复习空间解析几何内容习题市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件

2. 平面普通方程
Ax By Cz D 0
3. 平面截距式方程 x yz 1 a bc
z
n
M0 M
o
y
x
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
n { A, B, C}
z
c
o xa
by
第23页
4.平面夹角(即它们法向量夹角)
1 : A1 x B1 y C1z D1 0
n1
n2
（5）双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
（6）圆锥面
x2 y2 z2
第20页
(三)空间曲线
1. 空间曲线普通方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
2. 空间曲线参数方程
x x(t)
y
y(t )
z z(t)
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3. 空间曲线在坐标面上投影
设空间曲线普通方程：
2
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
1
arccos
| A1A2 B1B2 C1C2 |
A12 B12 C12 A22 B22 C22
5. 两平面位置特征：
(1) 1 2 A1 A2 B1B2 C1C2 0
(2)
1 // 2
A1 A2
B1 B2
C1 C2
a a 2a b b b
a 2 2 a
b
cos
2
b
3
42 2 4 5 1 52 2
21.
第31页
测试点: (1)怎样应用内积求向量长度; (2)内积性质(与多项式运算类似); (3)内积定义.
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例3 以下各组数不能作为某向量方向余弦是
A. 2 , 2 ,0 22
C. 1 , 1 , 2 32 5
曲面称为柱面. 这条定曲线叫柱面准
线，动直线叫柱面母线. 柱面方程特征：
只含 x, y而缺 z方程 F ( x, y) 0,
C
L
在空间直角坐标系中表示
母线平行于 z轴柱面，其
准线为 xOy平面上曲线 C.
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z
z
M
Co
M1
y
x
o y
x
l
(1) 圆柱面 (2) 抛物柱面
x2 y2 R2
x2 2 py ( p 0)
B. 6 , 3 , 2 63 2
D. 1 , 3 , 2 14 14 14
解 依据数组 a1,a2 ,a3 能作为某向量方向余弦 充要条件是 a12 a22 a32 1. 答案 C
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例4 在三维直角坐标系中,方程
z2 x2 y2 c2 a2 b2 1
表示图形是 (
).
A.单叶双曲面
i jk 2 2 2 2i 10 j 8k
4 0 1
由平面点法式方程知所求平面方程为 (2)[ x (1)] 10( y 0) 8(z 0) 0
即
x 5 y 4z 1 0.
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解法2 用普通式方程 设所求平面方程为
Ax By Cz D 0
将 P1 , P2 , P3 点坐标代入得方程组
B.双叶双曲面
C.锥面
D.抛物面
解 从方程轻易看出 z 取值范围是 z c.
答案 B
测试点 依据二次方程判断方程表示图形
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例5 求过点 P1(3,0,1), P2(1, 2, 3), P3(1,0,0) 平面方程.
解法1
P1P2 {2, 2, 2}, P1P3 {4,0, 1} n P1P2 P1P3
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二、经典例题
例1 P(1, 2,3) 关于 xOz平面对称点 M 为
.
z
M (1, 2,3) M (1, 2,3)
答案 M (1, 2,3)
y
O
x
测试点: 关于坐标平面对称点坐标特征.
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例2 设向量a 与b 夹角
,
3
a 4, b 5. 计算 a b .
解 a b (a b) (a b)
cos
ay
ax2
a
2 y
az2
cos
az
ax2 ay2 az2
( cos2 cos2 cos2 1 )
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(四)数量积 (点积、内积)
a
b
|
a
||
b
|
cos
其中 为 a 与 b 夹角.
数量积坐标表 示式 a b axbx a yby azbz
利用内积表示向量长度 a a a
L : x x0 y y0 z z0
m
n
p
: Ax By Cz D 0
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直线与平面夹角公式:
arcsin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
直线与平面位置关系
(1)
L
ABC mn p
(2) L // Am Bn Cp 0
ab 0
ax ay az bx by bz
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二、空间解析几何
空间直角坐标系
普通方程 参数方程 普通方程
曲线 直线
曲面 平面
参数方程
对称式方程 点法式方程
旋转曲面 柱面
二次曲面 普通方程
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(一)空间直角坐标系
z 竖轴
空间点
定点 o •
横轴 x
y 纵轴
(x, y,z)
有序数组
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第37页
例6 求过点 P0 (2,0,1) 且与直线 4x 2y 3z 9 0 2x 3 y z 6 0
平行直线方程. 解 所求直线方向向量为
i jk v n1 n2 4 2 3 7i 2 j 8k
2 3 1
用直线点向式(对称式)方程得所求直线方程为 x 2 y z 1. 7 2 8
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1. 旋转曲面
定义：以一条平面曲线绕其平 面上一条定直线旋转一周所 成曲面称为旋转曲面,称这 条定直线为该旋转曲面轴.
M(x, y,z)
z
C
M1(0, y1, z1)
o
y
x
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绕坐标轴旋转旋转曲面方程特点:
设有平面曲线
L
:
f z
( x, 0
y)
0
(1) 曲线 L 绕 x 轴旋转所成旋转曲面 方程为
|
c
||
a
||
b
|
sin
a
其中 为 a 与 b 夹角 ;
c 方向既垂直于 a, 又垂直于b, 指向符合右手系.
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向量积坐标表示式
a b (a ybz azby )i (azbx axbz ) j
(axby aybx )k
i j k a b ax ay az
bx by bz
a 与 b 平行
f (x, y2 z2 ) 0
(2) 曲线 L 绕 y 轴旋转所成旋转曲面 方程为
f ( x2 z2 , y) 0
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（1）球面
（2）圆锥面
x2 y2 z2 R2 x2 y2 z2
（3）旋转双曲面 x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
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2. 柱面 定义： 平行于定直线并沿定曲线C移动直线L所形成
两点间距离公式 设 M1( x1 , y1 , z1 ), M2 ( x2 , y2 , z2 ) 为空间两点, 它们距离为
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
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(二)曲面及其方程
假如曲面 S 与三元方程 F ( x, y, z) 0 有下述关系：
(1) 曲面 S 上任一点坐标都满足方程； (2) 坐标满足方程点都在曲面 上S 那么，方程 F ( x, y, z) 0 就叫做曲面 S 方程，而 曲面 S 就叫做方程图形.
z
o y
x
(3) 椭圆柱面
x2 a2
y2 b2
1
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3. 二次曲面 定义:三元二次方程所表示曲面称为二次曲面.
（1）椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
（2）椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
( p 与 q同号)
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z
z
oy
y
x
x
（4）单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
m
n
p
3. 空间直线参数方程
x x0 mt
y
y0
nt
z z0 pt
z
s
L
M
M0
o
y
x
M0( x0 , y0 , z0 )
s
{m,
n,
p}
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4. 两直线夹角
直线 L1 : 直线 L2 :
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2
m2
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
消去变量 z后得： H ( x, y) 0
曲线在 xo面y上投影曲线为
H(x, y) 0
z
0
yoz面上投影曲线
xoz面上投影曲线
R( y, z) 0
x
0
T ( x, z) 0
y
0
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(四)平面
1. 平面点法式方程 A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
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测试点: (1)依据直线普通方程求直线方向向量; (2)写直线标准式(对称式)方程方法.
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例7 求 xOy 平面上曲线 4x2 9 y2 36 绕 y 轴旋转
所得旋转曲面方程
.
解 因为绕 y 轴旋转,故所得旋转曲面方程是由曲线方程
中 y 不动,将 x2 变成 x2 z2 得到.故所求曲面方程为
x x
y y
3z 0 z0
与平面
x y 2z 1 0
夹角 .
n
解 直线 L方向向量
L
ijk
v n1 n2 1 1 3 2i 4 j 2k 1 1 1
又平面法向量 n {1, 1, 2}
所以直线与平面夹角
arcsin v n arcsin 2 - 4 - 4 .
3A C D
A
2B
3C
D
A
D
取 A 1 解得 D 1,C 4, B 5.
于是,所求平面方程为 x 5 y 4z 1 0.
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测试点: 求平面方程普通方法: (1)平面点法式方程 (怎样依据已知 条件求出平面法向量) (2)依据平面普通式方程(设平面方程为: Ax By Cz D 0, 将已知条件代入确定 系数 A, B,C, D. (注意:有一个自由未知数.)
第一章 空间解析几何
第一部分 主要内容 第二部分 经典例题
第1页
第一部分 主要内容
一、向量代数 二、空间解析几何
第2页
一、向量代数
向量 线性运算
向量概念
向量积
向量 表示法
数量积
向量积
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(一)向量坐标表示
z az a
假如向量
a axi ay j azk
x
ax
ay y
向量坐标表示为
a {ax , ay , az }
a b {ax bx , a y by , az bz } a b {ax bx , a y by , az bz }
a {ax , a y , az }
第5页
（三）向量模(长度)坐标表示
| a | ax2 a y2 az2
向量方向余弦坐标表示式
cos
ax
ax2 ay2 az2
它到平面 x 4 距离为 x 4 . 故所求曲面方程为
( x 1)2 y2 z2 1 x 4 2
即
3 x2 4 y2 4z2 12
第41页
测试点: (1)求两点距离公式; (2)求一点到平行于坐标平面平面距离; (3)求满足某种条件曲面方程普通方法.
第42页
例9
求直线
L
:
4( x2 z2 ) 9 y2 36.
测试点: 怎样求旋转曲面方程
思索 改为绕其它坐标轴旋转,结果怎样?所 得二次曲面图形怎样?
第40页
例8 一动点与点 M (1,0,0)距离是它到平面 x 4
距离二分之一，试求该动点轨迹曲面方程. 解 设动点 为 P( x, y, z), 则
PM ( x 1)2 y2 z2
n2
p2
两直线夹角 公 式
cos
| m1m2 n1n2 p1 p2 |
m12 n12 p12 m22 n22 p22
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5. 两直线位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0
(2)
L1 //
L2
m1 n1 m2 n2
p1 p2
6. 直线与平面夹角
其中 ax ,ay ,az 分别为向量在 x, y, z 轴上投影 .
已知空间两点 A( x1, y1, z1), B( x2 , y2 , z2 )
则向量
AB {x2 x1, y2 y1, z2 z1}
第4页
(二）向量加减法、向量与数乘积坐标表示式
设 a {ax , ay , az }, b {bx , by , bz }
第24页
(五)空间直线
1. 空间直线普通方程
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 2 : A2 x B2 y C2z D2 0
z
1 L
2
L
:
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
x
o
y
第25页
2. 空间直线对称式方程
x x0 y y0 z z0
利用内积求两向量夹角公式
cos a b
axbx a yby azbz
ab
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
ab
a b0
axbx a yby azbz 0
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(五)向量积 (叉积、外积)
向量 a 与 b 向量积为一个向量, 记为
c ab
c ab
b
向量 c 长度为Leabharlann Baidu