高一数学必修3《统计》公式总结以及例题

§2 统计

◆ 基本定义：

（1）总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体.

(2) 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体. (3) 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本. (4) 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量.

❖ 抽样方法：

（1）简单随机抽样（simple random sampling ）：设一个总体的个数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时每个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单的随机抽样,简单随机抽样常用的方法有抽签法和随机数表法. （关于制签和随机数表的制作，请参照课本第41页）

(2)系统抽样(systematic sampling):将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每一部分抽取一个个体作为样本。先用随机的方法将总体进行编号，如果整除不能被n N 就从中用随机数表法剔除几个个体，使得能整除，然后分组，一般

是样本容量是多少，就分几组，间隔n

N

k =，然后从第一组中用简单实际抽样的方

法抽取一个个体，假设编号为 l ，然后就可以将编号为

()k n l k l k l l 1...2,,-+++++ 的个体抽出作为样本，实际就是从每一组抽取与第一组相同编号的个体。

(3)分层抽样（stratifed sampling ）：当已知总体是由有差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层.

样本容量越大，估计越精确！

颜老师友情提醒：1. 把每一种抽样的具体步骤看清楚，要求会写过程 2. 个体数N 的总体中抽取一个样本容量为n 的样本，那么在整个抽样过程中每

个个体被抽到的概率都相等，且等于N

n

.其实三种抽样的每一个个体都是等几率的

被抽到的

3. 三种抽样都是不放回的抽样

4. 在具体问题中对于样本，总体，个体应该时代单位的,如考察一个班级的学生的视力状况，从中抽取20个同学，则个体应该是20名同学的视力，而不是20名同学，样本容量则为20，同样的总体也是全班级同学的视力

♦ 两种抽样方法的区别与联系：

★ 典型例题剖析：

例1、一个总体含有6个个体，从中抽取一个样本容量为2的样本，说明为什么在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等.

解：设任意一个个体为α，那么个体α被抽到分两种情况：

（1）第一次被抽到：根据等可能事件概率得P 1=6

1

，

（2）第二次被抽到：即是个体α第一次没被抽到、第二次被抽到这两件事都发生.

个体α第一次没被抽到的概率是6

5

, 个体α第一次没被抽第二次被抽到的概率

是5

1. 根据相互独立事件同时发生的概率公式, 个体α第二次被抽到的概率是P 2=

6

5

×51=6

1

.(也可这样分析：根据等可能事件的概率求得，一共取了两次，根据分步原理所有可能结果为6×5=30，个体α第一次没被抽到第二次被抽到这个随机事件所

含的可能结果为5×1=5，所以个体α第二次被抽到的概率是P 2=305=6

1

)

个体α在第一次被抽到与在第二次被抽到是互斥事件,根据互斥事件的概率加

法公式,在先后抽取2个个体的过程中,个体α被抽到的概率P= P 1+ P 2=61+61=3

1

.

由个体α的任意性,说明在抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等(都等于3

1

)

点评：注意区分“任一个个体α每次抽取时被抽到的概率”与“任一个个体α在整个抽样过程中个体α被抽到的概率”的区别,一般地,如果用简单随机抽样从个体数为N 的总体中抽取一个容量为n 的样本,那么“任一个个体α每次抽取时被抽到的概率”

都相等且等于N 1,“任一个个体α在整个抽样过程中被抽到的概率”为N

n

.

例2、（1）在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，从中抽取一个容量为20的一个样本，

求 ① 每个个体被抽到的概率，

② 若有简单随机抽样方法抽取时，其中个体α第15次被抽到的的概率，

③ 若用分层抽抽样样方法抽取时其中一级品中的每个个体被抽到的概率. 解：① 因为总体个数为120，样本容量为20，则每个个体被抽到的概率P 1=12020=6

1

② 因为总体个数为120，则体α第15次被抽到的的概率P 2=120

1

③ 用分层抽样方法：按比例12020=6

1

分别在一级品、二级品、三级品中抽取24×

61=4个，36×61=6个，60×61

=10，所以一级品中的每个个体被抽到的概率为P 3=244=6

1.

注：其实用分层抽样方法抽取时二级品、三级品中每个体被抽到的概率也都为6

1. 点评：本题说明两种抽样方法都能保证在抽样过程中，每个个体被抽到的概率都相

等.且为N n

.

例3、某地区有3000人参加今年的高考，现从中抽取一个样本对他们进行分析，

每个考生被抽到的概率为10

1

，求这个样本容量.

解：设样本容量为n ，则3000n =10

1

，所以n=300.

点评：“在整个抽样过程中个体α被抽到的概率”为N

n

这一结论的逆用.

例4、下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样?说明理由. (1) 从无限多个个体中抽取50个个体作样本.

(2) 盒子里共有100个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.

解：(1) 不是简单随机抽样.由于被抽取样本的总体个数是无限的.

(2) 不是简单随机抽样.由于不符合“逐个抽取”的原则,且抽出的结果可能是只有一个零件重复出现.

点评：简单随机抽样的特点：

(1) 它要求被抽取样本的总体个数是有限的. (2) 它是从总体中逐个地进行抽取. (3) 它是一种不放回抽样.

例5、 某校有学生1200人,为了调查午休对学习成绩的影响情况,计划抽取一个样本容量为60的样本,问此样本若采用简单随机抽样将如何进行?

解：可用两种方法： 方法一：（抽签法）

（1）编号： 将1200名学生进行随机编号为1，2， …，1200，（可按学生的学号或按学生的生日进行编号）.

（2）制签：做1200个大小、形状相同的号签，分别写上这1200个数，放在个容器里，并进行均匀搅拌.

（3）逐个抽取：连续抽取60个号签，号签对应的同学即为样本. 方法二：（随机数表法）

（1）编号： 将1200名学生进行编号分别为0000，0001，…， 1199，

（2）选数：在课本附表1随机数表中任选一个数作为开始.(如从第11行第7列的数9开始)

(3) 读数：从选定的数开始向右（或向上、向下、向左）读下去，选取介于范围的号码，直到满60个号码为止.

(4) 抽取：抽取与读出的号码相对应的学生进行分析.