误差(绝对误差、相对误差)与真值

测量结果y＝x±△ (P=95%) 式中：x是测量值；△是测量不确定度；P是包 含真值的概率。
第二十六页，共三十九页。
定义(dìngyì)相对不确定度:
Ur 100%
x
测量不确定度一般包含几个分量(fèn ， liàng) 按其数值评定的方法，可分为两大类：采 用统计方法评定的A类不确定度分量和采 用其他方法评定的B类不确定度分量。
f ( )
1
2
e 2 2
2
式中的是一个与实验条件有关(yǒuguān)的常数，称之为正态分布的
标准误差。±是曲线两个拐点的横坐标位置。
第十八页，共三十九页。
标准误差与标准偏差
标准误差（标准差)：
1im n
n
( xi a )2
i1
n
标准偏差－贝塞尔公式(gōngshì) ：
Sx
n
2
( xi x )
a:定义，指足以引起仪器示值可察觉变化的被测 量的最小变化值。例，人眼(rén yǎn)察觉到的指针改 变量为0.2分度值，0.2为指针仪表的灵敏阈。 b:灵敏(línɡ mǐn)阈越小，仪器的灵敏(línɡ mǐn)度越高。
c:仪器的灵敏阈＜示值误差限＜最小分度值。由于 多次使用，仪器的灵敏阈变大，超过仪器示值误差 限时，仪器示值误差应由灵敏阈来代替。
B 仪
这样我们得到总不确定度
第三十页，共三十九页。
S
2 x
2仪
直接测量(cèliáng)结果的总不确定度的估计
A Sx
B 仪
2A 2B
S
2 x
2仪
第三十一页，共三十九页。
间接测量的结果和不确定(quèdìng)度的合
成
由于间接量的结果是由直接量的结果根据(gēnjù)一定的函数式计算出 来的，所以，直接量的不确定度就必然影响到间接量。直接量的不 确定度可以通过一定的函数式传递到间接量。
如果很大，误差 分布的范围就较宽， 说明测得值的离散 性大，测量的精密度 低。
第二十页，共三十九页。
算术平均值的标准偏差与测量次数(cìshù)的影响
Sx
Sx n
n
i2
i 1
n(n 1)
ss
平均值的标准偏差比 任何一次测量的实验 (shíyàn)标准差小,增加测 量次数,可以减少平均值 的标准偏差,提高测量的 准确度.
第十七页，共三十九页。
随机误差正态分布的性质：
① 单峰性：绝对值小的误差出现的 可能性（概率）大，绝对值大的误 差出现的可能性小。
② 对称性：大小相等的正误差和 负误差出现的机会均等，对称分 布于真值的两侧。
③ 有界性：非常大的正误差或负误 差出现的可能性几乎( jīhū)为零。
④ 抵偿性：当测量次数非常多时， 正误差和负误差相互抵消，于是，误 差的代数和趋向于零。
• 发现系统误差的方法：
理论分析法 实验对比法 数据分析法
• 系统误差的减小与消除：
误差(wùchā)根源：减小、消除 实验技巧：交换法、替代法、异号法等。
第十五页，共三十九页。
随机误差的处理(chǔlǐ)
任一次测量结果的随机误差 具有随机性特点。但多次测量的 随机误差表现(biǎoxiàn)出确定的规 律，即统计规律。
度，也有时指准确度
第十二页，共三十九页。
测量结果(jiē guǒ)准确程度与射击打靶的类比
第十三页，共三十九页。
误差 的处理方法 (wùchā)
• 处理系统误差的一般知识(zhī shi) • 随机误差的处理 • 仪器误差 • 不确定度的概念
第十四页，共三十九页。
处理(chǔlǐ)系统误差的一般知识
• 真值：是一个理想概念，一般说来实验者对真值是不知道的。 通常用算术平均值来代替真值，称为约定真值。
第一页，共三十九页。
最佳值和偏差(piānchā)
• 最佳值：多次测量(cèliáng)的算术平均值
x 1
n
n i 1
xi
• 偏差（残差）： i xi x
•
•
相是评对价误测差量：值E准r 确x与1否00的%客观标准
在一般情况下，对随机误差很小的测量，可以只估计不 确定度的B类分量，用仪器误差△仪作为x测的总不确定度，测 量结果表示为：
x x测 仪
第三十三页，共三十九页。
多次直接(zhíjiē)测量的数据处
理
[例1] 用量程为0～25mm的一级螺旋测微计（Δ仪
=0.004mm）对一铁板的厚度进行(jìnxíng)了8次重 复测量，以mm为单位，测量数据为：3.784， 3.779，3.786，3.781，3.778，3.782，3.780， 3.778，求测量结果。
3
p3 f ( )d 99.7% 3
坏值的剔除
(tīchú)
第二十二页，共三十九页。
置信区间
[ , ]
[2 ,2 ]
[3 ,3 ]
仪器 误差 (yíqì)
1.仪器(yíqì)的示值误差（限 ）
国家技术标准或检定规程规定(guīdìng)的计量器 具最大允许误差或允许基本误差，经适当的简 化称为仪器的误差（限），用Δ仪表示。它代 表在正确使用仪器的条件下，仪器示值与被 测量真值之间可能产生的最大误差的绝对值。
• 随机误差的特点：是单个测量误差表现 为不可预知的随机性，而从总体来看这 类误差服从统计规律。
• 误差 = 随机误差 + 系统误差
第十一页，共三十九页。
系统误差和随机误差
• 精密度：反映随机误差的大小程度 • 正确度：反映系统误差的大小程度 • 准确度：随机误差与系统误差综合大小 • 精 度：物理(wùlǐ)意义不明确，有时指精密
百度文库
分别适用于y是和差形式，以及积商形式的函数
第三十二页，共三十九页。
单次直接(zhíjiē)测量的数据处理
在实际测量过程中，有的被测量是随时间变化着的，我 们无法对其进行重复测量，只能进行单次测量。还有些被 测量，对它们的测量精度要求不高，只要进行单次测量就 可以了。
在单次测量中，用单次测量值x测作为(zuòwéi)被测量的最佳估计 值。
• 测量结果y＝x±△表示区间[x-△，x+△]以一定 的概率包含(bāohán)真值。
• 要完整地表示一个物理量，应该有数值、单 位、不确定度（ △ ）这三个要素。
第二十八页，共三十九页。
直接测量结果(jiē guǒ)的总不确定度的估计
总不确定 度 (quèdìng)
总不确定度△从估计方法上也可分为两类分量(fèn ： liàng) A类分量△A：代表多次重复测量用统计方法计算出的 分量； B类分量△B：代表用其他方法估计出的分量， 它们可用“方、和、根”合成总不确定度
第二十三页，共三十九页。
仪器误差(wùchā)（限）举例
1 游标卡尺，仪器示值误差一律取卡尺分度值。 2 螺旋测微计，量程在0—25mm及25—50mm的一级千分尺的仪器 示值误差均为 0.004mm。 3 在使用机械停表和电子停表时，其误差主要来源于启动和制动停表时 的操作误差，其极限误差约为0.2s。
第十六页，共三十九页。
随机误差的正态分布规律(guīlǜ)
在相同的测量条件下，对某一被测量进行多次重 复测量，假设系统误差已经消除 如果该被测量的真值为a，则根据误差的定义， 各次测量的误差为
i xi a （i＝1，2，…，n）
实验和统计理论都证明，当重复测量次数足够多 时，随机误差服从(fúcóng)或接近正态分布（或称高 斯分布）规律。
天平(tiānpíng)不等臂所造成的
系统误差
第四页，共三十九页。
aA O
a A
bB
b
B
不偏心时，由于
aa ，b所b以
可用弧长反映角度的 大小。
由于偏心，使之用弧 长反映角度 时产
生的系统误差。如： AA这BB是 由偏心 造成的。
第五页，共三十九页。
理论
(lǐlùn)
由于理论推导中的近似(jìn sì),产生的 系统误差
误差（绝对误差(juéduìwùchà)、相对误差）与真值
• 误差：测量误差就是测量结果与被测量的真值（或约定真值）之
间的差值，测量误差的大小反映了测量结果的准确程度。测量误 差可以用绝对误差表示(biǎoshì)，也可以用相对误差表示(biǎoshì)。
• 绝对误差(δ )＝测量结果（x）－被测量的真值（a） • 相对误差（Er）＝绝对误差（δ）/ 真值（a）×100%
第二页，共三十九页。
系统误差和随机误差
• 系统误差：在相同(xiānɡ tónɡ)条件下，对同一 被测量的多次测量中，误差的绝对值和 符号（正、负）保持恒定或在条件改变 时，误差的绝对值和符号（正、负）按 一定的规律变化，这种误差称为系统误 差。
第三页，共三十九页。
1. 系统误差 仪器 误 (yíqì) 差
0 0 5 5 10101515 nn
但是,n>10以后,n再增 加,平均值的标准偏差减 小缓慢,因此,在物理实验 教学中一般取n为6～10 次
第二十一页，共三十九页。
置信 区间和置信 概率 (zhìxìn)
(zhìxìn)
置信 概 (zhìxìn) 率
P1 f ( )d 68.3%
2
P2 f ( )d 95.5% 2
如：
螺线管为无限长，管壁磁漏可 忽略。
第六页，共三十九页。
人为
(rénwéi)
心理作用，读数(dúshù)（估计）偏大或偏小。
生理因素
听觉
嗅觉 色觉 视觉
对音域（20HZ--20KHZ
）
的辨别。 对音色的辨别。
第七页，共三十九页。
环境
(huánjìng)
输入
(shūrù)
市电 的 (shìdiàn) 干扰
第二十五页，共三十九页。
误差 与不确定度 (wùchā)
不确定度的定义：测量不确定度是测量结果必 须具有的一个参数。测量不确定反映了对被测 量真值不能肯定的程度(chéngdù)，或者说测量值作 为被测量真值和估计值可能存在的一个分布范 围，并在这个分布范围内以一定的概率（如 P=95%）包含被测量真值。这个范围可表述为
i1
n 1
n
i2
i1
n 1
※ 测量次数n为有限次时用贝塞尔公式 (gōngshì)计算直接测量量的实验标准差。
第十九页，共三十九页。
标准误差的物理(wùlǐ)意
义 若测量的标准误 差很小，则测得 值的离散性小，重 复测量所得的结果 相互(xiānghù)接近，测 量的精密度高；
f (0) 1
2
系统误差特点 是 (tèdiǎn) ：
增加(zēngjiā)测量次数误差不能减 少，只能从方法、理论、仪器等 方面的改进与修正来实现。表现 出恒偏大、恒偏小或周期性的特 点。
第十页，共三十九页。
系统误差和随机误差
• 随机误差：在相同条件下多次重复测量 同一个量时，每次测量出现的误差的绝 对值和符号以不可(bùkě)预知的方式变化。 这类误差称为随机误差。
4 物理实验常用的水银温度计，其极限误差为温度计的最小分度 值。 5 指针式电流表和电压表的仪器误差限由量程和准确度等级决定。
6 数字式仪表，误差示值取其末位数最小分度的一个单位。 7 电阻箱、电桥(diàn qiáo)等，示值误差用专用公式计算
第二十四页，共三十九页。
2 仪器(yíqì)的灵敏阈
第二十七页，共三十九页。
不确定(quèdìng)度与误差的比较
• 不确定度和误差是两个不同的概念。误差是 指测量值和真值之差，一般情况下，它是未 知的、确定的、可正可负的量；
• 不确定度是表示误差可能存在的范围，它的 大小可以按一定的方法计算（或估计）出来。 不确定度大，不一定误差的绝对值也大。两 者不应混淆。
2A 2B
第二十九页，共三十九页。
直接测量(cèliáng)结果的表示和总不确定度的估
计
总不确定(quèdìng)度的A类分量
△A 有关的计算表明，在5<n≤10时作
△A =Sx近似(jìn sì)，置信概率近似( jìn sì) 为0.95
A Sx
总不确定度的B类分量△B
我们约定，在普通物理实验中大多数情况 下把仪器误差限△仪简化地直接当作总不确 定度B类分量
光点检流计
接近时，静
电干扰，使
光斑移动等 。
第八页，共三十九页。
方法
(fāngfǎ)
内接
VR
VA
A
IR
A
V
V
用V作为(zuòwéi)VR的近似
IV
值
用I作为(zuòwéi)IR的近似值时，求
时R，求V VR VA
I
I
RV I
VR VA VR I II
第九页，共三十九页。
V V I R IV I R
设间接测量所用的数学式（或称测量式） 可以用如下函数(hánshù)形式表示：
y f ( x1 , x2 , x3 , )
则有方和根公
式：
y
f x1
2
( x1
)2
f x2
2
( x2
)2
f x3
2
( x3
)2
y y
2
2
2
1nf x1
( x1
)2
1nf x2
( x2
)2
1nf x3
( x3 )2