4电势叠加原理电势梯度

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9.5.3 点电荷的电势 电势的叠加原理
第９章 电荷与真空中的电场
1. 点电荷的电势
Or
E
q
P
qr
E
4 π 0r3
令
U 0
沿径向积分
U
U
E
dl
P
qdr
r 4 π0r2
1 r
q
4 π 0r
O
r
2. 叠加法
(1) 点电荷系
q2 Qq1 r2
q3 r3
r1
P
U P P E dr
2. 利用电势叠加原理
Up
Qi
i 4 0ri dQ
Q 4 0r
点电荷系 连续带电体
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例体9, -带10电. 半R量Eo径为为qqr.R求的P其S均电匀E势带分电布球.E律1 选得4择πSqEEr同10R d43心Sπr球r2 E面R1为04π4高r第πE2qR９2斯3章面341电0π4,荷qπ3由0与rr23q真高内空r斯中的定R电场
第９章 电荷与真空中的电场
3. 静电力做的功
1. 电势(electric potential)
U p
Wp qo
零势点 E dl
p
点电荷q在静电场中从a沿任意
路径到b过程中静电力做的功：
B
AAB
qE dl
A
q(U A U B )
单位: 伏特(V) 静电场中某点电势等于单位正
讨论： 1. U 为空间标量函数;
2πa
dq
qdl
在该点空间变化率的最大 值; 方向沿电势降落, 指向
dU
4πor 8π2 oar
即电势减E 小 最adU的方向U.
q
U dU 8 π2 oar L dl
q
q
例9-12. 均匀带电圆环，带电量
4πor 4π0 x2 a2
为q,半径为a, 求轴线上任意一点 的P电势和电场强度.
E cos
El
dU dl
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dU
dq
第９章 电荷与真空中的电场
dU dn
en
En dn en
称电势梯度矢量，记为
a
r Px
x
矢量式: grad U或 U
gradU
U
U
i
U
j
U
k
解：在圆环上取点电荷dq, 令U 0
x y z
dq dl q dl
结论：电场强度的大小等于电势
静电场中A、B两点的电势能:
WA 、 WB 保守力做功等于势能的减小:
B AAB q0 E dl WA WB
A
• Wp: 静电场与场中电荷q0共同 拥有.
• Wp /q0 : 取决于电场分布. 场点 位置和零势点选取与试验电荷
q0无关, 只描述静电场自身的 特性.
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9.5.2 电势和电势差
dU E Ex dx
qx
4 π0(x2 a2)3 2
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第９章 电荷与真空中的电场
作业
习题集：658、59、60、61、63、 65、68、71、72、 77、 79、85、88、89
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的电场.
高斯面:取长 L 的圆柱面, 加上
底、下底构成高斯面S .
L
dq O dq
S
r
P
dE '
dE dE'
dE
S E dS 上 E dS 下 E dS 侧 E dS
= =
0
0
侧 Ecos0dS E 2πrL
对称性分析：
P点处合场强垂直于带电 直线, 与P 点情况相同的点的 集合是一个以带电直线为轴 的圆柱面.
x a:
a
0
U x Edx a Edx
解：电场分布
E 0 0
(a x a) (x a , x a)
a
0 ( )(a)
0
0
U ~ x 曲线如图.
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9.6 电场强度和电势的关系
9.6.1 等势面(equipotential surface)
——电势的几何描述
第９章 电荷与真空中的电场
位置有关, 而与所通过的路径无关
说明 —— 静电力是保守力.
q0qdr
4 π0r2
q0Edr
∵ A F dl q0E dl 0
L
L
A L dA
rb ra
4
q0q
π0r2
dr
q0q
4π0
(
1 ra
1 )
rb
∴ E dl 0 L
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LE dl 0
静电场环路定理: 静电场强沿任意闭合路径的线
o
U
q 4π0R
o
1 r2
R
r
1 r
Rr
R
r R : U1 E dl E1dr E2dr
r
r
R
R
qr
dr
q
dr
r 4 π0R3
R 4π0r2
q(3R2 r2 )
8 π 0 R3
解:由电荷分布可知, 电场 沿径向.
r R: U2
E2dr
r
q
q
dr
r 4π0r2
4 π 0r
例9-7. 求均匀带电球体(q、R)的
电场分布.
S
qR
rP E
o
解：对称性分析
作以O为中心, r为半径的球
形面S, S 面上各点 E 彼此等价,
方向沿 径向. 以S为高斯面:
SE dS S E cos dS
E dS E 4πr2
S
E dS E 4πr 2
S
1
0
n
qi内
i 1
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例9-11. 求无限大均匀带电平面
()场中电势分布.
第９章 电荷与真空中的电场
因为电荷无限分布, 故在有限 远处选零势点. 令O点电势为零. 沿x轴方向积分：
a O a
U
a
0
x
x a : U x
Edx Edx a
0
(
0
)a
a 0
a xa:
U
0
Edx
(
)( x)
x
x
0
0
a o a x
由高斯定理
E
2
π
rL
1
0
q内
L 0
E
E
2 π 0r
O
r
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例9-9.求无限大均匀带电平面的电场
(电荷面密度).
dE
dE
第９章 电荷与真空中的电场
S
P
O
P
dE
dE
σ
根据高斯定理
对称性分析： E 方向垂直于带电平面, 离带电
平面距离相等的场点彼此等价. 选
择圆柱体表面为 高斯面 , 如 图:
P2
P1
E
dl
UP1
U P2
等势
=0
(2) 电场线指向电势降落的方向
电场中电势相等的点组成的面 叫做等势面.
规定相邻等势 面之间的电
势差相等.
Uab Ubc Ucd
2. 电场线与等势面的关系 (1) 电场线处处垂直于等势面在 等势面上任取两点P1、P2 , 则
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(2) 电场线指向电势降落的方向
第９章 电荷与真空中的电场
9.6.2 电场强度与电势的关系 如图, 电势分别为U 和U+dU 的
邻近等势面，
en
a b dl
E
U U+dU
en为等势面法向且指向电势升
高的方向, 如有正的试验电荷从a
点移到b点, 则电场力做功:
dAab q0U U dU q0E dl
dU E cos dl
例9-6. 求电量为Q 、半径为R的 均匀带电球面的场强分布.
E
选高斯面 dS E
r
E
R E
E
r
OR
第９章 电荷与真空中的电场
源球对称
场球对称
Φe
E dS
S
0 (r R) Q (r R) 0
E dS E 4πr2 S
0
(r R)
E
Q
4π0r2
(r R)
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电荷在该点具有的电势能, 或将 2. U 具有相对意义, 取值与零势
单位正电荷由该点移至零势点过 点选取有关, 但Uab与零势点选
程中静电力所做的功.
取无关.
2. 电势差(electric potential difference)
B
U AB U A U B
E dl
A
3. 电势遵从叠加原理: 点电荷系 电场中任一点的电势等于各点 电荷单独存在时在该点产生电 势的代数和.
积分为零. 结论: 静电场是有势场.
9.5 电势
第９章 电荷与真空中的电场
势能具有相对性, 若令 WB 0
零势点 得 WA q0 E dl
A
约定: 一般选取无穷远处电势能
为零, W 0
WP q0 E dl
P
9.5.1 电势能(electric potential energy) 电势能的单位: 焦耳(J)
dl
rb
静电力做功只与试验电荷初末位 置有关, 与所通过的路径无关.
此结论可通过叠加原理推广到任 意点电荷系的电场.
9.4.2 环路定理 (circuital theorem of electrostatic field)
dA F dl
b
q0qr dl
4π 0r 3
静电力做功只与试验电荷初末
9.5.4 电势的计算(两种基本方法) 1. 场强积分法(定义)
(1) 首先确定 E 分布;
第９章 电荷与真空中的电场
(2) 选零势点和便于计算的积分 路径;
常选无穷远或地球电 势为零.电势差与电势 的零点选取无关.
(3) 由电势定义计算
零势点 零势点
Up E dl E cos dl
p
p
E dS E dS E dS E dS
S
左
右
侧
2E S
1
0
q内
S
0
得 E 2 0
均匀电场其方向由σ的符号
2E S
=
决定
0
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第９章 电荷与真空中的电场
§9.4 静电力的功 真空中静电场的环路定理
9.4.1 静电力的功
F q0E
ra
a
r
L q0
E
q
r
P E1 dr
P
E2
dr
P En dr
U41QU10r21 4QU20rn2
U
Qi
i 4 0ri
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(2) 连续带电体
Q
P r
dq
① 将带电体划分为若干电荷元 dq ;
② 选零势点, 写出任意dq在场点 的电势dU ;
③ 由叠加原理得 U Ui 或 U dU
第９章 电荷与真空中的电场
E
q内
4π 0 r 2
r R : q内 q
q
E外 4 π 0r 2
r R:
q内
q 4 πr3 4 π R3 3
3
qr
E内 4 π 0 R3
令 q
4 πR3 3
E内 3 0 r
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例9-8. 求无限长均匀带电直线()
第９章 电荷与真空中的电场