高考数学复习历年考点题型专题讲解38--- 数列中的通项公式(解析版)

高考数学复习历年考点题型专题讲解
38数列中的通项公式
一、题型精讲 解题方法与技巧 题型一、由S a n n 与的关系求通项公式
例1、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足
()()21n n S n a n N *=+∈，且12a =.
求数列{}n a 的通项公式；
【解析】因为2(1)n n S n a =+,n *∈N , 所以112(2)n n S n a ++=+,n *∈N ,
两式相减得112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+, 整理得1(1)n n na n a +=+,
即11n n a a n n +=+,n *
∈N ,所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为常数列, 所以
1
21
n a a n ==,
所以2n a n =
例2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知等比数列{}n a 满足1,a 2,
a 31a a -成等差数列，且134a a a =；等差数列
{}n b 的前n 项和2(1)log 2
n
n n a S +=
.求：
（1）,n a n b ；
【解析】设{}n a 的公比为q. 因为1,a 2,a 31a a -成等差数列， 所以()21312a a a a =+-，即232a a =.
因为20a ≠，所以32
2a q a ==. 因为134a a a =，所以4
13
2a a q a =
==. 因此1
12n n n a a q
-==.
由题意，2(1)log 2n n n a S +=
(1)2
n n
+=.
所以111b S ==，
1223b b S +==，从而22b =.
所以{}n b 的公差21211d b b =-=-=.
所以1(1)1(1)1n b b n d n n =+-=+-⋅=.
例3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
0n a >，2
42n n n S a a =+.求数列{}n a 的通项公式；
【解析】当1n =时，211142a a a =+，整理得2
112a a =，10a >，解得12a =；
当2n ≥时，242n n n S a a =+①，可得2
11142n n n S a a ---=+②，
①－②得2
2
11422n n n n n a a a a a --=-+-，即()()22
1120n n n n a a a a ----+=，
化简得()()1120n n n n a a a a --+--=，
因为0n a >，10n n a a -∴+>，所以12n n a a --=，
从而{}n a 是以2为首项，公差为2的等差数列，所以()2212n a n n =+-=； 题型二、由a a n n 与1+的递推关系求通项公式
例3、【2019年高考全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，
1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.
（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.
【解析】（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111()2
n n n n a b a b +++=+． 又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12
的等比数列． 由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+．
又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，11
2
n n n a b -+=
，21n
n a b n -=-． 所以111[()()]222n n n n n n
a a
b a b n =++-=+-， 111
[()()]222
n n n n n n b a b a b n =+--=-+．
例4、（2020届山东省德州市高三上期末）对于数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}
n a 的一阶差分数列，其中()*1n n n a a a n +∆=-∈N ，对自然数()2k k ≥，规定{}k
n a ∆为数列
{}n a 的k 阶差分数列，其中111k k k n n n a a a --+∆=∆-∆.若11a =，且
()2*12n n n n a a a n +∆-∆+=-∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（）
A ．21
2n n a n -=⨯ B ．1
2n n a n -=⨯
C ．()212n n a n -=+⨯
D ．()1
212
n n a n -=-⨯
【答案】B
【解析】根据题中定义可得()()2*
1112n n n n n n n n a a a a a a n a +++∆-∆+=∆-∆-∆+=-∈N ，
即()1122n
n n n n n n n a a a a a a a ++-∆=--=-=-，即122n
n n a a +=+，
等式两边同时除以12n +，得
111222n n n n a a ++=+，111222n n n n a a ++∴-=且11
22
a =， 所以，数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以
1
2
为首项，以1
2
为公差的等差数列，()1112222
n n a n n ∴=+-=， 因此，1
2n n a n -=⋅.
故选：B.
例5、【2019年高考天津卷理数】设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知
1122334,622,24a b b a b a ===-=+，．
（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,2,1,,
k k n k
k c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N ． （i ）求数列(){}221n
n
a c -的通项公式；
【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意得2
662,6124,q d q d =+⎧⎨
=+⎩解得3,
2,
d q =⎧⎨=⎩故14(1)331,6232n n n n a n n b -=+-⨯=+=⨯=⨯． 所以，{}n a 的通项公式为{}31,n n a n b =+的通项公式为32n n b =⨯． （2）（i ）()()()()22211321321941n
n
n
n n n n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-．
所以，数列(){}221n
n
a c -的通项公式为()221941n
n
n a c -=⨯-．
题型三、新定义题型中通项公式的求法
例6、【2020年高考江苏】已知数列{}()n a n ∈*N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设
λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有1
11
11
k
k k n n
n S S a λ++-=
成立，则称此数列为“λ～
k ”数列．
（1）若等差数列{}n a 是“λ～1”数列，求λ的值； （2）若数列{}n a
”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式； 【解析】（1）因为等差数列{}n a 是“λ～1”数列，则11n n n S S a λ++-=，即11n n a a λ++=，
也即1(1)0n a λ+-=，此式对一切正整数n 均成立．
若1λ≠，则10n a +=恒成立，故320a a -=，而211a a -=-，
这与{}n a 是等差数列矛盾．
所以1λ=．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列）
（2）因为数列*{}()n a n ∈N
是“
”数列，
=
=．
因为0n a >，所以10n n S S +>>
1-=．
n b
，则1n b -=2
21(1)(1)(1)3n n n b b b -=->． 解得2n b =
，即
2=，也即14n n
S S +=， 所以数列{}n S 是公比为4的等比数列．
因为111S a ==，所以1
4n n S -=．则21(1),34(2).n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩
例7、【2019年高考北京卷理数】已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、
第i m 项（i 1<i 2<…<i m ），若1
2
m
i i i a a a <<⋅⋅⋅<，则称新数列1
2
m
i i i a a a ⋅⋅⋅，，
，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．
（1）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列； （2）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0
m a ，长度为q
的递增子列的末项的最小值为0
n a ．若p <q ，求证：0
m a <0
n a ；
（3）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1
个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式．
【解析】（1）1，3，5，6.（答案不唯一）
（2）设长度为q 末项为0
n a 的一个递增子列为1210
,,,,q r r r n a a a a -.
由p <q ，得1
p
q r r n a a a -≤<.
因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0
m a ，
又1
2
,,,p
r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列，
所以0
p
m r a a ≤.
所以0
m n a a <·
（3）由题设知，所有正奇数都是{}n a 中的项.
先证明：若2m 是{}n a 中的项，则2m 必排在2m −1之前（m 为正整数）.
假设2m 排在2m −1之后.
设1
2
1
,,,,21m p p p a a a m --是数列{}n a 的长度为m 末项为2m −1的递增子列，则
121,,
,,21,2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m +1末项为2m 的递增子列.与已知矛盾.
再证明：所有正偶数都是{}n a 中的项.
假设存在正偶数不是{}n a 中的项，设不在{}n a 中的最小的正偶数为2m . 因为2k 排在2k −1之前（k =1，2，…，m −1），所以2k 和21k -不可能在{}n a 的同
一个递增子列中.
又{}n a 中不超过2m +1的数为1，2，…，2m −2，2m −1，2m +1，所以{}n a 的长度为m +1且末项为2m +1的递增子列个数至多为1(1)22221122m m m --⨯⨯⨯⨯⨯⨯=<个
.
与已知矛盾.
最后证明：2m 排在2m −3之后（m ≥2为整数）.
假设存在2m （m ≥2），使得2m 排在2m −3之前，则{}n a 的长度为m +1且末项为2m +l 的递增子列的个数小于2m .与已知矛盾.
综上，数列{}n a 只可能为2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…. 经验证，数列2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…符合条件.
所以1,1,n n n a n n +⎧=⎨-⎩
为奇数，为偶数.
二、达标训练
1、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知数列{}n a 满足：
1212
5 1,6
n n n a a a a n -≤⎧=⎨
-⎩()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，
则k =（）
A ．16
B ．17
C ．18
D ．19
【答案】B
【解析】当6n ≥时，()12
11111n n n n n a a a a a a a +--==+-，即211n n n a a a +=-+，且
631a =.
故()()()222
677687116......55n n n n a a a a a a a a a n a a n +++++=-+-++-+-=-+-，
2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，故17k =.
故选：B .
2、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
21n S n n =-+，在正项等比数列{}n b 中22b a =，45b a =．求{}n a 和{}n b 的通项公式；
【解析】当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，1n n n a S S -=- =22(1)[(1)(1)1]n n n n -+----+
=22n -，
所以1(1)22(2)
n n a n n =⎧=⎨-≥⎩．
所以22b =，48b =
于是2
4
2
4b q b =
=，解得2q 或2q =-（舍）
所以2
2n n b b q
-=⋅=12n -．
3、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知数列{}{},n n a b 满足：
1112,,2n n n n a a n b a n b ++=+-==.
（1）证明数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项； 【解析】证明：因为n n b a n -=，
所以n n b a n =+．
因为121n n a a n +=+- 所以()()112n n a n a n +++=+ 所以12n n b b +=．
又12b =，
所以{}n b 是首项为12b =，公比为2的等比数列，
所以1
22
2n n n b -=⨯=．
4、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*
n ∈N ，它的前n 项和n S 满足()()1
126
n n n S a a =
++，并且2a ，4a ，9a 成等比数列.求数列{}n a 的通项公式；
【解析】对任意*n ∈N ，有()()1126
n n n S a a =++，①
∴当1a =时，有()()11111
126
S a a a ==
++，解得11a =或2. 当2n ≥时，有()()1111
126
n n n S a a ---=
++.② ①-②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=. 而数列{}n a 的各项均为正数，13n n a a -∴-=. 当11a =时，()13132n a n n =+-=-，
此时2
429a a a =成立；
当12a =时，()23131n a n n =+-=-，此时2
429a a a =，不成立，舍去.
32n a n ∴=-，*n ∈N .
5、（2020届山东师范大学附中高三月考）设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，满足424S S =，917a =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 满足
12121
12
n n n b b b a a a +++=-…，求数列{}n b 的通项公式 【解析】（1）设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d ．
由已知得119
14684817a d a d a a d +=+⎧⎨=+=⎩，解得11
2a d =⎧⎨=⎩．
于是12(1)21n a n n =+-=-．
（2）当1n =时，
1111
122
b a =-=． 当2n ≥时，1111(1)(1)222n n n n n
b a -=---=， 当1n =时上式也成立．
于是1
2n n n
b a =． 故12122
n n n n n b a -=
=． 6、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =
，n a =*n N ∈，且2n ≥）求数列{}n a 的通项公式；
【解析】由n a =1n n S S --=+1(2)n =≥，
所以数列1==为首项，以1为公差的等差数列，
1(1)1n n =+-⨯=，即2
n S n =，
当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，
当1n =时，111a S ==，也满足上式，所以21n a n =-；
7、【2019年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．
（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；
【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得
11124,333a d a d a d +=+=+，
解得10,2a d ==． 从而*22,n a n n =-∈N ． 所以2*n S n n n =-∈N ，，
由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得
()
()()2
12n n n n n n S b S b S b +++=++．
解得()2
121n n n n b S S S d
++=
-． 所以2*,n b n n n =+∈N ．
8、【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{a n }()n *∈N 满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M－数列”；
（2）已知数列{b n }()n *
∈N 满足:11122
1,
n n n b S b b +==-
，其中S n 为数列{b n }的前n
项和．
①求数列{b n }的通项公式；
【解析】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.
由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440
a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得11
2a q =⎧⎨=⎩．
因此数列{}n a 为“M—数列”.
（2）①因为1
122
n n n S b b +=-，所以0n b ≠．
由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122
n n n S b b +=-，得112()n n n n n
b b S b b ++=-，
当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n n
n n n n n b b b b b b b b b +-+-=
---，
整理得112n n n b b b +-+=．
所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*
n ∈N .。