河南省新乡市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试卷(扫描版)
河南省新乡市2017-2018学年高二(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析
河南省新乡市2017-2018学年高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（AUB）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}2．已知1+i=，则在复平面内，复数z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量=（1，2x），=（4，﹣x），则“x=”是“⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，则等于（）A．B．﹣C．D．或﹣5．由直线x﹣y+1=0，x+y﹣5=0和x﹣1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）A．B．C．D．6．将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，所得函数图象对应的解析式为（）A．y=2sin2x B．y=2cos2x C．y=sin（2x﹣）+1 D．y=﹣cos2x7．已知抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点，过P作y轴的垂线，垂足为M，若|PF|=4，则△PFM的面积为（）A．3B．4C．6 D．88．执行如图所示的程序框图，若输入的N是6，则输出P的值是（）A．120 B．720 C．1440 D．50409．已知p：“∀x∈R，e x＞0”，q：“∂x0∈R，x0﹣2＞x02”，则（）A．p∨q是假B．p∧q是真C．p∧（￢q）是真D．p∨（￢q）是假10．在△ABC中，AB=3，AC=2，=+，则直线AD通过△ABC的（）A．垂心B．外心C．内心D．重心11．正三棱锥A﹣BCD的所有棱长都相等，从该三棱锥6条棱的中点任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的2个三角形全等的概率为（）A．0 B．C．D．112．已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卷上）13．等差数列{a n}的前n项和为s n，且S3=6，a1=4，则公差d等于．14．的展开式中，常数项为．（用数字作答）15．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是cm3．16．已知F1、F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P使得=8a，则双曲线的离心率的取值范围是．三、解答题（本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本题满分60分17．在△ABC中，cosB=，sin（﹣C）=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若AB=2，求△ABC的面积．18．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在棱BC上移动．（Ⅰ）当E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°？19．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．20．在平面直角坐标系xOy中，已知动圆过点（2，0），且被y轴所截得的弦长为4．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C1的方程；（Ⅱ）过点P（1，2）分别作斜率为k1，k2的两条直线l1，l2，交C1于A，B两点（点A，B异于点P），若k1+k2=0，且直线AB与圆C2：（x﹣2）2+y2=相切，求△PAB的面积．21．设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当0＜a＜2时，求函数g（x）=f（x）﹣x2﹣ax﹣1在区间[0，3]的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。
2017-2018学年高二年级数学期末试卷(理数)含答案
2．若 x 2m2 3 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）
10．已知函数 f x 1 x3 1 mx2 4x 3 在区间 1,2上是增函数，则实数 m 的取值范围是（
32
A . 3,3
B . ,3 3, C . ,1 1,
，则满足
11．已知函数
f
x
3|x1| , x2 2x
x 1,
0, x
0
若关于
x
的方程 f
x2
a
1f
x
a
0有
7
个不
等实根，则实数 a 的取值范围是(
)
A . 2,1
B .2,4
C . 2,1
D . ,4
12.
已知函数
A . loga c logb c B . logc a logc b C . a c bc
D . ca cb
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 9．已知函数 f x 2 xm 1 为偶函数，记 a f log0.5 3 ， b f log2 5 ， c f 2m，则
由题设知
，
则
解得 的横坐标分别是 则 有 又
，又 于是
， ，
，
，即 l 与直线 平行， 一定相交，分别联立方
设
是平面
的法向量，则
，即
。
对任意
，要使
与
的面积之比是常数，只需 t 满足
可取
，故，所以 与平面
20. （1）依题意可得
所成角的正弦值为 ---------12 分 ，
河南省新乡市2017-2018学年高二下学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线x﹣y+a=0（a∈R）的倾斜角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°2．复数z=的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．2+i D．2﹣i3．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．144．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．5．设集合M={x|x＜2016}，N={x|y=lg（x﹣x2）}，则下列关系中正确的是（）A．N∈M B．M∪N=R C．M∩N={x|0＜x＜1}D．M∩N=∅6．已知平面向量，满足，与的夹角为60°，则“m=1”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．从（其中m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中0＜φ＜2π，若恒成立，且，则φ等于（）A．B． C． D．9．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个：①②③④其中，真是（）A．①④B．②③C．①③D．②④10．已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣B．﹣C．D．11．已知，则二项式的展开式中x的系数为（）A．10 B．﹣10 C．80 D．﹣8012．已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（）A．（9，25） B．（13，49）C．（3，7）D．（9，49）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设等比数列{a n}的公比，前n项和为S n，则=．14．已知不等式组，表示的平面区域的面积为4，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=2x+y的最大值为．15．如图程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[﹣2，]内，则输入的实数x的取值范围是．16．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是．三、解答题（本大题共5小题，70分）17．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26，数列{a n}的前n项和S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．为了体现国家“民生工程”，某市政府为保障居民住房，现提供一批经济适用房．现有条件相同的甲、已、丙、丁四套住房供A、B、C三人自主申请，他们的申请是相互独立的．（Ⅰ）求A、B两人都申请甲套住房的概率；（Ⅱ）求A、B两人不申请同一套住房的概率；（Ⅲ）设3名参加选房的人员中选择甲套住房的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．如图已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F 分别为棱BC，AD的中点．（Ⅰ）若PD=1，求异面直线PB和DE所成角的余弦值．（Ⅱ）若二面角P﹣BF﹣C的余弦值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．20．已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条（Ⅰ）求1、2的标准方程；（Ⅱ）请问是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交不同两点M、N且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=e x﹣kx，x∈R（e是自然对数的底数）．（1）若k∈R，求函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0，讨论函数f（x）在（﹣∞，4]上的零点个数．[选修4-1:几何证明选讲]22．如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．[选修4-4:坐标系与参数方程]23．已知曲线C1：（α为参数）与曲线C2：ρ=4sinθ（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C1和C2公共弦的长度．[选修4-5：不等式选讲]24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．2015-2016学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线x﹣y+a=0（a∈R）的倾斜角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°【考点】直线的倾斜角．【分析】先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，再结合倾斜角的范围求出倾斜角．【解答】解：由题意，直线的斜率为：k=，即直线倾斜角的正切值是，又倾斜角α∈[0°，180°），且tan60，故直线的倾斜角为：60°，故选：B．2．复数z=的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．2+i D．2﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算法则即可得到结论．【解答】解：z===，则复数z=的共轭复数是﹣1﹣i，故选：A3．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故：B．4．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A ．B ．C ．D ．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理可求得sinA ，结合题意可求得角A ．【解答】解：∵在△ABC 中，2asinB=b ，∴由正弦定理==2R 得：2sinAsinB=sinB ，∴sinA=，又△ABC 为锐角三角形，∴A=．故选D ．5．设集合M={x |x ＜2016}，N={x |y=lg （x ﹣x 2）}，则下列关系中正确的是（ ） A ．N ∈M B ．M ∪N=R C ．M ∩N={x |0＜x ＜1} D ．M ∩N=∅ 【考点】交集及其运算．【分析】求出N 中x 的范围确定出N ，求出M 与N 的交集、并集，即可作出判断． 【解答】解：由N 中y=lg （x ﹣x 2），得到x ﹣x 2＞0，即x 2﹣x ＜0， 分解因式得：x （x ﹣1）＜0，解得：0＜x ＜1，即N={x |0＜x ＜1}， ∵M={x |x ＜2016}，∴M ∩N={x |0＜x ＜1}，M ∪N={x |x ＜2016}， 故选：C ．6．已知平面向量，满足，与的夹角为60°，则“m=1”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由已知中平面向量，满足，与的夹角为60°，分别判断“m=1”⇒“”与“”⇒“m=1”的真假，根据充要条件的定义即可得到结论．【解答】解：∵向量，满足，与的夹角为60°，∴=1， •=1当m=1时， ==﹣•=0故当时，﹣m •=1﹣m=0，故m=1故“m=1”是“”的充要条件故选C7．从（其中m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】m和n的所有可能取值共有3×3=9个，其中有两种不符合题意，故共有7种，可一一列举，从中数出能使方程是焦点在x轴上的双曲线的选法，即m和n都为正的选法数，最后由古典概型的概率计算公式即可得其概率【解答】解：设（m，n）表示m，n的取值组合，则取值的所有情况有（﹣1，﹣1），（2，﹣1），（2，2），（2，3），（3，﹣1），（3，2），（3，3）共7个，（注意（﹣1，2），（﹣1，3）不合题意）其中能使方程是焦点在x轴上的双曲线的有：（2，2），（2，3），（3，2），（3，3）共4个∴此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为故选B8．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中0＜φ＜2π，若恒成立，且，则φ等于（）A．B． C． D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，求得f（）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，结合f（）＞f（π），易求出满足条件的具体的φ值．【解答】解：若对x∈R恒成立，则f（）等于函数的最大值或最小值即2×+φ=kπ+，k∈Z则φ=kπ+，k∈Z又，即sin φ＜0，0＜φ＜2π当k=1时，此时φ=，满足条件故选C ．9．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个：①②③④其中，真是（ ） A ．①④ B ．②③C ．①③D ．②④【考点】的真假判断与应用；平面的基本性质及推论．【分析】对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可． 【解答】解：对于①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β，α∥γ，则β∥γ，正确 对于②面BD ⊥面D 1C ，A 1B 1∥面BD ，此时A 1B 1∥面D 1C ，不正确 对应③∵m ∥β∴β内有一直线与m 平行，而m ⊥α， 根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确 对应④m 有可能在平面α内，故不正确， 故选C10．已知sin （α+）+sin α=﹣，﹣＜α＜0，则cos （α+）等于（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用两角和与差的三角函数公式整理已知等式，然后逆用两角和与差的三角函数诱导公式解答．【解答】解：∵sin（α+）+sinα=﹣，∴，∴，∴cos（α﹣）=，∴cos（α+）=cos[π+（α﹣）]=﹣cos（α﹣）=．故选C．11．已知，则二项式的展开式中x的系数为（）A．10 B．﹣10 C．80 D．﹣80【考点】二项式定理；微积分基本定理．【分析】利用定积分的意义可求得a，再利用二项展开式的通项公式即可求得二项式的展开式中x的系数．【解答】解：∵a=2（cos（x+））dx=2sin（x+）=2（﹣﹣）=﹣2，∴=，设其二项展开式的通项公式T r+1=（﹣2）r••（x2）5﹣r•x﹣r=（﹣2）r••x10﹣3r，令10﹣3r=1得：r=3．∴T r+1=（﹣2）3×x=﹣8×10x=﹣80x，∴二项式的展开式中x的系数为﹣80．故选D．12．已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（）A．（9，25） B．（13，49）C．（3，7）D．（9，49）【考点】函数恒成立问题．【分析】由函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，结合图象平移的知识可知函数y=f （x）的图象关于点（0，0）对称，从而可知函数y=f（x）为奇函数，由f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，可把问题转化为（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4，即可求．【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立∴f（x2﹣6x+21）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2）恒成立，∴x2﹣6x+21＜8y﹣y2，∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4恒成立，设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，则d=表示区域内的点和原点的距离．由图可知：d的最小值是OA=，OB=OC+CB，5+2=7，当x＞3时，x2+y2的范围为（13，49）．故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设等比数列{a n}的公比，前n项和为S n，则=15．【考点】等比数列的性质．【分析】先通过等比数列的求和公式，表示出S4，得知a4=a1q3，进而把a1和q代入约分化简可得到答案．【解答】解：对于，∴14．已知不等式组，表示的平面区域的面积为4，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=2x+y的最大值为6．【考点】简单线性规划的应用．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，利用平面区域的面积为4求出a=2．然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入2x+y中，求出2x+y的最大值【解答】解：满足约束条件的平面区域如图所以平面区域的面积S=•a•2a=4⇒a=2，此时A（2，2），B（2，﹣2）由图得当z=2x+y过点A（2，2）时，z=2x+y取最大值6．故答案为6．15．如图程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[﹣2，]内，则输入的实数x的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[，]．【考点】程序框图．【分析】由程序框图得出函数y=f（x）的解析式，并根据其单调性求出相应的自变量x的取值范围即可．【解答】解：由程序框图可知：f（x）=，∵输出的函数值在区间[﹣2，]内，∴必有当x≤0时，0＜2x≤；当x＞0时，﹣2≤log2x≤．解得x≤﹣1或≤x≤．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[，]．16．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是π．【考点】球的体积和表面积；由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的体积．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的底面是边长为3的正三角形ABC，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心连接的线段MN的中点O与三棱柱的顶点A的连线AO就是外接球的半径，∵△ABC是边长为3的等边三角形，MN=2，∴AM==，OM=1，∴这个球的半径r==2，∴这个球的体积V=π×23=π，故答案为：π．三、解答题（本大题共5小题，70分）17．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26，数列{a n}的前n项和S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，由a3=7，a5+a7=26，可得，解出利用等差数列的前n项和公式即可得出；（Ⅱ）b n===，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴，解得a1=3，d=2．∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．∴数列{a n}的前n项和S n==n2+2n．（Ⅱ）b n===，∴数列{b n}的前n项和T n=++…+==．18．为了体现国家“民生工程”，某市政府为保障居民住房，现提供一批经济适用房．现有条件相同的甲、已、丙、丁四套住房供A、B、C三人自主申请，他们的申请是相互独立的．（Ⅰ）求A、B两人都申请甲套住房的概率；（Ⅱ）求A、B两人不申请同一套住房的概率；（Ⅲ）设3名参加选房的人员中选择甲套住房的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）设“A申请甲套住房”为事件M1，“B申请甲套住房”为事件M2．由事件A和B 是独立事件，能求出A，B两人都申请甲套住房的概率．（Ⅱ）设“A，B两人选择同一套住房”为事件N，先求出事件N的概率，再求A，B两人不选择同一套住房的概率．（Ⅲ）法一：随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和Eξ．法二：依题意得，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设“A申请甲套住房”为事件M1，“B申请甲套住房”为事件M2那么A，B两人都申请甲套住房的概率所以甲、乙两人都申请甲套住房的概率为…（Ⅱ）设“A，B两人选择同一套住房”为事件N，所以A，B两人不选择同一套住房的概率是…（Ⅲ）（方法一）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，那么；；；；ξ0 1 2 3所以…（方法二）依题意得所以ξ的分布列为，k=0，1，2，3．0 1 2 3…所以…19．如图已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F 分别为棱BC，AD的中点．（Ⅰ）若PD=1，求异面直线PB和DE所成角的余弦值．（Ⅱ）若二面角P﹣BF﹣C的余弦值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）根据一对对边平行且相等，得到一个四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行，把两条异面直线所成的角表示出来，放到△PBF中，利用余弦定理求出角的余弦值．（Ⅱ）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设出线段的长，根据条件中所给的两个平面的二面角的值，求出设出的a的值，再求出四棱锥的体积．【解答】证明：（Ⅰ）E，F分别为棱BC，AD的中点，ABCD是边长为2的正方形∴DF∥BE且DF=BE∴DFBE为平行四边形∴DE∥BF∴∠PBF是PB与DE的所成角△PBF中，BF=，PF=，，PB=3，∴cos∠PBF=，∴异面直线PB和DE所成角的余弦值为；解：（Ⅱ）如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设PD=a，可得如下点的坐标：P（0，0，a），F（1，0，0），B（2，2，0）则有：=（1，0，﹣a），=（1，2，0）因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1）设平面PFB的一个法向量为=（x，y，z），则可得，令x=1，得z=，y=﹣，所以=（1，﹣，）由已知，二面角P﹣BF﹣C的余弦值为，所以得=，解得a=2．因为PD是四棱锥P﹣ABCD的高，=×2×4=．所以其体积为V P﹣ABCD20．已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条（Ⅰ）求1、2的标准方程；（Ⅱ）请问是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交不同两点M、N且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；抛物线的标准方程．【分析】（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有，据此验证4个点知（3，﹣2）、（4，﹣4）在抛物线上，易求C2：y2=4x，设C1：，把点（﹣2，0）（）代入得：，由此能够求出C1方程．（Ⅱ）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l斜率存在时，假设存在直线l 过抛物线焦点F（1，0），设其方程为y=k（x﹣1），与C1的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），由消掉y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，再由韦达定理能够导出存在直线l满足条件，且l 的方程为：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．【解答】解：（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有，据此验证4个点知（3，﹣2）、（4，﹣4）在抛物线上，易求C2：y2=4x设C1：，把点（﹣2，0）（）代入得：解得∴C1方程为（Ⅱ）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），设其方程为y=k（x﹣1），与C1的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2）由消掉y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，于是，①y1y2=k（x1﹣1）×k（x1﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]即②由，即，得x1x2+y1y2=0（*），将①、②代入（*）式，得，解得k=±2；所以存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．．21．已知函数f（x）=e x﹣kx，x∈R（e是自然对数的底数）．（1）若k∈R，求函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0，讨论函数f（x）在（﹣∞，4]上的零点个数．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，对k进行分类讨论，确定x在不同情况下导函数的符号，进而可得函数的单调性．（2）根据（1）中函数的单调性k＞0时，讨论k取不同值时函数零点个数，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（1）由f（x）=e x﹣kx，x∈R，得f'（x）=e x﹣k，①当k≤0时，则f'（x）=e x﹣k＞0对x∈R恒成立，此时f（x）的单调递增，递增区间为（﹣∞，+∞）；②当k＞0时，由f'（x）=e x﹣k＞0，得到x＞lnk，由f'（x）=e x﹣k＜0，得到x＜lnk，所以，k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk，+∞）；递减区间是（﹣∞，lnk）；综上，当k≤0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）．（2）当k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk，+∞）；递减区间是（﹣∞，lnk），当k＞0时，令f'（x）=e x﹣k=0，得x=lnk，且f（x）在（﹣∞，lnk）上单调递减，在（lnk，+∞）上单调递增，f（x）在x=lnk 时取得极小值，即f（x）在（﹣∞，4]上最多存在两个零点．（ⅰ）若函数f（x）在（﹣∞，4]上有2个零点，则，解得k∈（e，]；（ⅱ）若函数f（x）在（﹣∞，4]上有1个零点，则f（4）＜0或，解得k∈（，+∞）或k=e；（ⅲ）若函数f（x）在（﹣∞，4]上没有零点，则或f（lnk）=k（1﹣lnk）＞0，解得k∈（0，e）．综上所述，当k∈（e，]时，f（x）在（﹣∞，4]上有2个零点；当k∈（，+∞）∪（﹣∞，0）或k=e时，f（x）在（﹣∞，4]上有1个零点；当k∈[0，e）时，f（x）在（﹣∞，4]上无零点．[选修4-1:几何证明选讲]22．如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）BE平分∠ABC．由已知中边的相等，可得∠CAD=∠D，∠ABC=∠ACB，再利用同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD=∠D=∠DBE，即有∠ABE+∠EBD=∠CAD+∠D，利用等量减等量差相等，可得∠EBD=∠D=∠ABE，故得证．（2）由（1）中的所证条件∠ABE=∠FAE，再加上两个三角形的公共角，可证△BEA∽△AEF，利用比例线段可求EF．【解答】解：（1）BE平分∠ABC，理由如下：证明：∵AC=CD，∴∠CAD=∠ADC，∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD…又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=2∠CAD，∵∠CAD=∠EBC，∴∠ABC=2∠EBC，∴BE平分∠ABC；…（2）连接EC，由（1）BE平分∠ABC，∴E是弧AC的中点，∴AE=EC=6，又∠EBC=∠CAD=∠ADC，∴ED=BD=8…∵A、B、C、E四点共圆，∴∠CED=∠ABC=∠ACB=∠AEF∴△AEF∽△DEC∴，∴EF==…[选修4-4:坐标系与参数方程]23．已知曲线C1：（α为参数）与曲线C2：ρ=4sinθ（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C1和C2公共弦的长度．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用sin2θ+cos2θ=1消参数得到C1的普通方程，对ρ=4sinθ两边同乘以ρ即可得到曲线C2的普通方程；（2）曲线C1和C2公共弦所在额直线为2x﹣4y+3=0，求出圆心距，即可求出公共弦长．【解答】解：（1）曲线C1的普通方程围为（x﹣1）2+y2=4，曲线C2的直角坐标方程x2+y2﹣4y=0，（2）曲线C1和C2公共弦所在额直线为2x﹣4y+3=0，且点C1（1，0）到直线2x﹣4y+3=0的距离为=，所以公共弦的长度为2=．[选修4-5：不等式选讲]24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．【考点】不等式的证明；带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）将函数写成分段函数，再利用f（x）＜4，即可求得M；（Ⅱ）利用作差法，证明4（a+b）2﹣（4+ab）2＜0，即可得到结论．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|=当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．所以M=（﹣2，2）．…（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴2|a+b|＜|4+ab|．…2016年8月9日。
2017学年河南省新乡市高二下学期期末数学试卷及参考答案(理科)
2016-2017学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知复数z满足zi5=1+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合A={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}，B={x|x＞m}，若A∩（∁R B）有三个元素，则实数m的取值范围是（）A．[3，4） B．[1，2） C．[2，3） D．（2，3]3．（5分）已知3sin2θ=4tanθ，且θ≠kπ（k∈Z），则cos2θ等于（）A．B．C．D．4．（5分）把2名新生分到甲、乙、丙、丁四个班，甲班必须且只能分配1名新生，则不同的分配方法有（）A．3种 B．4种 C．6种 D．8种5．（5分）在区间（﹣2，a）（a＞0）上任取一个数m，若函数f（x）=3x+m﹣3在区间[1，+∞）无零点的概率不小于，则实数a能取的最小整数是（）A．1 B．3 C．5 D．66．（5分）已知直线l：kx+y﹣k=0与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．2 C．D．37．（5分）执行如图所示的程序框图，则下列说法正确的（）A．∀a∈（2，4），输出的i的值为5 B．∃a∈（4，5），输出的i的值为5 C．∀a∈（3，4），输出的i的值为5 D．∃a∈（2，4），输出的i的值为5 8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．13πB．16πC．17πD．21π9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，若f（log 2a）+f（3a）≥2f（﹣1），则实数a的取值范围是（）A．[2，4]B．[，2]C．[，4]D．[，2]10．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知c2sinAcosA+a2sinCcosC=4sinB，cosB=，D是AC上一点，且S△BCD=，则等于（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）（x0＞）是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，若=2，则|AF|等于（）A．B．1 C．2 D．312．（5分）已知函数f（x）=﹣（a＞0）在区间[0，1]上有极值，且函数f（x）在区间[0，1]上的最小值不小于﹣，则a的取值范围是（）A．（2，5]B．（2，+∞）C．（1，4}D．[5，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量=（﹣1，1），=（1，5），则向量在方向上的投影为．14．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如图所示，则cos（5ωφ）=．15．（5分）若实数x、y满足不等式组，且3（x﹣a）+2（y+1）的最大值为5，则a=．16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，AA1=3，E是AA1的中点，过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F，则CF与平面ABCD所成角的正切值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且6S n=3n+1+a（n∈N+）（1）求a的值及数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（1﹣an）log3（a n2•a n+1），求的前n项和为T n．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是A1B1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDC1；（2）若AB⊥AC，且AB=AC=AA1，求二面角A﹣BD﹣C1的余弦值．19．（12分）为了解喜好体育运动是否与性别有关，某报记者随机采访50个路人，将调查情况进行整理后制成下表：（1）在调查的结果中，喜好体育运动的女性有10人，不喜好体育运动的男性有5人，请将下面的2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由；（2）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不喜好体育运动的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．下面的临界值表供参考：（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）20．（12分）已知右焦点为F（c，0）的椭圆M：=1（a＞b＞0）过点，且椭圆M关于直线x=c对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆M的方程；（2）过点（4，0）且不垂直于y轴的直线与椭圆M交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称原点为E，证明：直线PE与x轴的交点为F．21．（12分）已知函数f（x）=（3﹣a）x﹣2+a﹣2lnx（a∈R）（1）若函数y=f（x）在区间（1，3）上单调，求a的取值范围；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x在（0，）上无零点，求a的最小值．请在第22、23两题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标是ρ=2asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．（1）若a=2，M为直线l与x轴的交点，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；（2）若直线l被圆C截得的弦长为，求a的值．【选修4-5：不等式选讲】23．设实数x、y满足2x+y=9．（1）若|8﹣y|≤x+3，求x的取值范围；（2）若x＞0，y＞0，求证：≥．2016-2017学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知复数z满足zi5=1+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵zi5=1+2i，∴zi=1+2i，∴﹣i•zi=﹣i（1+2i），化为：z=2﹣i．则=2+i在复平面内对应的点（2，1）位于第一象限．故选：A．2．（5分）已知集合A={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}，B={x|x＞m}，若A∩（∁R B）有三个元素，则实数m的取值范围是（）A．[3，4） B．[1，2） C．[2，3） D．（2，3]【解答】解：根据题意，x2﹣4x﹣5＜0⇒﹣1＜x＜5，则A={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}={x∈Z|﹣1＜x＜5}={0，1，2，3，4}，B={x|x＞m}，∁R B={x|x≤m}，若A∩（∁R B）有三个元素，则有2≤m＜3，即实数m的取值范围是[2，3）；故选：C．3．（5分）已知3sin2θ=4tanθ，且θ≠kπ（k∈Z），则cos2θ等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵3sin2θ=4tanθ，∴==4tanθ，∵θ≠kπ（k∈Z），tanθ≠0，∴=2，解得：tan2θ=，∴cos2θ===．故选：B．4．（5分）把2名新生分到甲、乙、丙、丁四个班，甲班必须且只能分配1名新生，则不同的分配方法有（）A．3种 B．4种 C．6种 D．8种【解答】解：根据题意，甲班必须且只能分配1名新生，在2名新生中任选1名，分配甲班，有C21=2种情况，将剩下的1名新生分配到其他班级，有C31=3种分配方法，则不同的分配方法有2×3=6种；故选：C．5．（5分）在区间（﹣2，a）（a＞0）上任取一个数m，若函数f（x）=3x+m﹣3在区间[1，+∞）无零点的概率不小于，则实数a能取的最小整数是（）A．1 B．3 C．5 D．6【解答】解：函数f（x）=3x+m﹣3在区间[1，+∞）无零点⇔方程x+m=在区间[1，+∞）无解，∵方程x+m=的解为x=﹣m，∵方程x+m=在区间[1，+∞）无解，只需⇒m＞，根据几何概型计算公式得，解得a，实数a能取的最小整数是6，故选：D．6．（5分）已知直线l：kx+y﹣k=0与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．2 C．D．3【解答】解：由题意可知：直线l：kx+y﹣k=0，则渐近线方程kx+y=0，即y=﹣kx，∴丨k丨=，由这两条平行线间的距离为，即=，整理k2=8，解得：k=±2，即=k2=8，由双曲线的离心率e===3，∴双曲线C的离心率3，故选：D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则下列说法正确的（）A．∀a∈（2，4），输出的i的值为5 B．∃a∈（4，5），输出的i的值为5 C．∀a∈（3，4），输出的i的值为5 D．∃a∈（2，4），输出的i的值为5【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，i=1执行循环体，S=1，i=2不满足条件S＞ai，执行循环体，S=4，i=3不满足条件S＞ai，执行循环体，S=9，i=4不满足条件S＞ai，执行循环体，S=16，i=5由题意，此时满足条件S＞ai，退出循环，输出i的值为5，则16＞5a，且9≤4a，解得：≤a＜．故选：D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．13πB．16πC．17πD．21π【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为组合体，是一个底面半径为1的半圆柱及一个三棱柱，其外接球的直径为BC1，．∴外接球得半径为R=，则外接球的体积为=13π．故选：A．9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，若f（log 2a）+f（3a）≥2f（﹣1），则实数a的取值范围是（）A．[2，4]B．[，2]C．[，4]D．[，2]【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，且3a==﹣log2a，则f（3a）=f（﹣log 2a）=f（log2a），则f（log 2a）+f（3a）=2f（log2a）=2f（|log2a|），f（log 2a）+f（3a）≥2f（﹣1）⇒2f（|log2a|）≥2f（1），又由f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则有|log2a|≤1，即﹣1≤log2a≤1，解可得≤a≤2，即a的取值范围是[，2]；故选：D．10．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知c2sinAcosA+a2sinCcosC=4sinB，cosB=，D是AC上一点，且S△BCD=，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，c2sinAcosA+a2sinCcosC=4sinB，∴c2acosA+a2ccosC=4b，∴ac====4，∵cosB=，∴sinB=，∴==，=，∴=，∵D是AC上一点，且S△BCD∴===．故选：D．11．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）（x0＞）是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，若=2，则|AF|等于（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：由题意，|MF|=x0+．∵圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，∴|MA|=2（x0﹣），∵=2，∴|MF|=|MA|，∴x0=p，∴2p2=8，∴p=2，∴|AF|=1．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=﹣（a＞0）在区间[0，1]上有极值，且函数f（x）在区间[0，1]上的最小值不小于﹣，则a的取值范围是（）A．（2，5]B．（2，+∞）C．（1，4}D．[5，+∞）【解答】解：f′（x）=，若f（x）在[0，1]上有极值，则即，解得：a＞2，f（x）在[0，1]先递增再递减，故f（x）min=f（1）=﹣≥﹣，解得：a≤5，故a∈（2，5]，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量=（﹣1，1），=（1，5），则向量在方向上的投影为．【解答】解：∵=（﹣1，1），=（1，5），∴=﹣=（2，4），∴•=（2，4）•（﹣1，1）=2×（﹣1）+4×1=2，∴在方向上的投影为==．故答案为：．14．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如图所示，则cos（5ωφ）=﹣．【解答】解：根据函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象，可得A=1，=﹣，∴ω=2，再结合五点法作图可得2+φ=π，∴φ=，∴cos（5ωφ）=cos（5•2•）=cos=﹣cos=﹣，故答案为：﹣．15．（5分）若实数x、y满足不等式组，且3（x﹣a）+2（y+1）的最大值为5，则a=2．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（1，3）．令z=3（x﹣a）+2（y+1），化为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为11﹣3a=5，即a=2．故答案为：2．16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，AA1=3，E是AA1的中点，过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F，则CF与平面ABCD所成角的正切值为．【解答】解：连结AC、BD，交于点O，∵四边形ABCD是正方形，AA1⊥底面ABCD，∴BD⊥平面ACC1A1，则当C1F与EO垂直时，C1F⊥平面BDE，∵F∈平面ABB1A1，∴F∈AA1，∴∠CAF是CF与平面ABCD所成角，在矩形ACC1A1中，△C1A1F∽△EAO，则=，∵A1C1=2AO=AB=2，AE=，∴A1F=，∴AF=，∴tan==．∴CF与平面ABCD所成角的正切值为．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且6S n=3n+1+a（n∈N+）（1）求a的值及数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（1﹣an）log3（a n2•a n+1），求的前n项和为T n．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}满足6S n=3n+1+a（n∈N+），n=1时，6a1=9+a；n≥2时，6a n=6（S n﹣S n﹣1）=3n+1+a﹣（3n+a）=2×3n．∴a n=3n﹣1，n=1时也成立，∴1×6=9+a，解得a=﹣3．∴a n=3n﹣1．（2）b n=（1﹣an）log3（a n2•a n+1）=（1+3n）=（3n+1）（3n﹣2），∴=．的前n项和为T n=+…+==．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是A1B1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDC1；（2）若AB⊥AC，且AB=AC=AA 1，求二面角A﹣BD﹣C1的余弦值．【解答】证明：（1）取AB的中点E，连结A1E，CE，DE，在四边形A1EBD是平行四边形，即A1E∥BD，同理，四边形CC1DE是平行四边形，即CE∥C1D，又A1E∩CE=E，∴平面A1CE∥平面BDC1，∵A1C⊂平面A1CE，∴A1C∥平面BDC1．解：（2）法一：延长BD至F，连结A1F，使得A1F⊥DF，连结C1F，∵AB⊥AC，∴A1B⊥A1C，又A1C1⊥AA1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∴∠A1FC1是所求二面角的平面角，设AB=2，又AB=AC=，∴A1D=1，AA1=3，∴BD=，∵△A1DF∽△BDB1，∴，∴A1F=，∵A1C1=2，∴，∴cos∠A1FC1==．∴二面角A﹣BD﹣C1的余弦值为．（2）法二：棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，A1B1⊥A1C1，∴A1B1，A1C1，AA1两两垂直，以A1为坐标原点，建立如图所求的空间直角坐标系A1﹣xyz，设AB=2，则B（3，2，0），D（0，1，0），C1（0，0，2），∴=（3，1，0），=（0，﹣1，2），设平面BDC1的法向量=（x，y，z），则，取y=6，得=（﹣2，6，3），∵平面AA1DB 的一个法向量=（0，0，1）∴cos ＜＞==，由图知二面角A﹣BD﹣C1的平面角为多姿多彩锐角，∴二面角A﹣BD﹣C1的余弦值为．19．（12分）为了解喜好体育运动是否与性别有关，某报记者随机采访50个路人，将调查情况进行整理后制成下表：（1）在调查的结果中，喜好体育运动的女性有10人，不喜好体育运动的男性有5人，请将下面的2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由；（2）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不喜好体育运动的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．下面的临界值表供参考：（参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d ）【解答】解：（1）根据频率分布表知，喜好体育运动的人数为30，则不喜好体育运动的人数为20， 填写2×2列联表如下：根据列联表中数据，计算 K 2===3＜7.879，对照临界值知，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，不能认为喜好体育运动与性别有关；（2）从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查， 记选中的4人中不喜好体育运动的人数为X ， 依题意得X=0，1，2，3， P （X=0）=•=，P （X=1）=•+•=，P （X=2）=•+•=，P （X=3）=•=，∴X的分布列是：∴X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．20．（12分）已知右焦点为F（c，0）的椭圆M：=1（a＞b＞0）过点，且椭圆M关于直线x=c对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆M的方程；（2）过点（4，0）且不垂直于y轴的直线与椭圆M交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称原点为E，证明：直线PE与x轴的交点为F．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆M：=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，椭圆过点，即，椭圆M关于直线x=c对称的图形过坐标原点，∴a=2c，由a2=b2+c2，则b2=a2，解得：a2=4，b2=3，∴椭圆的标准方程；（2）证明：设直线PQ的方程为：y=k（x﹣4），k≠0，∴，整理得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，∵过点P0（4，0）且不垂直于x轴的直线与椭圆交于P，Q两点，∴由△=（﹣32k2）2﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0，得：k∈（﹣，），设P（x1，y1），Q（x2，y2），E（x4，﹣y4），则x1+x2=，x1•x2=，则直线AE的方程为y﹣y1=（x﹣x1），令y=0得：x=﹣y 1•+x 1=====1．∴直线PE 过定点（1，0），由椭圆的焦点坐标为（1，0），则直线PE 与x 轴的交点为F ．21．（12分）已知函数f （x ）=（3﹣a ）x ﹣2+a ﹣2lnx （a ∈R ） （1）若函数y=f （x ）在区间（1，3）上单调，求a 的取值范围； （2）若函数g （x ）=f （x ）﹣x 在（0，）上无零点，求a 的最小值． 【解答】解：（1）f′（x ）=3﹣a ﹣=，当a ≥3时，有f′（x ）＜0，即函数f （x ）在区间（1，3）上单调递减； 当a ＜3时，令f′（x ）=0，得x=，若函数y=f （x ）在区间（1，3）单调，则≤1或≥3，解得：a ≤1或≤a ＜3，综上，a 的范围是（﹣∞，1]∪[，+∞）； （2）x→0时，g （x ）→+∞，∴g （x ）=（2﹣a ）（x ﹣1）﹣2lnx ＜0在区间（0，）上恒成立不可能， 故要使函数g （x ）在（0，）无零点，只需对任意的x ∈（0，），g （x ）＞0恒成立，即对x ∈（0，），a ＞2﹣恒成立，令l （x ）=2﹣，x ∈（0，），则l′（x ）=，令m （x ）=2lnx +﹣2，x ∈（0，），则m′（x ）=＜0，故m （x ）在（0，）上递减，于是m （x ）＞m （）=2﹣2ln2＞0，从而，l′（x）＞0，于是l（x）在（0，）递增，∴l（x）＜l（）=2﹣4ln2，故要使a＞2﹣恒成立，只需a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数g（x）=f（x）﹣x在（0，）上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2．请在第22、23两题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标是ρ=2asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．（1）若a=2，M为直线l与x轴的交点，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；（2）若直线l被圆C截得的弦长为，求a的值．【解答】解：（1）直线l的参数方程是，a=2时，化为普通方程：（x﹣2）．令y=0，解得x=2，可得M（2，0）．圆C的极坐标是ρ=2asinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4．|MC|=2，∴|MN|的最大值为2+2．（2）圆C的方程为：x2+（y﹣a）2=a2，直线l的方程为：4x+3y﹣4a=0，圆心C到直线l的距离d==．∴=2，解得a=．【选修4-5：不等式选讲】23．设实数x、y满足2x+y=9．（1）若|8﹣y|≤x+3，求x的取值范围；（2）若x＞0，y＞0，求证：≥．【解答】解：（1）∵2x+y=9，∴由|8﹣y|＜x+3，得|2x﹣1|＜x+3，则﹣x﹣3＜2x﹣1＜x+3，即，解得：﹣＜x＜4；（2）证明：∵2x+y=9，x＞0，y＞0，∴=+=（2x+y）（+）=[+（+）]，∵+≥4，当且仅当x=2y=时“=”成立，∴≥×（+4）=．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
河南省新乡市数学高二下学期理数期末学业质量监测试卷
河南省新乡市数学高二下学期理数期末学业质量监测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·宁夏月考) 已知复数满足，则的实部（）A . 不大于 0B . 不小于 0C . 大于 0D . 小于 02. （2分）设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为（）A .B .C .D . 13. （2分）(2020·蚌埠模拟) 开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种，已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份15元，面食套餐的价格是每份10元，如果小明当天选择了某种套餐，她第二天会有的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率，给出以下论述：①小明同学第二天一定选择面食套餐；② ；③ ；④前n天小明同学午餐花费的总费用数学期望为 .其中正确的是（）A . ②④B . ①②③C . ③④D . ②③④4. （2分）设函数的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二上·吉林期中) 由直线x= ，x=2，曲线y= 及x轴所围图形的面积是（）A . 2ln2B .C .D .6. （2分） (2020高二下·南昌期末) 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀总计甲班10b乙班c30总计105已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（）参考公式：附表：P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828A . 列联表中c的值为30，b的值为35B . 列联表中c的值为15，b的值为50C . 根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D . 根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”7. （2分） (2015高二下·宁德期中) 已知命题：若数列{an}为等差数列，且am=a，an=b（m≠n，m、n∈N+）则am+n= ；现已知等比数列{bn}（bn＞0，n∈N+），bm=a，bn=b，（m≠n，m、n∈N+）若类比上述结论，则可得到bm+n=（）A .B .C .D .8. （2分）(2020·茂名模拟) 前进中学高二学生会体育部共有5人，现需从体育部派遣4人，分别担任拔河比赛活动中的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每个人只能担任其中一项工作，其中体育部的张三不能担任裁判工作，则共有（）种派遣方法.A . 120B . 96C . 48D . 609. （2分） (2017高二下·赤峰期末) 将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数都不同”，“至少出先一个6点”，则条件概率，分别等于（）A . ，B . ，C . ，D . ，10. （2分） (2015高三上·滨州期末) 甲乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b| ≤ 1，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为A .B .C .D .11. （2分）=，则n=（）A . 26B . 27C . 28D . 2912. （2分） (2019高二下·台州期末) 已知，那么（）A . 20B . 30C . 42D . 72二、填空题 (共8题；共8分)13. （1分） (2020高一下·上海期末) 计算 ________.14. （1分） (2019高二下·桦甸期末) 已知，且z的实部为，则z的虚部是________.15. （1分） (2016高三上·沙市模拟) 已知m=3 sinxdx，则二项式（a+2b﹣3c）m的展开式中ab2cm﹣3的系数为________．16. （1分） (2018高二上·定远期中) 已知函数的导函数为，且，则________．17. （1分） (2019高三上·长沙月考) 某年级有1000名学生，一次数学测试成绩，，则该年级学生数学成绩在115分以上的人数大约为________.18. （1分）(2017·嘉兴模拟) 若复数，其中是虚数单位，则 ________； ________．19. （1分） (2019高一下·包头期中) 在等差数列{an}中,若a1+a7+a13 = 6,则S13 = ________ .20. （1分） (2017高二上·四川期中) 已知函数在处有极大值，则 ________．三、解答题 (共5题；共55分)21. （10分） (2016高三上·沈阳期中) 已知函数f（x）=ex（x2﹣2x+2﹣a2）（a＞0），g（x）=x2+6x+c（c∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣4x﹣2，求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）当a=1时，对∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使f（x1）＜g（x2）成立，求实数c的取值范围．22. （10分） (2020高二上·建瓯月考)（1）设 .①求；②求；③求；（2）求除以9的余数．23. （10分）某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n名学生，并对这n名学生按成绩分组，第一组[75，80），第二组[80，85），第三组[85，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60．（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；（Ⅱ）若Q大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试．①若Q大学本次面试中有B、C、D三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为、，，求甲同学面试成功的概率；②若Q大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，第3组中有ξ名学生被考官B面试，求ξ的分布列和数学期望．24. （15分）某市直小学为了加强管理，对全校教职工实行新的临时事假制度：“每位教职工每月在正常的工作时间，临时有事，可请假至多三次，每次至多一小时”．现对该制度实施以来50名教职工请假的次数进行调查统计，结果如下表所示：请假次数0123人数5102015根据上表信息解答以下问题：（1）从该小学任选两名教职工，用η表示这两人请假次数之和，记“函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区（4，6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；（2）从该小学任选两名职工，用ξ表示这两人请假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．25. （10分）(2019·山西模拟) 已知函数 .（1）求不等式的解集；（2）在（1）的条件下，若，求证： .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共8题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共55分) 21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、24-1、24-2、25-1、25-2、。