高中数学理科基础知识讲解《92点与直线、两条直线的位置关系》教学课件
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考点2
直线的交点问题例2(1)(2019安徽淮南一中模拟,6)已知直线kx-y+2k+1=0与直线2x+y-2=0的交点在第一象限,则实数k的取值范围为( )(2)(2019河南林州一中模拟,5)已知直线l过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点,且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l的条数为( )A.0 B.1 C.2 D.3
D
C
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考点2
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考点2
思考如何求两直线的交点坐标?求过两直线交点的直线方程的方法?常见的直线系方程有哪些?解题心得1.求两条直线的交点坐标,一般思路就是解由这两条直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点.2.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程,这样能简化解题过程.
C
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考点4
考向3 直线关于直线的对称问题例6(1)已知直线l1:x-y+3=0,直线l:x-y-1=0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2,直线l2的方程为 . (2)(2019河北唐 模拟,14)已知直线l:2x-3y+1=0,点a(-1,-2),则直线l关于点a对称的直线m的方程为 . (3)(2019四川成都联合诊断,7)与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程是( )a.3x-4y+5=0 b.3x-4y-5=0c.3x+4y-5=0 d.3x+4y+5=0思考直线关于直线的对称问题该如何解?
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考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)如果直线l1与直线l2互相平行,那么这两条直线的斜率相等. ( )(2)如果直线l1与直线l2互相垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1. ( )(3)点P(x1,y1)到直线y=kx+b的距离为 . ( )(4)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离. ( )(5)两平行直线2x-y+1=0,4x-2y+1=0间的距离是0. ( )
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考点4
4.直线关于直线的对称:此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.
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考点4
对点训练4(1)(2019河北保定二模,9)设点P为直线l:x+y-4=0上的动点,点A(-2,0),B(2,0),则|PA|+|PB|的最小值为( )(2)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于 . (3)光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y+7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.
A
A
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考点1
解析:(1)若直线2x+(m-2)y+3=0与直线(6-m)x+(2-m)y-5=0垂直,则2(6-m)+(m-2)(2-m)=0,得12-2m-m2+4m-4=0,即m2-2m-8=0,得(m+2)(m-4)=0,得m=4或m=-2,则m=-2是“直线2x+(m-2)y+3=0与直线(6-m)x+(2-m)y-5=0垂直”的充分不必要条件,故选A.(2)由于两条直线平行,所以m·(-3m)-(-3)·4=0,解得m=±2,当m=2时,两直线方程都是2x-3y+6=0,故两直线重合,不符合题意.当m=-2时,
A
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考点4
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考点4
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考点4
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考点4
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考点4
1.对于两条直线的位置关系的判断或求解:(1)若直线斜率均存在且不重合,则一定有:l1∥l2⇔k1=k2.(2)若直线斜率均存在,则一定有:l1⊥l2⇔k1·k2=-1.2.中心对称问题(1)点关于点的对称一般用中点坐标公式解决.(2)直线关于点的对称,可以在已知直线上任取两点,利用中点坐标公式先求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再根据这两点确定直线的方程;也可以先求出一个对称点,再利用两对称直线平行关系,由点斜式得到所求直线即可.
平行、相交、重合
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知识梳理
(3)由一般式确定两直线位置关系的方法
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知识梳理
2.两条直线的交点
相交⇔方程组有 ; 平行⇔方程组 ; 重合⇔方程组有 .
唯一解
无解
无数个解
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知识梳理
3.三种距离公式
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知识梳理
1.与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直或平行的直线方程可设为:(1)垂直:Bx-Ay+m=0;(2)平行:Ax+By+n=0.2.与对称问题相关的两个结论:(1)过定点P(x0,y0)的直线系方程:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0),还可以表示为y-y0=k(x-x0)和x=x0.(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Ax+By+λ=0(λ≠C).(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Bx-Ay+λ=0.(4)过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0)和A2x+B2y+C2=0.
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考点1
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考点1
思考解含参数直线方程的有关问题时如何分类讨论?解题心得1.当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,还要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两条直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数之间的关系得出结论.在利用比例式 的关系时,应注意其成立的限制条件.
C
3x+y=0
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考点2
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考点3
距离公式的应用例3(1)若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( )(2)已知直线l:x- y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|= . (3)(2019北京西城模拟,5)已知点A(0,1),点B在直线x+y+1=0上运动.当|AB|最小时,点B的坐标是( )A.(-1,1) B.(-1,0) C.(0,-1) D.(-2,1)
C
4
B
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考点3
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考点3
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考ห้องสมุดไป่ตู้3
思考利用距离公式应注意的问题有哪些?解题心得利用距离公式应注意:(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式,若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在.(3)两平行线间的距离公式要求两条直线方程中x,y的系数相等.
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考点2
对点训练2(1)(2019安徽黄 模拟,6)设a(-2,3),b(1,2),若直线ax+y-1=0与线段ab相交,则a的取值范围是( )a.[-1,1] b.(-1,1) c.(-∞,-1]∪[1,+∞) d.(-∞,-1)∪(1,+∞)(2)过两条直线2x-y-5=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程为 .
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考点1
对点训练1(1)(2019河北唐 模拟,4)“m=-2”是“直线2x+(m-2)y+3=0与直线(6-m)x+(2-m)y-5=0垂直”的( )a.充分不必要条件 b.必要不充分条件c.充要条件 d.既不充分也不必要条件(2)(2019安徽江南十校二联,5)已知直线l1:mx-3y+6=0,l2:4x-3my+12=0,若l1∥l2,则l1,l2之间的距离为 ( )
x+4y-4=0
解析:设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,故直线l的方程为x+4y-4=0.
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考点4
考向2 点关于直线的对称问题例5点P(2,5)关于x+y+1=0的对称点的坐标为 ( )A.(6,3) B.(3,-6)C.(-6,-3) D.(-6,3)思考点关于直线的对称问题该如何解?
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考点自诊
B
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考点自诊
5.(2019广东广州模拟,14)已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的取值集合为 .
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考点1
两条直线的平行与垂直例1已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)试判断l1与l2是否平行;(2)当l1⊥l2时,求a的值.
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考点3
对点训练3(1)若动点P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别在直线l1:x-y-5=0,l2:x-y-15=0上移动,则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是( )
A
A
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考点3
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考点4
对称问题(多考向)考向1 点关于点对称例4过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为 . 思考点关于点的对称问题该如何解?
x-y-5=0
2x-3y-9=0
D
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考点4
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考点4
(3)设所求直线上点的坐标(x,y),则关于x轴的对称点的坐标(x,-y)在已知的直线3x-4y+5=0上,所以所求对称直线方程为:3x+4y+5=0,故选D.
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考点4
解题心得1.点关于点的对称:求点P关于点M(a,b)的对称点Q的问题,主要依据M是线段PQ的中点,即xP+xQ=2a,yP+yQ=2b.2.直线关于点的对称:求直线l关于点M(m,n)的对称直线l'的问题,主要依据l'上的任一点T(x,y)关于M(m,n)的对称点T'(2m-x,2n-y)必在l上.一般是在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程;或求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程. 3.点关于直线的对称:若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线
9.2 点与直线、两条直线的位置关系
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知识梳理
1.两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括 三种情况.(1)两直线平行:①对于两条不重合的直线l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2.②当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.③对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0).(2)两条直线垂直①对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则有l1⊥l2⇔k1·k2=-1.②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2.
×
×
×
√
×
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考点自诊
2.(2019浙江宁波联考,5)直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+b=0垂直,垂足为(1,c),则a+b+c=( )A.-2 B.-4 C.-6 D.-8
B
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考点自诊
3.(2019安徽淮南二模,5)设λ∈R,则“λ=-3”是“直线2λx+(λ-1)y=1与直线6x+(1-λ)y=4平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
A
解析:当λ=-3时,两条直线的方程分别为6x+4y+1=0,3x+2y-2=0,此时两条直线平行;若两条直线平行,则2λ×(1-λ)=-6(1-λ),所以λ=-3或λ=1,经检验,两者均符合,综上,“λ=-3”是“直线2λx+(λ-1)y=1与直线6x+(1-λ)y=4平行”的充分不必要条件,故选A.
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考点2
3.常见的三大直线系方程:(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R).(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.
考点2
直线的交点问题例2(1)(2019安徽淮南一中模拟,6)已知直线kx-y+2k+1=0与直线2x+y-2=0的交点在第一象限,则实数k的取值范围为( )(2)(2019河南林州一中模拟,5)已知直线l过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点,且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l的条数为( )A.0 B.1 C.2 D.3
D
C
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考点2
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考点2
思考如何求两直线的交点坐标?求过两直线交点的直线方程的方法?常见的直线系方程有哪些?解题心得1.求两条直线的交点坐标,一般思路就是解由这两条直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点.2.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程,这样能简化解题过程.
C
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考点4
考向3 直线关于直线的对称问题例6(1)已知直线l1:x-y+3=0,直线l:x-y-1=0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2,直线l2的方程为 . (2)(2019河北唐 模拟,14)已知直线l:2x-3y+1=0,点a(-1,-2),则直线l关于点a对称的直线m的方程为 . (3)(2019四川成都联合诊断,7)与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程是( )a.3x-4y+5=0 b.3x-4y-5=0c.3x+4y-5=0 d.3x+4y+5=0思考直线关于直线的对称问题该如何解?
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考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)如果直线l1与直线l2互相平行,那么这两条直线的斜率相等. ( )(2)如果直线l1与直线l2互相垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1. ( )(3)点P(x1,y1)到直线y=kx+b的距离为 . ( )(4)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离. ( )(5)两平行直线2x-y+1=0,4x-2y+1=0间的距离是0. ( )
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考点4
4.直线关于直线的对称:此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.
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考点4
对点训练4(1)(2019河北保定二模,9)设点P为直线l:x+y-4=0上的动点,点A(-2,0),B(2,0),则|PA|+|PB|的最小值为( )(2)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于 . (3)光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y+7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.
A
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考点1
解析:(1)若直线2x+(m-2)y+3=0与直线(6-m)x+(2-m)y-5=0垂直,则2(6-m)+(m-2)(2-m)=0,得12-2m-m2+4m-4=0,即m2-2m-8=0,得(m+2)(m-4)=0,得m=4或m=-2,则m=-2是“直线2x+(m-2)y+3=0与直线(6-m)x+(2-m)y-5=0垂直”的充分不必要条件,故选A.(2)由于两条直线平行,所以m·(-3m)-(-3)·4=0,解得m=±2,当m=2时,两直线方程都是2x-3y+6=0,故两直线重合,不符合题意.当m=-2时,
A
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考点4
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考点4
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考点4
1.对于两条直线的位置关系的判断或求解:(1)若直线斜率均存在且不重合,则一定有:l1∥l2⇔k1=k2.(2)若直线斜率均存在,则一定有:l1⊥l2⇔k1·k2=-1.2.中心对称问题(1)点关于点的对称一般用中点坐标公式解决.(2)直线关于点的对称,可以在已知直线上任取两点,利用中点坐标公式先求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再根据这两点确定直线的方程;也可以先求出一个对称点,再利用两对称直线平行关系,由点斜式得到所求直线即可.
平行、相交、重合
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知识梳理
(3)由一般式确定两直线位置关系的方法
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知识梳理
2.两条直线的交点
相交⇔方程组有 ; 平行⇔方程组 ; 重合⇔方程组有 .
唯一解
无解
无数个解
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知识梳理
3.三种距离公式
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知识梳理
1.与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直或平行的直线方程可设为:(1)垂直:Bx-Ay+m=0;(2)平行:Ax+By+n=0.2.与对称问题相关的两个结论:(1)过定点P(x0,y0)的直线系方程:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0),还可以表示为y-y0=k(x-x0)和x=x0.(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Ax+By+λ=0(λ≠C).(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Bx-Ay+λ=0.(4)过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0)和A2x+B2y+C2=0.
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考点1
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考点1
思考解含参数直线方程的有关问题时如何分类讨论?解题心得1.当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,还要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两条直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数之间的关系得出结论.在利用比例式 的关系时,应注意其成立的限制条件.
C
3x+y=0
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考点2
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考点3
距离公式的应用例3(1)若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( )(2)已知直线l:x- y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|= . (3)(2019北京西城模拟,5)已知点A(0,1),点B在直线x+y+1=0上运动.当|AB|最小时,点B的坐标是( )A.(-1,1) B.(-1,0) C.(0,-1) D.(-2,1)
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考点3
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考点3
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考ห้องสมุดไป่ตู้3
思考利用距离公式应注意的问题有哪些?解题心得利用距离公式应注意:(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式,若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在.(3)两平行线间的距离公式要求两条直线方程中x,y的系数相等.
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考点2
对点训练2(1)(2019安徽黄 模拟,6)设a(-2,3),b(1,2),若直线ax+y-1=0与线段ab相交,则a的取值范围是( )a.[-1,1] b.(-1,1) c.(-∞,-1]∪[1,+∞) d.(-∞,-1)∪(1,+∞)(2)过两条直线2x-y-5=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程为 .
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考点1
对点训练1(1)(2019河北唐 模拟,4)“m=-2”是“直线2x+(m-2)y+3=0与直线(6-m)x+(2-m)y-5=0垂直”的( )a.充分不必要条件 b.必要不充分条件c.充要条件 d.既不充分也不必要条件(2)(2019安徽江南十校二联,5)已知直线l1:mx-3y+6=0,l2:4x-3my+12=0,若l1∥l2,则l1,l2之间的距离为 ( )
x+4y-4=0
解析:设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,故直线l的方程为x+4y-4=0.
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考向2 点关于直线的对称问题例5点P(2,5)关于x+y+1=0的对称点的坐标为 ( )A.(6,3) B.(3,-6)C.(-6,-3) D.(-6,3)思考点关于直线的对称问题该如何解?
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考点自诊
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考点自诊
5.(2019广东广州模拟,14)已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的取值集合为 .
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考点1
两条直线的平行与垂直例1已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)试判断l1与l2是否平行;(2)当l1⊥l2时,求a的值.
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考点3
对点训练3(1)若动点P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别在直线l1:x-y-5=0,l2:x-y-15=0上移动,则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是( )
A
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考点3
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考点4
对称问题(多考向)考向1 点关于点对称例4过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为 . 思考点关于点的对称问题该如何解?
x-y-5=0
2x-3y-9=0
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考点4
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考点4
(3)设所求直线上点的坐标(x,y),则关于x轴的对称点的坐标(x,-y)在已知的直线3x-4y+5=0上,所以所求对称直线方程为:3x+4y+5=0,故选D.
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考点4
解题心得1.点关于点的对称:求点P关于点M(a,b)的对称点Q的问题,主要依据M是线段PQ的中点,即xP+xQ=2a,yP+yQ=2b.2.直线关于点的对称:求直线l关于点M(m,n)的对称直线l'的问题,主要依据l'上的任一点T(x,y)关于M(m,n)的对称点T'(2m-x,2n-y)必在l上.一般是在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程;或求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程. 3.点关于直线的对称:若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线
9.2 点与直线、两条直线的位置关系
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知识梳理
1.两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括 三种情况.(1)两直线平行:①对于两条不重合的直线l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2.②当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.③对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0).(2)两条直线垂直①对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则有l1⊥l2⇔k1·k2=-1.②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2.
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√
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考点自诊
2.(2019浙江宁波联考,5)直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+b=0垂直,垂足为(1,c),则a+b+c=( )A.-2 B.-4 C.-6 D.-8
B
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考点自诊
3.(2019安徽淮南二模,5)设λ∈R,则“λ=-3”是“直线2λx+(λ-1)y=1与直线6x+(1-λ)y=4平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
A
解析:当λ=-3时,两条直线的方程分别为6x+4y+1=0,3x+2y-2=0,此时两条直线平行;若两条直线平行,则2λ×(1-λ)=-6(1-λ),所以λ=-3或λ=1,经检验,两者均符合,综上,“λ=-3”是“直线2λx+(λ-1)y=1与直线6x+(1-λ)y=4平行”的充分不必要条件,故选A.
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考点2
3.常见的三大直线系方程:(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R).(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.