14.3.4分组分解法因式分解

学科综合应用
2、分组分解法在分组时经常用 到加法的交换律和结合律,同时 一定要注意各项的符号。
1、分组分解法的关键是分组要适 当;
1、分组后能提取公因式 (1)可按相同的系数或相 同的系 数比进行分组。如：
2ax＋3ay＋3by＋2bx ＝(2ax+2bx)+(3ay+3by)
（2）可以根据字母的次数 分组。如： 3 2 3 2 x ＋x ＋x－y －y －y 3 3 2 2 ＝(x －y )+(x －y )+(x－y)
2、分组后能运用公式，如：
2 2 a －2a－b ＋1
2 2 ＝（a －2a＋1）－b
3、打散原有的组合，重新 分组，如： 2 4x +3y-x(3y+4) 2 =4x +3y-3xy-4x 2 =(4x -4x)+(3y-3xy)
练习、分解因式：
2 1、7x －3y＋xy－21x 3 2 2 2、a －abc＋a b－a c
学科综合应用
2、已知a,b,c是△ABC的三边长， （1）当b2+2ab=c2+2ac时，试判断△ABC的形状； （2）试判断多项式a2-b2+c2-2ac的值与0的大小关 系，并说明理由. 2-b2+c2-2ac<0 a 解(2) 而a,b,c是△ABC的三边 因为a2-b2+c2-2ac 所以a+b>c，b+c>a = (a2-2ac+c2)-b2
= (a-b+c)(x-2y)
(6) x2-x2y+xy2-x+y-y2
解：原式 = (x2-y2)-(x2y-xy2)-(x-y) = (x-y)(x+y)-xy(x-y)-(x-y) = (x-y)(x+y-xy-1) = (x-y)[(x-xy)+(y-1)] = (x-y)[x(1-y)-(1-y)] = (x-y)(1-y)(x-1)
解原式 = mx(x + 1) - n(x + 1) = (x + 1)(mx - n)
因式分解
• 练习3: mx + mx2 - n - nx
解原式 = mx(x + 1) - n(x + 1) = (x + 1)(mx - n)
解原式 = (mx - n) + x(mx - n)
= (mx - n)(x + 1)
= (a-c)2-b2
所以(a+b)-c>0,a-(b+c)<0
=[(a-c)+b][(a-c)-b] 即， a2-b2+c2-2ac<0 =(a+b-c)(a-c-b) =[(a+b)-c][a-(b+c)]
所以[(a+b)-c][a-(b+c)]<0
3、已知：a,b,c为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边 且满足条件a2-4bc-ab+4ac=0， 求证：△ABC为等腰三角形. 证明：a2-4bc-ab+4bc =(a2-ab)+(-4bc+4ac) =a(a-b)+4c(a-b) =(a-b)(a+4c) =0 ∵a>0, c>o, ∴a+4c>0， ∴a-b=0 即a=b， 所以△ABC为等腰三角形.
例２ 把2ax-10ay+5by-bx分解因式
成两组，然后从两组分别提出公因式
2a与-b，这时，另一个因式正好都是
分析：把这个多项式的前两项与后两项分
x-5y，这样全式就可以提出公因式x-5y。
还有其他分组 的方法吗？
解： 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(5by-bx)
解法二：
• 练习2: ab + ac + 2a + bx + cx + 2x
解原式 = a(b + c + 2) + x(b + c + 2)
= (b + c + 2)(a + x)
解原式 = b(a + x) + c(a + x) + 2(a + x)
= (a + x)(b + c + 2)
因式分解
• 练习3: mx + mx2 - n - nx
因式分解
• 练习4: ab + a + b + 1
解原式 = a(b + 1) + (b + 1) = (b + 1)(a + 1)
因式分解
• 练习4: ab + a + b + 1
解原式 = a(b + 1) + (b + 1) = (b + 1)(a + 1) 解原式 = b(a + 1) + (a + 1) = (a + 1)(b + 1)
• 2、(ad+bc)(ac+bd) 2 2 • 3、(x +1)(x+1)
作业：分解因式
2 2 2 2 1、x y －x －y ＋1 2 2 2、x －y －x＋1／4 2 2 2 2 2 3、1－x y ＋2x yz－x z
因式分解
将下列各式用分组分解法因式分解
练习1: ax + bx + cx + ay + by + cy • 练习1: ax + bx + cx + ay + by + cy
=a(a+b)(a-c)
2 2 3、a －4a＋4－b 2 2 =(a-2) -b
=(a+b-2)(a-b-2)
练习：分解因式：
3 2 2 3 1、x －x y－xy ＋y 2 2 2 2 2、ab(c +d )+cd(a +b )
4 3 2 3、x ＋2x ＋2x ＋2x＋1
你做对了吗？
2 • 1、(x+y)(x-y)
解原式 = x(a + b + c) + y(a + b + c)
= (a + b + c)(x + y)
因式分解
• 将下列各式用分组分解法因式分解
• 练习1: ax + bx + cx + ay + by + cy = (a + b + c)(x + y)
解原式 = x(a + b + c) + y(a + b + c)
注意：如果把一个多项式的项分组并提 出公因式后，它们的另一个因式正好相 同，那么这个多项式就可以用分组分解 法来分解因式。
am+an+bm+bn
一、分组后能直接提取公因式
例１ 把 a2-ab+ac-bc 分解因式
分析：把这个多项式的前两项与后两项分成 两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式 正好都是a-b，这样就可以提出公因式a-b 。
=m(a+b-c)+n(a+b-c)
=(a+b-c)(m+n)
解法二：
am+bm+an－cm+bn－cn
=(am+an)+(bm+bn)－(cm+cn) =a(m+n)+b(m+n)－c(m+n) =(m+n)(a+b－c)
分组规律：
在有公因式的前提下，按对应项系数成 比例分组，或按对应项的次数成比例分组。
2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(-bx +5by） =(2ax-bx)+(5by-10ay) = ( 2ax-bx ) + ( -10ay +5by ） =2a(x-5y)-b(x- 5y) =x ( 2a-b ) -5y ( 2a-b ) =(x-5y)(2a-b)
= (2a-b)(x-5y)
应如何分组？ 要保证分组 能再分解.
二、分组后能直接运用公式
例5：把x y ax ay分解因式。
2 2
解：原式 ( x y ) (ax ay) ( x y)(x y) a( x y) ( x y)(x y a)
2 2
二、分组后能直接运用公式
解原式 = a(x + y) + b(x + y) + c(x + y) = (x + y)(a + b + c)
因式分解
• 练习2: ab + ac + 2a + bx + cx + 2x
解原式 = a(b + c + 2) + x(b + c + 2)
= (b + c + 2)(a + x)
因式分解
14.3.4 因式分解
——分组分解法
知识回顾
1. 什么叫做因式分解？
把一个多项式化成几个整式的积的形 式，这种式子变形叫做把这个多项式因式 分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2、已经学过那些分解因式的方法？ 提公因式法；十字相乘法; 公式法：平方差公式，完全平方公式。
新知学习
(a+b)(m+n) 整 因 =a(m+n)+b(m+n) 式 =a(m+n)+b(m+n) 式 分 =am+an+bm+bn 乘 =(a+b)(m+n) 法 解 定义： 这种把多项式分成几组来分解因式的方 法叫分组分解法。