高中数学(北师大版)必修2 精品教学课件：第一章 §2直观图

画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐 标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出竖轴．此 题也可以把点A，B，C，D放在坐标轴上，画法实质是各顶点 的确定．
练一练 2．画出五棱柱的直观图． 解：画法：
(1)画轴：画 x′轴，y′轴，z′轴，记坐标原点为 O′， 使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°. (2)画底面：在俯视图中，建立直角坐标系 xOy(如图①)，利用 斜二测画法画出底面 ABCDE 的直观图 A′B′C′D′E′.
又因为梯形为等腰梯形， 所以△E′D′C′为等腰直角三角形．所以 E′C′＝ 2. 再建立一个直角坐标系 xBy，如图(2)所示，在 x 轴上截取 线段 BC＝B′C′＝1＋ 2，在 y 轴上截取线段 BA＝2B′A′ ＝2.
过 A 作 AD∥BC，截取 AD＝A′D′＝1.连接 CD，则四 边形 ABCD 就是四边形 A′B′C′D′的实际图形．
解析：将直观图还原为平面图形如图所示，
由三角形的有关性质可知，OB>AB>BD>OD. 答案：OD<BD<AB<OB
6．已知一等腰△ABC 底边 AB＝a，高为 23a，求用斜 二测画法得到的直观图的面积．
解：如图(1)(2)所示的是实际图形和直观图， 由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝ 43a，
1．用斜二测画法得到： ①相等的线段和角在直观图中，仍然相等； ②正方形在直观图中是矩形； ③等腰梯形在直观图中仍然是等腰梯形； ④菱形的直观图仍然是菱形． 上述结论正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：利用斜二测画法，上面说法没有一个正确． 答案：A
2．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可 能是图乙中的( )
[问题思考]
1．斜二测画法中的“斜”、“二测”分别指什么？
提示：斜是指坐标轴倾斜，使之成45°，二测是指测量与x 轴平行的线段长度不变，测量与y轴平行的线段长度减半． 2．斜二测画法中，原图中互相平行的线段在直观图中还平行 吗？ 提示：平行． 3．空间几何体的直观图一定唯一吗？ 提示：不一定唯一．作直观图时，由于选轴不同，所画直观 图就不一定相同．
(3)画侧棱：过 A′，B′，C′，D′，E′各点分别作 z′ 轴 的 平行 线， 并在 这些 平行 线上 截 取 A′A″， B′B″， C′C″，D′D″，E′E″，使它们都等于主视图中矩形的高．
(4)成图：连接 A″B″，B″C″，C″D″，D″E″， E″A″，并加以整理(去掉辅助线，并将被遮住的部分改为虚 线)，就得到原几何体的直观图(如图②)．
x′轴，y′轴平行线变换确定其在 xOy 中的位置． (2)一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积
间的关系是S直观图＝ S原图
2 4.
练一练
3．已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边
长为 a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为( )
A. 23a2
B. 43a2
C. 26a2
D. 6a2
讲一讲 3. 一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均 为1的等腰梯形．求原四边形的面积．
[尝试解答] 如图(1)是四边形的直观图，取 B′C′所在直 线为 x′轴．
因为∠A′B′C′＝45°，所以取 B′A′所在直线为 y′ 轴．过 D′作 D′E′∥A′B′交 B′C′于 E′，则 B′E′ ＝A′D′＝1.
讲一讲 1. 用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．
[尝试解答] 法一：(1)如图①所示， 以 BC 边所在的直 线为 x 轴，以 BC 边上的高线 AO 所在的直线为 y 轴．
(2)画对应的 x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 在 x′轴上截取 O′B′＝O′C′＝2 cm，在 y′轴上 截取 O′A′＝12OA，连接 A′B′，A′C′，则三角形 A′B′C′即为正三角形 ABC 的直观图，如图②所示．
在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标 系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴 上，以便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点， 原图中的平行线，在直观图中仍是平行线．
练一练 1．画出水平放置的等腰梯形的直观图．
讲一讲 2. 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
(3)已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长 度 不变 ；平行于 y 轴的线段，长度为原来的21.
2．立体图形的直观图的画法 立体图形与平面图形相比多了一个 z 轴，其直观图中对 应于 z 轴的是 z′轴，平面 x′O′y′表示水平平面，平面 y′O′z′和 x′O′z′表示直立平面，平行于 z 轴的线段， 在直观图中 平行性 和 长度 都不变．
解析：按斜二测画法的规则：平行于x轴或x轴上的线段的长 度在新坐标系中不变，在y轴上或平行于y轴的线段长度在新 坐标系中变为原来的一半，并注意到∠x′O′y′＝45°，将图 形还原成原图形知选C.
答案：C
3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观 图为一个正方形，则原来图形的形状是( )
[核心必知]
1．斜二测画法的规则 (1)在已知图形中建立直角坐标系 xOy，画直观图时，它 们分别对应 x′轴和 y′轴，两轴交于点 O′，使∠x′O′y′ ＝ 45° ，它们确定的平面表示水平平面． (2)已知图形中平行于 x 轴和 y 轴的线段，在直观图中分 别画成平行于 x′轴 和 y′轴 的线段．
四边形 ABCD 为直角梯形，上底 AD＝1， 下底 BC＝1＋ 2，高 AB＝2， 所以 S 梯形 ABCD＝12AB·(AD＋BC) ＝12×2×(1＋1＋ 2) ＝2＋ 2.
(1)由直观图还原平面图形关键有两点：
①平行 x′轴的线段长度不变，平行 y′轴线段变为原 来的 2 倍；
②对于相邻两边不与 x′、y′轴平行的顶点可通过作
在图(2)中作 C′D′⊥A′B′于 D′，则 C′D′
＝
22O′C′＝
6 8 a.
所以 S△A′B′C′＝21A′B′·C′D′＝12×a× 86a＝
166a2.பைடு நூலகம்
[尝试解答] 画法：(1)画轴．画 Ox 轴，Oy 轴， Oz 轴，∠xOy＝45°(或 135°)，∠xOz＝90°，如图．
(2)画底面．以 O 为中心在 xOy 平面内，画出正方 形直观图 ABCD.
(3)画顶点．在 Oz 轴上截取 OP 使 OP 的长度是原 四棱锥的高．
(4)成图．顺次连接 PA，PB，PC，PD，并擦去辅 助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图．
[错因] 坐标轴上的点O，B，C画得正确，点A的直观图位置 画错了，应该依据点A到y轴的距离不变，到x轴的距离减半的 方法确定A′的位置．
[正解] 如图所示，作∠C′O′B′＝45°，其中O′B′是水平 的，O′B′＝4O′D′＝3，O′C′＝1，过点D′作∠B′D′A′＝ 135°，使A′D′＝1，顺次连接O′A′，A′B′，B′C′，所得四 边形即为四边形OABC的直观图．
画出右图中四边形OABC的直观图(图中数据已给出)．
[错解] 以 O 为原点，OB 所在直线为 x 轴建立直角 坐标系 xOy，如图甲，作∠C′O′B′＝45°，其中 O′B′ 是水平的，O′B′＝4，O′D′＝3，O′C′＝1，
过 D′作∠B′D′A′＝90°，使 A′D′＝1，顺次 连 接 O′A′ ， A′B′ ， B′C′ ， 所 得 四 边 形 O′A′B′C′即为四边形 OABC 的直观图，如图乙．
解析：根据斜二测画法，知在y轴上的线段长度为原来的一半， 可知A正确．
答案：A
4．平行四边形的直观图________平行四边形．(用 “是”或“不是”作答)
解析：斜二测画法不改变图形中的平行关系． 答案：是
5．如 图 ， 为 △ ABO 水 平 放 置 的 直 观 图 ， 其 中 O′D′ ＝ B′D′ ＝ 2A′D′ ，由 图 判 断原 三 角形 中 AB，BO，BD，OD 由小到大的顺序是________________．