DAB=⊙DBA=45°，
∴⊙ADB=90°，
即BD⊙AD，
∵BD为半径，
∴AD是⊙B的切线
（2）证明：∵BD=BG，
∴⊙BDG=⊙G，
∵CD⊙BE，
∴⊙CDG=⊙G，
∴⊙G=⊙CDG=⊙BDG= 1
2⊙BCD=22.5°，
∴⊙ADQ=90°﹣⊙BDG=67.5°，⊙AQB=⊙BQG=90°﹣⊙G=67.5°，∴⊙ADQ=⊙AQD，
∴AD=AQ
（3）证明：连接DF，
在⊙BDF中，BD=BF，
∴⊙BFD=⊙BDF，
又∵⊙DBF=45°，
∴⊙BFD=⊙BDF=67.5°，
∵⊙GDB=22.5°，
在Rt⊙DEF与Rt⊙GCD中，
∵⊙GDE=⊙GDB+⊙BDE=67.5°=⊙DFE ，⊙DCF=⊙E=90°， ∴Rt⊙DCF⊙Rt⊙GED ， ∴CF ED =CD EG ， 又∵CD=DE=BC ， ∴BC 2=CF•EG ．
6．【答案】（1）证明：连接OD ，如图1，
∵DE 是⊙O 的切线， ∴OD⊙DE. ∵BC⊙DE ， ∴OD⊙BC. ∴⊙ODA=⊙C. ∵OA=OD ， ∴⊙ODA=⊙A. ∴⊙A=⊙C. ∴AB=BC ；
（2）解：连接BD ，则⊙ADB=90°，如图2，
在Rt⊙ABD 中， ∵sinA=BD AB =13，AB=18，
∴BD=6.
∵OB=OD ， ∴⊙ODB=⊙OBD.
∵⊙OBD+⊙A=⊙FDB+⊙ODB=90°， ∴⊙A=⊙FDB. ∴sin⊙A=sin⊙FDB. 在Rt⊙BDF 中， ∵sin⊙BDF=BF BD =13，
∴BF=2.
由（1）知：OD⊙BF ， ∴⊙EBF⊙⊙EOD. ∴
BE OE =BF OD
.即：
BE BE+9=29. 解得：BE=187
. ∴EF=√BE 2−BF 2=8√
27
.
7．【答案】（1）证明：如图1中，连结AC ，
∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC⊙BD ， 又∵BD⊙AE ， ∴AC⊙AE ， ∴AE 是⊙O 的切线.
（2）解：如图1中，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ， 又∵AC ＝BC ，
∴⊙ABC 是等边三角形，
∴⊙ACB＝60°，
∵AC＝2，
∴AE＝AC•tan60°＝2 √3，
∴S阴＝S⊙AEC﹣S扇形ACB＝12×2×2 √3﹣60⋅π⋅22
360
＝2 √3﹣23π.（3）解：①如图2中，当点F在AD
⌢上时，
∵⊙DAF＝15°，
∴⊙DCF＝30°，
∵⊙ACD＝60°，
∴⊙ACF＝⊙FCD，
∴点F是弧AD的中点，
∴CF⊙AD，
∴点F到直线AD的距离＝CF﹣CA•cos30°＝2﹣√3.
②如图3中，当点F在优弧BD
⌢上时，
∵⊙DAF＝15°，
∴⊙DCF＝30°，
过点C作CG⊙AD于D，过点F作FH⊙CG于H，
可得⊙AFH＝15°，⊙HFC＝30°，
∴CH＝1，
∴点F到直线AD的距离＝CG﹣CH＝AC•cos30°﹣CH＝√3﹣1.综上所述，满足条件的点F到直线AD的距离为2﹣√3或√3﹣1. 8．【答案】（1）证明：连接OD，
∴OD＝OB
∴⊙ODB＝⊙OBD.
∵AB是直径，
∴⊙ADB＝90°，
∴⊙CDB＝90°.
∵E为BC的中点，
∴DE＝BE，
∴⊙EDB＝⊙EBD，
∴⊙ODB+⊙EDB＝⊙OBD+⊙EBD，
即⊙EDO＝⊙EBO.
∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，
∴AB⊙BC，
∴⊙EBO＝90°，
∴⊙ODE＝90°，
∴DE是⊙O的切线
（2）解：∵S2＝5 S1
∴S⊙ADB＝2S⊙CDB
∴AD DC=
2
1
∵⊙BDC⊙⊙ADB
∴⋅AD
DB=
DB
DC
∴DB2＝AD•DC
∴DB AD =√
22
∴tan⊙BAC ＝＝ √22
（3）解：∵tan⊙BAC ＝ DB AD =√
22
∴BC AB =√22 ，得BC ＝ √
22
AB ∵E 为BC 的中点
∴BE ＝ √
24
AB
∵AE ＝3 √2 ，
∴在Rt⊙AEB 中，由勾股定理得 (3√2)2
=(√2
4AB)2
+AB 2 ，解得AB ＝4 故⊙O 的半径R ＝ 12
AB ＝2.
9．【答案】（1）证明：连接 EC ， OE ，
∵BC 为 ⊙O 的直径， ∴∠BEC =90° ， ∴CE ⊥AB ， 又∵AC =BC ， ∴E 为 AB 中点， 又∵O 为 BC 中点， ∴OE⊙AC ， 又∵EG ⊥AC ， ∴OE ⊥EG ，
又 OE 为 ⊙O 的半径， ∴FE 是 ⊙O 的切线. （2）证明：∵OE =OC ，
∴∠OEC=∠OCE，
∵EF为圆的切线，
∴∠FEC+∠OEC=90°，∵∠BEC=90°
∴∠B+∠BCE=90°，
∴∠FEC=∠B，
又∵∠F=∠F，
∴△FEC∽△FBE，
∴FE
FB=
FC
FE，
∴FE2=FC⋅FB，
当∠F=30°时，∠FOE=60°，
又OE=OC，
∴△OEC为等边三角形，
∴∠OEC=60°，
∴∠FEC=30°=∠F，
∴CE=CF，
又CG⊥FE，
∴FE=2FG，
∴(2FG)2=FC⋅FB，
即4FG2=FC⋅FB
（3）解：由（2）得FE2=FC⋅FB，
又BC=6，FE=4，FB=BC+FC=6+FC，∴42=FC⋅(FC+6)，
因式分解得（FC+8）（FC-2）=0，
解得FC=2或FC=-8舍去，
∵BC=6，
∴OE=OC=1
2BC=3
，AC=BC=6，
∴FO=FC+CO=2+3=5，∵CG⊙OE，
∴⊙GCF=⊙EOF，⊙FGC=⊙FEO，
∴△FCG∽△FOE，
∴FC
FO=
CG
OE，即
2
5=
CG
3，
∴CG=6 5，
∴AG=AC−CG=6−6
5=
24
5
10．【答案】（1）证明：∵将⊙ABC沿直线AB折叠得到⊙ABD，∴BC＝BD．
∴点B在CD的垂直平分线上．
同理得：点A在CD的垂直平分线上．
∴AB⊙CD即OA⊙CD，
∵AG∥CD．
∴OA⊙GA．
∵OA是⊙O的半径，
∴直线GA是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴⊙ACB＝⊙ADB＝90°．
∴⊙ABD+⊙BAD＝90°．
∵⊙GAB＝90°，
∴⊙GAD+⊙BAD＝90°．
∴⊙ABD＝⊙GAD．
∵⊙ADB＝⊙ADG＝90°，
∴⊙BAD⊙⊙AGD．
∴AB
AG=
AD
GD．
∴AG•AD＝GD•AB；
（3）解：∵tan⊙AGB＝√2，⊙ADG＝90°，
∴AD
GD=√2．
∴AD=√2GD．
由（2）知，⊙BAD⊙⊙AGD，
∴AD
GD=
BD
AD，
∴AD 2＝GD•BD ，
∴BD ＝2GD ．
∵AD
⌢＝AD ⌢， ∴⊙GAD ＝⊙GBA ＝⊙PCD ．
∵AG ∥CD ，
∴⊙PAG ＝⊙PCD ．
∴⊙PAG ＝⊙PBA ．
∵⊙P ＝⊙P ，
∴⊙PAG⊙⊙PBA ．
∴PA 2＝PG•PB
∵PG ＝6，BD ＝2GD ，
∴PA 2＝6（6+3GD ）．
∵⊙ADP ＝90°，
∴PA 2＝AD 2+PD 2．
∴6（6+3GD ）＝（√2GD ）2+（6+GD ）2．
解得：GD ＝2或GD ＝0（舍去）．
∴AD ＝2√2，AP ＝6√2，
∴sinP ＝AD AP ＝2√26√2=13
． 11．【答案】（1）证明：∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴⊙ADB=90°，
∴⊙DBA+⊙DAB=90°，
∵⊙DEA=⊙DBA ，⊙DAC=⊙DEA ，
∴⊙DBA=⊙DAC ，
∴⊙BAC=⊙DAC+⊙DAB=90°，
∵AB 是 ⊙O 的直径，⊙BAC=90°，
∴AC 是 ⊙O 的切线；
（2）解：①∵点E 是 BD
⌢ 的中点， ∴⊙BAE=⊙DAE ，
∵⊙CFA=⊙DBA+⊙BAE ，⊙CAF=⊙DAC+⊙DAE ，⊙DBA=⊙DAC ，
∴⊙CFA=⊙CAF ，
∴CA=CF；
②设CA=CF=x，则BC=CF+BF=x+2，
∵⊙O的半径为3，
∴AB=6，
在Rt⊙ABC中，CA2+AB2=BC2，
即：x2+62=(x+2)2，
解得：x=8，
∴AC=8.
12．【答案】（1）证明：如图，连接CD，OE.
∵BC为⊙O直径
∴∠BDC=∠CDA=90°
∵DE为Rt△ADC斜边AC的中线
∴DE=CE
∵OD=OC，OE=OE
∴△COE≌△DOE(SSS)
∴∠OCE=∠ODE=90°
∴DE为⊙O的切线.
（2）2；DE=2√3
13．【答案】（1）证明：如图①，过点O作OE⊙AM于点E，
∵在Rt⊙AOE中，当sinA＝3
5，OA＝10，
∴OE＝6
∵直径BC＝12，
∴OM＝6＝OE，
∴点E与点M重合，OM⊙AM，
∴AM是⊙O的切线．
（2）解：如图②，当点P与点B重合时，AM取得最大值．AM的最大长度可以通过勾股定理求得．
延长AO交⊙O于点F，作MG⊙AF于点G，连接OD、OM，DM，
∵BD的长为π，
∴π＝∠BOD⋅π⋅6
180，
∴⊙BOD＝30°，
∵⊙DBM＝90°，
∴DM是⊙O的直径，即DM过点O，
∴⊙COM＝30°，
∵AO⊙BC，
∴⊙MOG＝60°，
在Rt⊙GOM中，⊙MOG＝60°，OM＝6，
∴OG＝3，GM＝3√3，
在Rt⊙GAM中，
AM＝√AG2+GM2＝14，
∴AM的最大长度：14．
14．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴⊙ACB＝⊙ADB＝90°，
∵AB＝AB，
∴⊙ADB⊙⊙BCA（HL）
（2）解：如图，连接DC，
∵OD⊙AC，
⌢=DC⌢，
∴AD
∴AD＝DC，
∵⊙ADB⊙⊙BCA，
∴AD＝BC，
∴AD＝DC＝BC，
∴⊙AOD＝⊙ABC＝60°，
∵AB＝4，
∴AC=AB⋅sin60°=4×√3
2=2√3
（3）证明：如图，连接OC，
由(1)和(2)可知BC= √AB2−AC2=2
∵BP＝2
∴BC＝BP＝2
∴⊙BCP＝⊙P，
∵⊙ABC＝60°，
∴⊙BCP＝30°，
∵OC＝OB，⊙ABC＝60°，
∴⊙OBC是等边三角形，
∴⊙OCB＝60°，
∴⊙OCP＝⊙OCB+⊙BCP＝60°+30°＝90°，∴OC⊙PC，
∴PC是⊙O的切线.
15．【答案】（1）证明：如图，连接OE．
∵BE平分⊙ABC，
∴⊙CBE=⊙OBE，
∵OB=OE，
∴⊙OBE=⊙OEB，
∴⊙OEB=⊙CBE，
∴OE⊙BC，
∴⊙AEO=⊙C=90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）证明：如图，连结DE．
∵⊙CBE=⊙OBE，EC⊙BC于C，EH⊙AB于H，∴EC=EH．
∵⊙CDE+⊙BDE=180°，⊙HFE+⊙BDE=180°，
∴⊙CDE=⊙HFE．
在⊙CDE与⊙HFE中，
{
∠CDE=∠HFE
∠C=∠EHF=900
EC=EH
，
∴⊙CDE⊙⊙HFE（AAS），
∴CD=HF．
（3）解：由（2）得，CD=HF．又CD=1 ∴HF＝1
在Rt⊙HFE中，EF= √32+12＝√10
∵EF⊙BE
∴⊙BEF=90°
∴⊙EHF=⊙BEF=90°∵⊙EFH=⊙BFE
∴⊙EHF⊙⊙BEF
∴EF
BF=
HF
EF，即
√10
BF=
1
√10
∴BF=10
∴OE=1
2BF=5
, OH=5−1=4,
∴在Rt⊙OHE中，cos∠EOA=4 5 ,
∴在Rt⊙EOA中，cos∠EOA=OE
OA=
4
5
,
∴
5
OA=
4
5
∴OA=25 4
∴AF=25
4−5=
5
4
.
16．【答案】（1）证明：如图，连接OC ，
∵PA切⊙O于A
∴∠PAO=90∘
∵OP⊙BC
∴⊙AOP=⊙OBC，⊙COP=⊙OCB
∵OC=OB
∴⊙OBC=⊙OCB
∴⊙AOP=⊙COP
又∵OA=OC，OP=OP
∴⊙PAO⊙⊙PCO
∴⊙PAO=⊙PCO=90 º
又∵OC是⊙O的半径
∴PC是⊙O的切线
（2）解：连接AE，BE，AC过点B作BM⊙CE于点M
∴⊙CMB=⊙EMB=⊙AEB=90º
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10，BC=6
∴AC=√AB2−BC2=8，
∴cos∠CAB=AC
AB=
8
10=
4
5
又∵点E是AB
⌢的中点
∴⊙ECB=⊙CBM=⊙ABE=45º，∴BE=AB ×cos45 °=5√2
CM=BC×cos45°=6×√2
2=3√2
∵CB⌢=CB⌢
∴∠CAB=∠CEB
∴cos∠CEB=cos∠CAB=4 5
∴EM= BE×cos∠CEB=5√2×4
5=4√2
∴CE=CM+EM= 3√2+4√2=7√2∴CE的长为7√2.。