多元函数微积分(课件)
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3 V 为因变量的二元函数。根据问题的实际意义，函数的定义域为
D {(r,h) | r＞0,h＞0} 。
二元以及二元以上的函数统称为多元函数。
5
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
2．二元函数的定义域 二元函数的定义域比较复杂，可以是坐标系中全部的区域，也可以是由曲线所围成的 部分区域。围成区域的曲线称为区域的边界。不包括边界的区域称为开区域，连同边 界在内的区域称为闭区域；开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界点。 如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一正常数 M ，则 D 称为有界区域， 否则称为无界区域。
、
【例 3】 求二元函数 z ln(x y) 的定义域 D 。 解 由对数函数性质可知 x 、 y 必须满足 x y＞0 。直线 x y 0 是它的边界，定义域 为不包括边界在内的开区域。
D {(x, y) | x y＞0}
二、多元函数的极限
定义 5.2 设二元函数 z f (x, y) ，如果当点 P(x, y) 以任意方式趋向于点 P0 (x0 , y0 ) 时，f (x, y) 总趋向于一个确定的常数 A ，则称 A 是二元函数 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限，记为
4
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
一、多元函数的概念 1．二元函数的定义
定义 5.1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于每个点 (x, y) D ，变量 z 按照一定的法 则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y 的二元函数，记为 z f (x, y) 。其中 x、y 称 为自变量， z 称为因变量，自变量 x、y 的取值范围 D 称为函数的定义域。 【例 1】设圆锥体的底面半径为 r ，高为 h ，则体积V 1 πr2h 。这是一个以 r 、h 为自变量，
f (x, 0) lim x0
x0 x2 02
0。
y0
但是当点 (x, y) 沿着直线 y x 趋向于点 (0,0) 时，即 y x 而 x 0 时，有
lim
x0
f (x, y)
lim
x0
xx x2 x2
1 2
。
yx
因此，当 (x, y) (0,0) 时， f (x, y) 的极限不存在。
dz_dx2 = 1/(x^2 + y^2) - (2*x^2)/(x^2 + y^2)^2
dz_dy2 = 1/(x^2 + y^2) - (2*y^2)/(x^2 + y^2)^2
dz_dxdy = -(2*x*y)/(x^2 + y^2)^2
【例 2】求二元函数 z a2 x2 y2 的定义域D。 解 由函数的要求可知，函数的定义域应满足 x2 y2≤a2 。圆内的所有点都满足不等 式，圆 x2 y2 a2 是定义域的边界。定义域为连同边界在内的闭区域。
D {(x, y) | x2 y2≤a2} 。
6
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
多元函数微积分
目录
1
多元函数的概念、极限与连续性
2
偏导数与全微分
3
多元复合函数与隐函数的偏导数
4
偏导数的应用
5
二重积分及其应用
2
1
多元函数的概念、极限与连续性
2
偏导数与全微分
3 多元复合函数与隐函数的偏导数
4
偏导数的应用
5
二重积分及其应用
3
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
引例 日常生活中，人们常常碰到如何分配定量的钱来购买两种物品的问题，由于钱的总 额固定，则如果购买其中一种物品较多，那么势必要少买（甚至不能再买）另一种物品， 这样就可能会令人不满意。如何花费定量的钱，才能实现最满意的效果呢
14
第、 二节 偏导数与全微分
、
如果函数 z f (x, y) 在区域 D 内每一点 (x, y) 处对 x（对 y ）的偏导数都存在，那么这个偏导数
仍是
x
、y
的函数，称为
z
f
(x,
y)
对
x（对
y
）的偏导函数，记作
z x
、f x
、zx
或
fx (x,
y)（
z y
、f y
、z y
或 f y (x, y) ），通常把偏导函数简称为偏导数。
9
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
三、多元函数的连续性
定义 5.3 设函数 z f (x, y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 的某个邻域 内有定义，如果
lim
x x0
f (x, y)
f (x0 , y0 )
，
y y0
则称二元函数 z f (x, y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 处连续。
12
目录
1
多元函数的概念、极限与连续性
2
偏导数与全微分
3 多元复合函数与隐函数的偏导数
4
偏导数的应用
5
二重积分及其应用
13
第、 二节 偏导数与全微分
、
一、多元函数的偏导数
1．偏导数的定义
定义 5.4 设函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0) 的某一邻域内有定义，当 y 固定为 y0 ，而在 x0 处有增 量 x 时，相应地函数 z 有偏增量
18
第、 二节 偏导数与全微分
、
二阶和二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
【例 10】求函数 z 2x3 y2 xy3 2xy 1的所有二阶偏导数。
解 因为 z 6x2 y2 y3 2 y, z 4x3 y 3xy2 2x
x
y
二阶纯偏导数为
二阶混合偏导数为
2z x2
12xy2 ,
程序运行结果为：
dz_dx2 = 12*x*y^2
dz_dy2 = 4*x^3 - 6*y*x
dz_dxdy = 12*x^2*y - 3*y^2 - 2
dz_dydx = 12*x^2*y - 3*y^2–2
20
第、 二节 偏导数与全微分
、
【例 11】 已知函数 z ln
x2
y2
，请利用
MATLAB
(
x,
lim
y)(0,2)
sin( xy xy
)
y
sin( xy )
lim
lim y 1 2 2
xy0 xy y2
在MATLAB中并没有直接求二重极限的函数，但可以通过计算累次极限来代替 计算二重极限。
MATLAB求解代码如下： >>syms x y >>z = sin(x*y)/x >>limit(limit(z,x,0),y,2)
二元函数的偏导数也可推广到三元及三元以上的函数。
例如，函数 u f (x, y, z) 在 (x, y, z) 处对 x, y, z 的偏导数分别为
f
x
(
x,
y,
z)limx0 Nhomakorabeaf (x x, y, z) x
f (x, y, z)
f
y
(
x,
y,
z
)
lim
y 0
f
(x, y y, z) y
f
(x, y, z)
经济学家试图借助“效用函数”来解决这一问题。所谓效用函数，就是用来表示消费 者在消费中所获得的效用与所消费的商品之间数量关系的函数。它被用以衡量消费者从消 费既定的商品组合中所获得满足的程度。如人们同时购买 x 单位、 y 单位时满意程度的函 数为：
U(x, y) xy ， 当 x 、 y 任取一组具体数值，根据效用函数可知，有唯一确定的函数值与之对应。当 效用函数的值达到最大值时，人们购物分配的方案最佳。
zx f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 ) ，
如果极限
lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
x0
x
存在，则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0) 处对 x 的偏导数，记为
z
x (x0 , y0 ) 或 f x (x0 , y0 ) 。
02
1 2
2
arcsin 1 2
π 6
2
11
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
性质5.1（最大值和最小值定理） 如果二元函数在有界闭区域D上连续，那么 在D上一定有最大值和最小值。 性质5.2（介值定理） 在有界闭区域上连续的二元函数必能取得介于它的 两个不同函数值之间的任何值至少一次。
8
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
【例
5】考察
f
(x,
y)
xy
x2
y2
,
x2 y2 0， 当 (x, y) (0,0) 时的极限是否存在。
0,
x2 y2 0
解 当点 (x, y) 沿 x 轴趋向于原点 (0,0) 时，即当 y 0 而 x 0 时，有
lim
x0
f (x, y) lim x0
z
故
21 2 2 6；
x (1,2)
z 2 1 10 2 22 。
y (1,2)
16
第、 二节 偏导数与全微分
、
【例8】
设
z x y ，求
z 、z x y
解 （1）求 z 对 x 的偏导数时，把 y 看成常量， x y 是幂函数，则有 z y xy1 。 x
（2）求 z 对 y 的偏导数时，把 x 看成常量， x y 是指数函数，则有
按照对变量的不同求导次序，一个二元函数有4个二阶偏导数，分别记为
x
z x
2z x2
x
z x
2z x2
或 fxx 、fxy 、f yx 、f yy
x
z y
2z yx
y
z y
2z y2
fxx (x, y) 和 f yy (x, y) 称为二阶纯偏导数， fxy (x, y) 和 f yx (x, y) 称为二阶混合偏导数。
MATLAB求解代码如下：
z xy ln x 。 y
>>syms x y >>f = x^y; >>dfx = diff(f,x) >>dfy = diff(f,y)
17
第、 二节 偏导数与全微分
、
3．高阶偏导数
对于二元函数 z f (x, y) 来说，如果它的一阶偏导数 fx (x, y) 、 f y (x, y) 仍是关于每个自变 量的函数，并且一阶偏导数对每个自变量的偏导数存在，则称这个二元函数具有二阶偏导数。
如果 f (x, y) 在区域 D 内的每一点都连续，则称 z f (x, y) 在区域 D 内连续。
如果函数 z f (x, y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 处不连续，则称点 P0 (x0 , y0 ) 为函数 f (x, y) 的不连续点或 间断点。
10
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
2z y 2
4x3
6xy
2 z (6x2 y2 y3 2 y) 12x2 y 3y2 2 xy y 2 z (4x3 y2 3xy2 2x) 12x2 y 3y2 2 yx x
19
第、 二节 偏导数与全微分
、
MATLAB求解代码如下：
>>syms x y >>z = 2*x^3*y^2-x*y^3-2*x*y+1 >>dz_dx2 = diff(z,x,2) >>dz_dy2 = diff(z,y,2) >>dz_dxdy = diff(diff(z,x),y) >>dz_dydx = diff(diff(z,y),x)
fz (x, y, z)
lim
z 0
f
(x,
y, z
z) z
f
(x, y, z)
15
第、 二节 偏导数与全微分
、
【例 7】求函数 z x2 2xy 5y2 在点 (1, 2) 处的偏导数。
解 （1）将 y 看成常量，求 z 对 x 的导数，得 z 2x 2y 。
x
（2）将 x 看成常量，求 z 对 y 的导数，得 z 2x 10y 。 y
、
【例6】求 lim arcsin x2 y2
(x, y)(0, 1 ) 2
解 函数 f (x, y) arcsin x2 y2 是多元初等函数，它的定义域为
D {(x, y) 0≤x2 y2≤1}
而点
0,
1 2
D
lim arcsin
(x, y)(0, 1 )
x2 y2 arcsin
lim
(x, y)(x0 , y0 )
f (x, y)
A
或
lim
xx0
y y0
f
(x, y)
A
7
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
二元函数的极限称为二重极限，二重极限的运算法则与一元函数的类似。
【例4】 求 lim sin(xy) (x, y)(0,2) x
解
sin(xy) lim (x, y)(0,2) x
求函数的二阶偏导数，并验证
2z x2
2z y2
0。
解 MATLAB求解代码如下：
程序运行结果为：
>>syms x y >>z = log(sqrt(x^2+y^2)) >>dz_dx2 = diff(diff(z,x),x) >>dz_dy2 = diff(diff(z,y),y) >>dz_dxdy = diff(diff(z,x),y) >>dz_dydx = diff(diff(z,y),x) >>a = simplify(dz_dx2+dz_dy2)
D {(r,h) | r＞0,h＞0} 。
二元以及二元以上的函数统称为多元函数。
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第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
2．二元函数的定义域 二元函数的定义域比较复杂，可以是坐标系中全部的区域，也可以是由曲线所围成的 部分区域。围成区域的曲线称为区域的边界。不包括边界的区域称为开区域，连同边 界在内的区域称为闭区域；开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界点。 如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一正常数 M ，则 D 称为有界区域， 否则称为无界区域。
、
【例 3】 求二元函数 z ln(x y) 的定义域 D 。 解 由对数函数性质可知 x 、 y 必须满足 x y＞0 。直线 x y 0 是它的边界，定义域 为不包括边界在内的开区域。
D {(x, y) | x y＞0}
二、多元函数的极限
定义 5.2 设二元函数 z f (x, y) ，如果当点 P(x, y) 以任意方式趋向于点 P0 (x0 , y0 ) 时，f (x, y) 总趋向于一个确定的常数 A ，则称 A 是二元函数 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限，记为
4
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
一、多元函数的概念 1．二元函数的定义
定义 5.1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于每个点 (x, y) D ，变量 z 按照一定的法 则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y 的二元函数，记为 z f (x, y) 。其中 x、y 称 为自变量， z 称为因变量，自变量 x、y 的取值范围 D 称为函数的定义域。 【例 1】设圆锥体的底面半径为 r ，高为 h ，则体积V 1 πr2h 。这是一个以 r 、h 为自变量，
f (x, 0) lim x0
x0 x2 02
0。
y0
但是当点 (x, y) 沿着直线 y x 趋向于点 (0,0) 时，即 y x 而 x 0 时，有
lim
x0
f (x, y)
lim
x0
xx x2 x2
1 2
。
yx
因此，当 (x, y) (0,0) 时， f (x, y) 的极限不存在。
dz_dx2 = 1/(x^2 + y^2) - (2*x^2)/(x^2 + y^2)^2
dz_dy2 = 1/(x^2 + y^2) - (2*y^2)/(x^2 + y^2)^2
dz_dxdy = -(2*x*y)/(x^2 + y^2)^2
【例 2】求二元函数 z a2 x2 y2 的定义域D。 解 由函数的要求可知，函数的定义域应满足 x2 y2≤a2 。圆内的所有点都满足不等 式，圆 x2 y2 a2 是定义域的边界。定义域为连同边界在内的闭区域。
D {(x, y) | x2 y2≤a2} 。
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第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
多元函数微积分
目录
1
多元函数的概念、极限与连续性
2
偏导数与全微分
3
多元复合函数与隐函数的偏导数
4
偏导数的应用
5
二重积分及其应用
2
1
多元函数的概念、极限与连续性
2
偏导数与全微分
3 多元复合函数与隐函数的偏导数
4
偏导数的应用
5
二重积分及其应用
3
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
引例 日常生活中，人们常常碰到如何分配定量的钱来购买两种物品的问题，由于钱的总 额固定，则如果购买其中一种物品较多，那么势必要少买（甚至不能再买）另一种物品， 这样就可能会令人不满意。如何花费定量的钱，才能实现最满意的效果呢
14
第、 二节 偏导数与全微分
、
如果函数 z f (x, y) 在区域 D 内每一点 (x, y) 处对 x（对 y ）的偏导数都存在，那么这个偏导数
仍是
x
、y
的函数，称为
z
f
(x,
y)
对
x（对
y
）的偏导函数，记作
z x
、f x
、zx
或
fx (x,
y)（
z y
、f y
、z y
或 f y (x, y) ），通常把偏导函数简称为偏导数。
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第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
三、多元函数的连续性
定义 5.3 设函数 z f (x, y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 的某个邻域 内有定义，如果
lim
x x0
f (x, y)
f (x0 , y0 )
，
y y0
则称二元函数 z f (x, y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 处连续。
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目录
1
多元函数的概念、极限与连续性
2
偏导数与全微分
3 多元复合函数与隐函数的偏导数
4
偏导数的应用
5
二重积分及其应用
13
第、 二节 偏导数与全微分
、
一、多元函数的偏导数
1．偏导数的定义
定义 5.4 设函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0) 的某一邻域内有定义，当 y 固定为 y0 ，而在 x0 处有增 量 x 时，相应地函数 z 有偏增量
18
第、 二节 偏导数与全微分
、
二阶和二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
【例 10】求函数 z 2x3 y2 xy3 2xy 1的所有二阶偏导数。
解 因为 z 6x2 y2 y3 2 y, z 4x3 y 3xy2 2x
x
y
二阶纯偏导数为
二阶混合偏导数为
2z x2
12xy2 ,
程序运行结果为：
dz_dx2 = 12*x*y^2
dz_dy2 = 4*x^3 - 6*y*x
dz_dxdy = 12*x^2*y - 3*y^2 - 2
dz_dydx = 12*x^2*y - 3*y^2–2
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第、 二节 偏导数与全微分
、
【例 11】 已知函数 z ln
x2
y2
，请利用
MATLAB
(
x,
lim
y)(0,2)
sin( xy xy
)
y
sin( xy )
lim
lim y 1 2 2
xy0 xy y2
在MATLAB中并没有直接求二重极限的函数，但可以通过计算累次极限来代替 计算二重极限。
MATLAB求解代码如下： >>syms x y >>z = sin(x*y)/x >>limit(limit(z,x,0),y,2)
二元函数的偏导数也可推广到三元及三元以上的函数。
例如，函数 u f (x, y, z) 在 (x, y, z) 处对 x, y, z 的偏导数分别为
f
x
(
x,
y,
z)limx0 Nhomakorabeaf (x x, y, z) x
f (x, y, z)
f
y
(
x,
y,
z
)
lim
y 0
f
(x, y y, z) y
f
(x, y, z)
经济学家试图借助“效用函数”来解决这一问题。所谓效用函数，就是用来表示消费 者在消费中所获得的效用与所消费的商品之间数量关系的函数。它被用以衡量消费者从消 费既定的商品组合中所获得满足的程度。如人们同时购买 x 单位、 y 单位时满意程度的函 数为：
U(x, y) xy ， 当 x 、 y 任取一组具体数值，根据效用函数可知，有唯一确定的函数值与之对应。当 效用函数的值达到最大值时，人们购物分配的方案最佳。
zx f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 ) ，
如果极限
lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
x0
x
存在，则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0) 处对 x 的偏导数，记为
z
x (x0 , y0 ) 或 f x (x0 , y0 ) 。
02
1 2
2
arcsin 1 2
π 6
2
11
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
性质5.1（最大值和最小值定理） 如果二元函数在有界闭区域D上连续，那么 在D上一定有最大值和最小值。 性质5.2（介值定理） 在有界闭区域上连续的二元函数必能取得介于它的 两个不同函数值之间的任何值至少一次。
8
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
【例
5】考察
f
(x,
y)
xy
x2
y2
,
x2 y2 0， 当 (x, y) (0,0) 时的极限是否存在。
0,
x2 y2 0
解 当点 (x, y) 沿 x 轴趋向于原点 (0,0) 时，即当 y 0 而 x 0 时，有
lim
x0
f (x, y) lim x0
z
故
21 2 2 6；
x (1,2)
z 2 1 10 2 22 。
y (1,2)
16
第、 二节 偏导数与全微分
、
【例8】
设
z x y ，求
z 、z x y
解 （1）求 z 对 x 的偏导数时，把 y 看成常量， x y 是幂函数，则有 z y xy1 。 x
（2）求 z 对 y 的偏导数时，把 x 看成常量， x y 是指数函数，则有
按照对变量的不同求导次序，一个二元函数有4个二阶偏导数，分别记为
x
z x
2z x2
x
z x
2z x2
或 fxx 、fxy 、f yx 、f yy
x
z y
2z yx
y
z y
2z y2
fxx (x, y) 和 f yy (x, y) 称为二阶纯偏导数， fxy (x, y) 和 f yx (x, y) 称为二阶混合偏导数。
MATLAB求解代码如下：
z xy ln x 。 y
>>syms x y >>f = x^y; >>dfx = diff(f,x) >>dfy = diff(f,y)
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第、 二节 偏导数与全微分
、
3．高阶偏导数
对于二元函数 z f (x, y) 来说，如果它的一阶偏导数 fx (x, y) 、 f y (x, y) 仍是关于每个自变 量的函数，并且一阶偏导数对每个自变量的偏导数存在，则称这个二元函数具有二阶偏导数。
如果 f (x, y) 在区域 D 内的每一点都连续，则称 z f (x, y) 在区域 D 内连续。
如果函数 z f (x, y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 处不连续，则称点 P0 (x0 , y0 ) 为函数 f (x, y) 的不连续点或 间断点。
10
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
2z y 2
4x3
6xy
2 z (6x2 y2 y3 2 y) 12x2 y 3y2 2 xy y 2 z (4x3 y2 3xy2 2x) 12x2 y 3y2 2 yx x
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第、 二节 偏导数与全微分
、
MATLAB求解代码如下：
>>syms x y >>z = 2*x^3*y^2-x*y^3-2*x*y+1 >>dz_dx2 = diff(z,x,2) >>dz_dy2 = diff(z,y,2) >>dz_dxdy = diff(diff(z,x),y) >>dz_dydx = diff(diff(z,y),x)
fz (x, y, z)
lim
z 0
f
(x,
y, z
z) z
f
(x, y, z)
15
第、 二节 偏导数与全微分
、
【例 7】求函数 z x2 2xy 5y2 在点 (1, 2) 处的偏导数。
解 （1）将 y 看成常量，求 z 对 x 的导数，得 z 2x 2y 。
x
（2）将 x 看成常量，求 z 对 y 的导数，得 z 2x 10y 。 y
、
【例6】求 lim arcsin x2 y2
(x, y)(0, 1 ) 2
解 函数 f (x, y) arcsin x2 y2 是多元初等函数，它的定义域为
D {(x, y) 0≤x2 y2≤1}
而点
0,
1 2
D
lim arcsin
(x, y)(0, 1 )
x2 y2 arcsin
lim
(x, y)(x0 , y0 )
f (x, y)
A
或
lim
xx0
y y0
f
(x, y)
A
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第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
二元函数的极限称为二重极限，二重极限的运算法则与一元函数的类似。
【例4】 求 lim sin(xy) (x, y)(0,2) x
解
sin(xy) lim (x, y)(0,2) x
求函数的二阶偏导数，并验证
2z x2
2z y2
0。
解 MATLAB求解代码如下：
程序运行结果为：
>>syms x y >>z = log(sqrt(x^2+y^2)) >>dz_dx2 = diff(diff(z,x),x) >>dz_dy2 = diff(diff(z,y),y) >>dz_dxdy = diff(diff(z,x),y) >>dz_dydx = diff(diff(z,y),x) >>a = simplify(dz_dx2+dz_dy2)