三角函数与解三角形-新高考数学新情景、新文化问题(新高考地区专用)(解析版)

三角函数与解三角形
一、单选题
1．（2021·云南昆明市·高三（文））东寺塔与西寺塔为“昆明八景”之一，两塔一西一东，遥遥相对，已有1100多年历史．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，在A 点测得：塔在北偏东30°的点D 处，塔顶C 的仰角为30°，且B 点在北偏东60°．AB 相距80（单位：m ），在B 点测得塔在北偏西60°，则塔的高度CD 约为（ ）m
A ．69
B ．40
C ．35
D ．23
【答案】B 【分析】
根据题意构造四面体C -ABD ,再运用线面位置关系及三角形相关知识求解出相应的线段长即可. 【详解】
如图，根据题意，图中CD ⊥平面ABD ,30CAD ∠=︒,30,60,80BAD ABD AB ∠=︒∠=︒=
ABD 中，30,60BAD ABD ∠=︒∠=︒， 90ADB ∴∠=︒
cos 80?cos30AD AB BAD ∴=∠=︒=又CD ⊥平面ABD ，ACD ∴是直角三角形
Rt ACD
中，30,90,CAD ADC AD ∠=︒∠=︒=
·tan 3040CD AD ∴=︒==，选项B 正确，选项ACD 错误 故选：B.
2．（2021·山东枣庄八中高一期中）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积"中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，
即S =
现在有周长为10+ABC
满足sin :sin :sin 2:A B C =，则用以上给出的公式求得ABC 的面积为（ ） A
．B
．C
．D ．12
【答案】A 【分析】
利用正弦定理结合三角形的周长可求得ABC 的三边边长，利用题中公式可求得ABC 的面积. 【详解】
由题意结合正弦定理可得：::sin :sin :sin 2:a b c A B C ==
ABC
周长为10+
10a b c ++=+
4a ∴=，6b =
，c =
所以
S == 故选：A.
3．（2021·安徽淮北一中高一月考）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大的锐角为θ，则cos2θ等于（ ）
A ．
725
B ．725
-
C ．
925
D ．925
-
【答案】B 【分析】
根据题意可得出1sin cos 5θθ-=，平方可得24
sin 225
θ=，即可求出.
【详解】
因为大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，所以大正方形的边长为5，小正方形的边长为1， 所以5sin 5cos 1θθ-=，即1sin cos 5θθ-=，两边平方得11sin 225θ-=，即24
sin 225
θ=
. 因为θ是直角三角形中较大的锐角，所以
4
2
π
π
θ<<
，所以
22
πθπ<<，
所以7cos 225
θ==-
. 故选：B.
4．（2021·蚌埠铁路中学高三开学考试（文））勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC 内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC 内的概率为（ ）
A
B C D 【答案】A 【分析】
由题意可得曲边三角形的面积为一个扇形加两个拱形的面积，或者3个扇形面积减去2个三角形的面积，然后由几何概型的概率公式求出概率． 【详解】
解：由题意可得正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形的面积
S 曲＝S 扇形CAB +2S 拱＝123π⋅⋅22+2（S 扇形﹣S △ABC ）＝23π⋅3﹣2⋅22
＝2π﹣
三角形ABC 的面积S △ABC 2
2
所以由几何概型的概率公式可得：所求概率＝ABC
S S ∆曲 故选：A ．
5．（2021·江苏高一期中）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到
好处的和谐，0.618≈，这一比值也可以表示为2sin18m =︒，若228m n +=，=（ ） A
．2 B ．4 C ．D ．【答案】C 【分析】
由题知28cos 18n =,再根据二倍角公式化简整理即可得答案. 【详解】
解:因为2sin18m =︒，228m n +=, 所以2228288sin 188cos 18n m =-=-=,
2sin1822cos1822sin 36
22cos54cos54
⨯===
故选:C
6．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））水车（如图1），又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，主要利用水流的动力灌溉农作物，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产，相传为汉灵帝时毕岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业
灌溉，有1700余年历史．下图2是一个水车的示意图，它的直径为3m ，其中心（即圆心）O 距水面0.75m ．如
果水车每4min 逆时针转3圈，在水车轮边缘上取一点P ，我们知道在水车匀速转动时，P 点距水面的高度h
（单位：m ）是一个变量，它是时间t （单位：s ）的函数．为了方便，不妨从P 点位于水车与水面交点Q 时开始记时()0t =，则我们可以建立函数关系式()()sin h t A t k ωϕ=++（其中0A >，0>ω，2
π
ϕ<
）来反映
h 随t 变化的周期规律．下面关于函数()h t 的描述，正确的是（ ）
A ．最小正周期为80π
B ．一个单调递减区间为[]30,70
C ．()y h t =的最小正周期为40
D ．图像的一条对称轴方程为40
3
t =- 【答案】D 【分析】
首先求得()33
sin 24064
h t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞，然后结合选项由三角函数的图象和性质判断即可.
【详解】
依题意可知，水车转动的角速度32(rad /s)46040
ππ
ω⨯==⨯， 3324A k +=
+，3324A k -+=-+，解得32
A =，3
4k =，
由()330sin sin 024h A k ϕϕ=+=+=得1
sin 2ϕ=-，又2πϕ<，则6
πϕ=-，
所以()33
sin 24064
h t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞.
对于选项A ：函数()h t 的最小正周期为2=80
40π
π
，故A 错误；
对于选项B ：当[]30,70t ∈时，
719,40
61212t π
π
ππ⎡⎤
-
∈⎢⎥⎣⎦
，因为3719,21212πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以函数()h t 在[]30,70上不具有单调性，故B 错误； 对于选项C ：()()3533
40sin 02642
h h π=
+=≠，所以C 错误；
对于选项D ：4033
3sin 3224
4h π⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（最小值），所以D 正确.
故选：D.
7．（2021·江苏南京市·高一期中）托勒密（C .Ptolemy ，约90-168），古希腊人，是天文学家､地理学家､地图学家､数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表（部分如下图所示），该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（ ）
A ．0.0017
B ．0.0454
C ．0.5678
D ．0.5736
【答案】C 【分析】
先看左边列找34︒，再往右找对第一行的36'即可. 【详解】
由题意查表可得3436︒'的正弦值为0.5678. 故选:C .
8．（2021·江苏镇江·高一期中）今年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年．“红星闪闪放光彩”，正五角星是一个非常优美的几何图形，庄严美丽的国旗和国徽上的大五角星是中国共产党的象征，如图为一个正五角星图形，由一个正五边形的五条对角线连结而成，已知C ，D 为AB 的两个黄金分割点，即
AC BD AB AB =．则cos DEC ∠=（ ）
A
B
C
D
【答案】A 【分析】
根据图形和已知条件表示出,,CE DE CD ，然后用余弦定理求解即可 【详解】
由正五角星的对称性知：BC CE DE AD ===， 不妨设BC CE DE AD x ====，则CD AC AD =-， 又AC BC AC AD AB +=+=，
AB AC ==
则AC AD AC +=
，所以AD =，
AC AD AD =
=
，CD AC AD x x =-=-=
22
222
224cos 122x DE CE CD
DEC DE CE
x +-∠=
=
=⨯ 故选：A
二、多选题
9．（2021·河北唐山·高三开学考试）声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的.已知纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()1
sin sin 22
f x x x =+，则（ ）
A ．()f x 的最大值为3
2
B ．2π为()f x 的最小正周期
C ．π2
x =为()y f x =曲线的对称轴 D ．()π,0为曲线()y f x =的对称中心
【答案】BD 【分析】
分析函数sin y x =与1sin 22y x =不能同时取得最大值可判断A ；由sin y x =的最小正周期是2π，1
sin 22
y x
=的最小正周期是
2π
π2
=可判断B ；计算ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫
+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
是否成立可判断C ；计算()()2π0f x f x +-=是
否成立可判断D ；进而可得正确选项. 【详解】
对于A ：若()f x 的最大值为32，则sin y x =与1
sin 22
y x =同时取得最大值，
当sin y x =取得最大值1时，cos 0x =，可得1sin 2sin cos 02
y x x x ===取不到1
2，
若1sin 22
y x =取得最大值1
2时，sin 21x =，此时()ππZ 4x k k =+∈，
而πsin sin π4y x k ⎛⎫
==+= ⎪⎝⎭
1，所以sin y x =与1sin 22y x =不可能同时取得最大值，故选项A 不
正确；
对于B ：因为sin y x =的最小正周期是2π，1sin 22
y x =的最小正周期是2π
π2=， 且()()()()11
2πsin 2πsin 22πsin sin 222f x x x x x f x +=+++=+=，
()()()()11
πsin πsin 2πsin sin 222
f x x x x x f x +=+++=-+≠
所以2π为()f x 的最小正周期，故选项B 正确；
对于C ：ππ1π1sin sin 2cos sin 222222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
ππ1π1sin sin 2cos sin 222222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
所以ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫
+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
不恒成立，即
ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以π
2x =不是
曲线()y f x =的对称轴，故选项C 不正确；
对于D ：()()()11
2πsin 2πsin 22πsin sin 222
f x x x x x -=-+-=--，
所以()()2π0f x f x +-=对于任意的x 恒成立，所以()π,0为曲线()y f x =的对称中心，故选项D 正确； 故选：BD.
10．（2021·江苏）由倍角公式2cos 22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存
在一个n （n *∈N ）次多项式()1
2012n n n n n P t a t a t
a t a --=+++⋅⋅⋅+（012,,,n a a a a ⋅⋅⋅∈R ），使得()cos cos n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫（P ．L ．Tschebyscheff )多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ）
A ．()3
343P t t t =-+ B ．()42
4881P t t t =-+
C ．sin18︒=
D ．cos18︒=
【答案】BC 【分析】
通过求cos3,cos 4,cos5x x x ，来判断出正确选项. 【详解】
()cos3cos 2cos2cos sin 2sin =+=-x x x x x x x
()222cos 1cos 2sin cos x x x x =-- ()()222cos 1cos 21cos cos x x x x =--- 34cos 3cos x x =-，
所以()3
343P t t t =-，A 错误.
()()2
22222cos 4cos 22cos 2sin 22cos 14sin cos x x x x x x x =⋅=-=--
()42224cos 4cos 141cos cos x x x x =-+--
428cos 8cos 1x x =-+，
所以()424881P t t t =-+，B 正确.
()cos5cos 4cos4cos sin 4sin x x x x x x x =+=- ()428cos 8cos 1cos 2sin 2cos2sin x x x x x x =-+- ()53228cos 8cos cos 4sin 2cos 1cos x x x x x x =-+--
()()53228cos 8cos cos 41cos 2cos 1cos x x x x x x =-+--- 5316cos 20cos 5cos x x x =-+.
所以()53
cos90cos 51816cos 1820cos 185cos180︒=⨯︒=︒-︒+︒=，
由于cos180︒≠，所以4216cos 1820cos 1850︒-︒+=，
由于cos18cos30︒>︒，所以22
3cos 18cos 304
︒>︒=
，
所以由4216cos 1820cos 1850︒-︒+=解得2cos 18︒=
，
所以sin18︒=，C
正确. 2
=≠⎝⎭
，所以D 错误. 故选：BC 【点睛】
三角函数化简求值问题，关键是根据题意，利用三角恒等变换的公式进行化简.
11．（2021·全国）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m 的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.
若选用一个三角函数()f x 来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（ ） A ．() 2.5cos 56
x x f π
⎛⎫=+
⎪⎝⎭
B ．() 2.5sin 56
f x x π
⎛⎫=+
⎪⎝⎭
C ．该货船在2：00至4：00期间可以进港
D ．该货船在13：00至17：00期间可以进港 【答案】BCD 【分析】
依据题中所给表格，写出()f x 的表达式而判断选项A ，B ；再根据船进港的条件列出不等式，求解即可判断选项C ，D. 【详解】
依据表格中数据知，可设函数为()sin f x A x k ω=+，
由已知数据求得 2.5A =，5k =，周期12T =，所以26
T ππω=
=﹐ 所以有() 2.5sin 56
f x x π
⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
，选项A 错误；选项B 正确； 由于船进港水深至少要6.25，所以 2. 5sin 5 6.256x π⎛⎫
+ ⎪⎝⎭≥，得1
sin 6
2
x π⎛⎫
⎪⎝⎭≥， 又024046
x x ππ≤≤⇒≤
≤，则有
56
6
6x π
π
π≤
≤
或1317666
x πππ≤≤，
从而有1 5 x ≤≤或1317x ≤≤，选项C ，D 都正确. 故选：BCD 【点睛】
解三角不等式sin()(||1)x m m ωϕ+≥<关键在于：找准不等式中的函数值m 所对角； 长为一个周期的区间内相位x ωϕ+所在范围.
12．（2020·全国高三月考）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方
法画出：如图，在黄金矩形ABCD AB BC ⎛= ⎝⎭
中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作弧BE ；然后在黄金矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作弧
EG ；
；如此继续下去，这
些弧就连接成了斐波那契螺线.记弧BE ，EG ，GI 的长度分别为l ，m ，n ，则下列结论正确的是（ ）
A ．l m n =+
B ．2m l n =⋅
C ．2m l n =+
D ．
111
m l n
=+ 【答案】AB 【分析】
设1AB =，则2BC =，再由1
4
圆弧分别求得l ，m ，n ，然后再逐项判断.
【详解】
不妨设1AB =，则2BC =，
所以121)4l π=⨯⨯=
.
因为3ED =
所以12(34m π=⨯⨯=
.
同理可得124)4n π=⨯⨯=
所以l m n =+，2m l n =⋅，2m l n ≠+，111
m l n
≠+，
所以A ，B 正确，C ，D 错误. 故选：AB
三、填空题
13．（2021·安徽高三开学考试（理））正割（secant ）及余割（cosecant ）这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割1sec cos αα=
，余割1
csc sin αα
=．已知0t >，且22sec csc 16x t x +≥对任意的实数,2k x x k Z π⎛⎫
≠∈ ⎪⎝⎭
均成立，则t 的最小值为__________． 【答案】9 【分析】
根据正余割的定义，得到和为1，结合基本不等式1的代入即可求解 【详解】 由题得：
2211
1sec csc x x
+=， 所以()2222
22
11sec csc sec csc 16sec csc x t x x t x x x ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭
即：2222csc sec 11sec csc t x x
t x x t ≥+++++116t ++5-3，所以9t ≥
故答案为：9
14．（2021·江苏仪征中学高一月考）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》，作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与
中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设2DF FA =，若AB =ABD △的面积为____________.
【答案】【分析】
设BD x =，可得出3AD x =，23
ADB π
∠=，利用余弦定理求出x 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABD △的面积. 【详解】
设BD x =，则3AD x =，因为DEF 为等边三角形，则3
ADE π∠=
，故23
ADB π∠=
， 在ABD △中，由余弦定理得()2
22
252323cos
3
AB x x x x π
==+-⨯⨯⨯，解得2x =，
故6AD =，2BD =，因此，ABD △的面积为1226sin
23
ABD S π
=⨯⨯⨯=△
故答案为：
15．（2021·安徽阜阳·高一期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图1所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为O ，筒车的半径为r ，筒车转动的周期为24s ，如图2所示，盛水桶M
在0P 处距水面的距离为0h ．4s 后盛水桶M 在1P 处距水面的距离为1h ，若10h h -=，则直线0OP 与水面的夹角为______．
【答案】
π12
【分析】
根据题意构建平面几何模型，在借助三角函数求解答案. 【详解】
如图，过O 作直线l 与水面平行，过0P 作0P A l ⊥于A ，过1P 作1
PB l ⊥于B ． 设0AOP α∠=，1BOP β∠=，则，4π2π243
βα-=⨯=，π
3βα∴=+
由图知，0sin P A r α=
，1sin PB r β=
，0101sin sin P A h h PB r r r βα--=-==，
所以πsin sin 3αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
πsin 3α⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，则ππ34α-=-，即π12α=．
故答案为：
π
12
. 16．（2021·广东深圳·高三）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC 的三个内角均小于120︒时，则使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒的点P 即为费马点．已知点P 为ABC 的费马点，且AC BC ⊥，若||||||PA PB PC λ+=，则实数λ的最小值为_________．
【答案】2 【分析】
根据题意120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，不妨设PCB α∠=，故,,3
2
6
CBP ACP CAP π
π
π
ααα∠=
-∠=
-∠=-
，
进而得,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以在BCP 和ACP △中，由正弦定理得sin sin 3BP PC α
πα=⎛⎫- ⎪⎝⎭
，sin 2sin 6PA PC παπα⎛⎫
- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭，故sin sin 2sin sin 36πααλππαα⎛⎫
- ⎪
⎝⎭=+⎛⎫⎛
⎫-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭，在结合三角恒等变换化简整理求函数最值即可.
【详解】
根据题意, 点P 为ABC 的费马点，ABC 的三个内角均小于120︒, 所以120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，
设PCB α∠=，
所以在BCP 和ACP △中，,,3
2
3
6
CBP ACP CAP ACP π
π
π
π
ααα∠=-∠=
-∠=
-∠=-
，且均为锐角，
所以,63ππα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
所以由正弦定理得：
sin sin 3BP
PC παα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin sin 26PA PC
ππαα=
⎛⎫⎛
⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
所以sin sin 3BP PC α
πα=⎛⎫- ⎪⎝⎭
，sin 2sin 6PA PC παπα⎛⎫
- ⎪⎝⎭=⎛
⎫- ⎪⎝
⎭， 因为||||||PA PB PC λ+=
所以sin cos sin sin cos sin 2sin sin 36πααααααλππαα⎛⎛⎫- - ⎪⎝⎭=+==
⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11=
=
，
因为,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以22,
33ππ
α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以(
2sin 20,2α，
)
12,⎡∈+∞⎣
故实数λ
的最小值为2.
故答案为：2
【点睛】
本题考查数学文化背景下的解三角形，三角恒等变换解决三角函数取值范围问题，考查运算求解能力，数学建模能力，化归转化思想，是难题.本题解题的关键在于根据题目背景，通过设PCB α∠=，进而建立解三角形的模型，再根据正弦定理及三角恒等变换化简求最值即可.
四、解答题
17．（2021·海安市南莫中学高一期中）下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i ）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra 做出来的图片，其中四边形ABCD ，AEFG ，PQBE 都是正方形.如果改变图（i ）中EAB ∠的大小会得到更多不同的“树形”.
（1）在图（i ）中，21AB ,AE ==，且AE AB ⊥，求AQ ；
（2）在图（ii ）中，21AB ,AE ==，设(0)EAB θθπ∠=<<，求AQ 的最大值.
【答案】（1（2）9. 【分析】
（1）由已知条件结合诱导公式求得cos ABQ ∠，在ABQ △中，利用余弦定理，即可求解；
（2）由已知条件结合余弦定理，求得BE ，再利用正弦定理、余弦定理及三角函数的性质，即可求解. 【详解】
（1）当AE AB ⊥时，BE BQ ==
则()
cos cos
2ABQ ABE π∠=+∠sin AE ABE BE =-∠=-
=在ABQ △中，由余弦定理可得2222cos 45413AQ AB BQ AB BQ ABQ =+-⋅∠=++=，
所以AQ =
（2）在ABE △中，由余弦定理知，2222cos 54cos BE AB AE AB AE θθ⋅=-⋅=+-，
所以BE BQ ==在ABE △中，由正弦定理知
sin sin AE BE
ABE θ=∠，可得sin ABE ∠=
在ABQ △中，由余弦定理可得222
2cos()2
AQ AB BQ AB BQ ABE π=+-⋅⋅+∠
454cos 4
θ=+-+
4(sin cos )994πθθθ⎛
⎫=-+=-+ ⎪⎝
⎭，
所以当3(0,)4
π
θπ=
∈时，AQ 的取最大值9.
答：（1）AQ =（2）AQ 的最大值为9.
18．（2021·昆明·云南师大附中高一期中）仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂，又深深震撼我们凡俗的心灵．流星是什么？从古至今，人们作过无数种猜测．古希腊亚里士多德说，那是地球上的蒸发物，近代有人进一步认为，那是地球上磷火升空后的燃烧现象．10世纪波斯著名数学家、天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度．如图，假设地球是一个标准的球体，O 为地球的球心，AB 为地平线，有两个观测者在地球上的A ，B 两地同时观测到一颗流星S ，观测的仰角分别为SAD α∠=，SBD β∠=，其中，90DAO DBO ∠=∠=︒，为了方便计算，我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的A ，B 两点测得30α=︒，15β=︒，地球半径为R 公里，
两个观测者的距离3
R
AB π=
． 1.73 1.5≈）
（1）求流星S 发射点近似高度ES ；
（2）在古希腊，科学不发达，人们看到流星以为这是地球水分蒸发后凝结的固体，已知对流层高度大约在18公里左右，若地球半径6370R ≈公里，请你据此判断该流星S 是地球蒸发物还是“天外来客”？并说明理由．
【答案】（1）0.5ES R =公里；（2）该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”，理由见解析. 【分析】
（1）由已知条件在ASB △中利用正弦定理求出1)AS R =，在SAC 中再利用余弦定理求出
OS ，从而可得ES OS R =-；
（2）由（1）求出的值可得流星S 发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，从
而可得结论 【详解】 （1）因为3
AB R π=
，则60AOB ∠=︒，所以AOB 为等边角形，所以AB R =．
又因为90DAO DBO ∠=∠=︒，所以30∠=∠=︒DAB DBA ，所以30∠=∠=︒DAB DBA ，所以60SAB ∠=︒，
45SBA ∠=︒，75ASB ∠=︒．在ASB △中，由正弦定理：
sin 75sin 45AB AS =︒︒
，得()sin 4530sin 45R AS ︒=︒+︒， 解得
1)AS R =，
在SAC 中，由余弦定理：
2222222212cos 1)1)(42OS SA OA SA OA SAO R R R R ⎛⎫
=+-⋅∠=+-⨯-= ⎪⎝⎭
．
所以 1.5OS R =≈≈，所以0.5ES OS R R =-=公里．
（2）0.53185ES R ≈≈公里，所以流星S 发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，所以该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”．（言之有理即可）．
19．（2021·奉新县第一中学高一月考）重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O 为吸引游客，准备在门前两条小路OA 和OB 之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知π
6AOB ∠=
，弓形花园的弦长AB =M ，π
6
MAB MBA ∠=∠=，设OBA θ∠=.
（1）将OA 、OB 用含有θ的关系式表示出来；
（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA 、OB 的长度，才使得喷泉M 与山庄O 的距离的值最大？
【答案】（1）OA θ=，6OB πθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
；
（2）当OA OB =OM 取最大值4+ 【分析】
（1）本题可通过正弦定理得出OA θ=、6OB πθ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭；
（2）本题首先可根据题意得出2AM BM ==，然后通过余弦定理得出
222
2cos 6OM OB BM OB BM πθ⎛⎫=+-⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，通过转化得出222283OM πθ⎛
⎫
=-+
+ ⎪⎝
⎭
，最后通过50,6πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
以及正弦函数的性质即可求出最值.
【详解】
（1）因为
sin sin sin OA OB AB OAB AOB
θ==
∠∠，π
6AOB ∠=，AB =
所以56
OAB π
θ∠=
-，OA θ=，566OB ππθθ⎛
⎫⎛
⎫=-=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
（2）因为AB =π
6
MAB MBA ∠=∠=
，所以2AM BM ==， 在OMB △中，由余弦定理易知2222cos 6OM OB BM OB BM πθ⎛
⎫=+-⋅⋅⋅+ ⎪⎝
⎭，
即2
2
48sin 4cos 666OM πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+
+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭
248sin 2428224cos 22286333ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-+-+=-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
12
2sin 2282283233πππθθθ⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫
=-++++=-+
+⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎦，
因为50,
6πθ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，所以2272,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，2sin 23πθ⎡
⎛
⎫+∈-⎢
⎪⎝
⎭⎣⎭
， 当2sin 213πθ⎛
⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
，即512πθ=时， 2
OM 取最大值28+OM 取最大值4+
此时51264OA πππ⎛⎫
==+= ⎪⎝⎭ 5
12643OB ππππ⎛⎫⎛⎫
=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故当OA OB =时，OM 取最大值4+ 【点睛】
关键点点睛：本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查根据正弦函数的性质求最值，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.
20．（2021·江苏省镇江中学）古希腊数学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现……”，对称美是数学美的一个重要组成部分，比如圆，正多边形……，请解决以下问题：
（1）魏晋时期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，求sin3︒的近似值(结果保留π).
（2）正n 边形的边长为a ，内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，求证：
2tan
2a R r n
π+=
.
【答案】（1）60
π
；（2）详见解析.
【分析】
（1）将一个单位圆分成120个扇形，每个扇形的圆心角为3︒，再根据120个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积求解；
（2）设O 为内切圆的圆心，OA ，OB 分别为外接圆和内切圆的半径R ，r ，易知 1
,2
AB a n
π
θ==
，然后在Rt OAB 中，利用三角函数的定义求得R ，r ，利用三角恒等变换证明.
【详解】
（1）将一个单位圆分成120个扇形，每个扇形的圆心角为3︒， 因为这120个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积， 所以11211sin 32π⨯⨯⨯⨯≈ sin 360
π
≈；
（2）设O 为内切圆的圆心，OA ，OB 分别为外接圆和内切圆的半径R ，r ，则,OA R OB r ==
， 如图所示：
所以1
,2
AB a n
π
θ=
=
， 在Rt OAB 中，sin AB OA
θ=，即1
2sin a
n R
π=，所以
2sin a R n π=， cos OB OA θ=
，即cos r n R
π=，所以cos
cos 2sin a n r R n n
π
ππ==
， 所以1cos cos
2sin 2sin 2sin
a a a n n R r n n n
ππ
πππ⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭+=+=， 22cos 24sin
cos
2tan
222a a n
n
n
n
π
π
π
π
==
.
21．（2021·上海徐汇·高一期末）主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周国的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线f(x)=Asin (
2π3
x +φ)(A >0,0≤φ<π)，其中的振幅为2，且经过点（1，－2）
（1）求该噪声声波曲线的解析式f(x)以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g(x)； （2）证明：g(x)+g(x +1)+g(x +2)为定值． 【答案】（1）f(x)=2sin (2π
3x +5π
6
), g(x)=−2sin (2π3x +5π6
)；（2）证明见解析.
【分析】
（1）首先根据振幅为2求出A ，将点（1，-2）代入解析式即可解得； （2）由（1），结合诱导公式和两角和差的余弦公式化简即可证明.
【详解】
（1）∵振幅为2，A >0，∴A =2，f(x)=2sin (2π
3x +φ)，将点（1，-2）代入得：−2=2sin (2π
3+φ)⇒sin (
2π3
+φ)=−1，∵0≤φ<π，∴2π3+φ∈[2π3,
5π
3
)，
∴2π3+φ=
3π2
⇒φ=
5π
6
，∴f(x)=2sin (2π3x +5π6
)，
易知g(x)与f(x)关于x 轴对称，所以g(x)=−2sin (2π
3x +5π6
).
（2）由（1）g(x)=−2sin (2π
3x +
5π
6
)=−2sin (2π
3x +π
3+π
2)=−2cos (2π
3x +π
3)g(x)+g(x +1)+g(x +2)=−2cos (2π
3x +π
3)−2cos (2π3x +π)−2cos (2π
3x +
2π3
+π)=−2cos (2π3x +π3)+2cos
2π3
x +2cos (2π
3x +
2π3
)
=−2(cos
2π3
x ⋅12−sin
2π3
x ⋅
√3
2
)+2cos
2π3
x +2[cos
2π3
x ⋅(−12)−sin
2π3
x ⋅
√3
2
]=0.
即定值为0.
22．（2021·合肥市第六中学高一期末）合肥逍遥津公园是三国古战场，也是合肥最重要的文化和城市地标，是休闲游乐场，更是几代合肥人美好记忆的承载地.2020年8月启动改造升级工作，欲对该公园内一个平面
凸四边形ABCD 的区域进行改造，如图所示，其中4DC a =米，
2DA a =米，ABC 为正三角形.改造后BCD △将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，ABD △将作为对三国历史文化的介绍区域.
（1）当3
ADC π
∠=
时，求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD △的面积；
（2）求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD △的面积的最大值.
【答案】（1）()
22
m ；（2）(()224m a +.
【分析】
（1）由余弦定理求得AC ，再由正弦定理求得ACD ∠，求出BC BC ⊥，易得面积；
（2）不妨设ADC θ∠=，ACD α∠=，用余弦定理表示出2AC ，用正弦定理表示出sin α，再用余弦定理表
示出cos α，然后表示出BCD △的面积，利用两角和的正弦公式展开代入2sin ,cos ,AC αα，再利用两角差的正弦公式化简，然后利用正弦函数性质得最大值． 【详解】
解析：（1）222
2cos
3
AC AD DC AD DC π
=+-⋅⋅
，∴AC =，
又
sin sin
3
AC
AD
ACD π
=
∠，∴1
sin 2ACD ∠=，易知ACD ∠是锐角，所以6
π∠=ACD ，
∴2
BCD π
∠=
，
()221
4m 2
BCD S a =⨯⨯=△，
（2）不妨设ADC θ∠=，ACD α∠=，
于是由余弦定理得()22
2016cos AC a θ=-①，
22sin sin sin sin AC a a AC
θ
αθα=⇒=②， 22
2
2
2
124168cos cos 8AC a a AC a aAC a a aAC
+=+-⋅⇒=
③， ∴14sin 23BCD
S a AC πα⎛
⎫=⨯⨯⋅+ ⎪⎝⎭△2(sin cos cos sin )33a AC ππαα=⋅
+2222sin 128a AC a AC AC AC θ⎡⎤+=⋅⎢⎥⎣⎦
(
(2222sin 4sin 43a a a πθθθ⎛⎛
⎫=-+=-++ ⎪ ⎝⎝≤⎭，
当且仅当5 326
πππθθ-=⇒=时取等号，∴BCD S △
最大值为(()22
4m a +.
【点睛】
本题考查解三角形的应用，解题关键是选用一个角为参数，然后把其他量表示为参数的三角函数，这里注意正弦定理和余弦定理的应用，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形，最后利用正弦函数性质求得最值．。