3 例析利用待定系数法解题题型 高中常用数学方法的介绍 例析 体验 练习

【学生版】
例析利用待定系数法解题题型
待定系数法的实质是方程的思想，这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中，从而通过解方程（或方程组）求得未知数。

所谓待定系数法：就是要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法。

其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f (x)g(x)=的充要条件是：对于一个任意的x 值，都有f (x)g(x)=；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。

使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。

例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：
第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决；
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：
①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利 用几何条件列方程。

比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。

一、利用待定系数法解决函数问题
中学里的初等函数，一般都有特定的解析式与相应的限制条件，所以待定系数法往往是解决函数问题的有效方法。

例1、求一次函数y f (x)=，使得f{f[f (x)]}8x 7=+。

【提示】 【解析】 【评注】
例2、二次函数2
y x bx c =++的图像沿着x 轴向左平移2个单位，再沿着y 轴向上平移3个单位，最后得到的二次函数解析式为2
y x 2x 1=-+，试求出其中b 和c 的值。

【提示】 【解析】 【评注】
二、利用待定系数法解决方程问题
中学里的方程，一般有代数中的一元一次、一元二次方程以及解析几何中的标准方程，都有特定的方程形式，所以待定系数法往往可以用于是解决方程问题的。

例3、一元二次不等式2ax bx 20++>的解集是11
(,)23
-，则a b +的值是（ ）。

A ．10 B ．10- C ．14 D ．14-
例4、已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1F (3,0)-，一条渐近线的方程是5x 2y 0-=，求：双曲线C 的方程。

例5、设椭圆中心在原点，以坐标轴为对称轴，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是105-，求椭圆的方程。

三、利用待定系数法解决复数问题
由于，复数的代数表示为：z a bi(a ,b R)=+∈，所以利用待定系数法结合复数相等的概念解决复数问题，也是一种最基本的方法。

例6、复数z 满足(z i)i 2i -=+，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i - C ．13i -+ D ．12i -
例7、若方程0)m i 2(x )i 2m (x 2
=++++至少有一个实根，试求：实数m 的值。

四、利用待定系数法解决数列问题
由于，等差、等比数列的定义、递推关系、通项公式都是明确的，同时，等差、等比数列的通项公式的推导，又渗透了数列通项公式的推导思路，所以，利用待定系数法往往可以为求数列通项公式，提供新思路。

例8、在数列{}n a 中，若1n 1n a 1,a 2a 3(n 1)+==+≥，则该数列的通项n a =________________
例9、设p q ，为实数，αβ，
是方程2x px q 0-+=的两个实根，数列n {x }满足1x p =，22x p q =-，n n 1n 2x px qx --=-（n 34=，，
…）， （1）证明：p α+β=，q αβ=；（2）求数列n {x }的通项公式；（3）若p 1=，1
q 4
=，求n {x }的前n 项和n S 。

五、利用待定系数法解决综合问题
例10、是否存在常数a ,b ,c , 使233
312n an bn c
()()()n n
n n
++++
+=对一切n N*∈都成立? 若存在，请求出a ,b ,c 的值；若不存在， 请说明理由。

练习
1、若函数y kx b =+的图象经过点P(3,2)-和Q(1,2)-，则这个函数的解析式为（ ） A ．y x 1=- B ．y x 1=+ C ．y x 1=-- D ．y x 1=-+
2、已知二次函数经过(－1,0)，(1,0)，(2,3)点，则这个函数的解析式为( )． A ．y ＝x 2－1 B ．y ＝1－x 2 C ．y ＝
12x 2＋1 D ．y ＝1
2
x 2－1 3、若
23x 1A B
x 1x 1x 1
+=+
--+，则A = 4、与双曲线14
y x 2
2
=-有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。

5、若复数z 满足：3i
z z (z z)i 2i
-⋅++=
+，则z =＿＿＿＿＿. 6、定义在[6,6]-上的奇函数f (x)，在[0,3]上为一次函数，在[3,6]上为二次函数，且x [3,6]∈时，
f (x)f (5)3≤=，f (6)2=，求f (x)。

7、设f (x)是一次函数，且其在定义域内是增函数，又11
f [f (x)]4x 12--=-，试求f (x)的表达式。

8、已知二次函数y ＝x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3，其中m 为实数． (1)求证：不论m 取何实数，这个二次函数的图象与x 轴必有两个交点； (2)设这个二次函数的图象与x 轴交于点A (x 1,0)、B (x 2,0)，且x 1、x 2的倒数和为
2
3
，求这个函数的解析式．
【教师版】
例析利用待定系数法解题题型
待定系数法的实质是方程的思想，这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中，从而通过解方程（或方程组）求得未知数。

所谓待定系数法：就是要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法。

其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f (x)g(x)=的充要条件是：对于一个任意的x 值，都有f (x)g(x)=；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。

使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。

例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：
第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决；
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：
①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利 用几何条件列方程。

比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。

一、利用待定系数法解决函数问题
中学里的初等函数，一般都有特定的解析式与相应的限制条件，所以待定系数法往往是解决函数问题的有效方法。

例1、求一次函数y f (x)=，使得f{f[f (x)]}8x 7=+。

【提示】根据已知条件我们可以设出一次函数的解析式，然后根据已知中告诉的等式，列出一个关于系数a ，b 的等式，再根据等式两边对应项的系数相等可以列出方程组，解之即可得到答案；
【解析】由题意：设f (x)ax b(a 0)=+≠，则有：2
f[f (x)]a(ax b)b a x ab b =++=++， 所以2
3
2
f{f[f (x)]}a(a x ab b)b a x a b ab b
=+++=+++
从而有：232
f{f[f (x)]}a(a x ab b)b a x a b ab b 8x 7
=+++=+++=+
由待定系数法，得：32a 8
a b ab b 7
⎧=⎪⎨++=⎪⎩，解之得：a 2,b 1==
综上，所求一次函数的解析式为：()f x 2x 1=+；
【评注】本题就是根据一次函数的解析式的确定性，利用待定系数法待定系数法解之。

例2、二次函数2
y x bx c =++的图像沿着x 轴向左平移2个单位，再沿着y 轴向上平移3个单位，最后得到的二次函数解析式为2y x 2x 1=-+，试求出其中b 和c 的值。

【提示】注意：二次函数的图像平移后，图像特征与解析式形式不变； 【解析】由已知得：将二次函数2
y x bx c =++按照已知条件平移后的式子为：
2y (x 2)b(x 2)c 3=+++++，所以2y x (b 4)x 2b c 7=+++++，
将上式和已知中的二次函数解析式为2
y x 2x 1=-+对比，按照待定系数法定义得：
2
x (b 4)x 2b c 7+++++2
x 2x 1=-+，从而有：b 422b c 71+=-⎧⎨
++=⎩，解之得：b 6
c 6=-⎧⎨=-⎩
； 【评注】由已知条件，先将二次函数2
y x bx c =++的图象平移后的函数解析式求出来，得 到的这个含有待定参数b 和c 的式子后，将其整理成标准的二次函数的形式，再将所得到的 这个二次函数形式和已知中的二次函数解析式为2
y x 2x 1=-+进行对比，其对应项的系数 应该相等，从而得到一个关于b 和c 的方程组，我们再去解这个方程组，最终即可得答案。

二、利用待定系数法解决方程问题
中学里的方程，一般有代数中的一元一次、一元二次方程以及解析几何中的标准方程，都有特定的方程形式，所以待定系数法往往可以用于是解决方程问题的。

例3、一元二次不等式2
ax bx 20++>的解集是11
(,)23
-，则a b +的值是（ ）。

A ．10 B ．10- C ．14 D ．14- 【提示】注意理解一元二次不等式的求解过程； 【解析】由不等式解集11(,)23-
，可知12-、1
3
是方程2ax bx 20++=的两根，代入两根，列出关于系数a 、b 的方程组，易得b
11a 23
211
()a
23⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，解得a 12b 2=-⎧⎨=-⎩，所以，答案选D ；
【评注】本题就是根据已知一元二次方程的根，利用待定系数法结合根与系数关系解之。

例4、已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1F (3,0)-，一条渐近线的方程是5x 2y 0-=，求：双曲线C 的方程。

【提示】注意：圆锥曲线类型确定但方程形式待定；
【解析】由题意，设双曲线C 的方程为：22
22x y 1a b
-=（a 0>，b 0>），
由题设得22a b 9b 5a
2⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ，解得2
2
a 4
b 5
⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线C 的方程为22x y 145-=； 【评注】求圆锥曲线方程的常用方法主要有两种：一是定义法；二是待定系数法。

待定系数法的实质是方程思想的体现，即在确定了圆锥曲线类型的前提下设出方程，利用题中的条件将待定量与已知量统一在方程关系中求解。

其整个思维过程可概括为三步（1）先定性（何种圆锥曲线）；(2)后定形（哪种形式的方程）；（3）再定参（建立方程解）。

例5、设椭圆中心在原点，以坐标轴为对称轴，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是105-，求椭圆的方程。

【提示】由题意，设椭圆的标准方程，根据所给条件，确定几何数据a ，b ，c 之值，问题就全部解决了。

设a ，
b ，
c 后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a c -的值
后列出第二个方程；
【解析】设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则11|B F |a =，
由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++=5
10c a )b 2(a a c b a 2
222
22 解得：⎪⎩
⎪⎨⎧==5b 10a ，则，所求椭圆方程是： 15y 10x 22=+，
也可有垂直关系推证出等腰Rt △121B B F 后，由其性质推证出等腰Rt △11B OF ，再进行如下列式：
⎪⎩
⎪
⎨⎧+=-=-=222c b a 510c a c b ，更容易求出a ，b 的值； 【评注】圆锥曲线中，参数（a ，b ，c 、p ）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。

在曲线的平移中，几何数据（a ，b ，c 、p ）不变，本题就利用了这一特征，列出关于a c -的等式；
一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。

通过以上的分析我们不难得出，待定系数法求曲线方程可总结如下四步：（1）弄清题中出现的圆锥曲线的基本量（如半长轴，半焦距、离心率等）；（2）根据条件确定需待定的系数并设出方程；（3）列方程（或方程组）并解之；（4）检验方程可能存在的不同形式。

三、利用待定系数法解决复数问题
由于，复数的代数表示为：z a bi(a ,b R)=+∈，所以利用待定系数法结合复数相等的概念解决复数问题，也是一种最基本的方法。

例6、复数z 满足(z i)i 2i -=+，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i - C ．13i -+
D ．12i -
【提示】解答本题可以利用待定系数法，即先把复数z 用实数a ，b 用复数的形式表示出来，利用复数相等求出
a ，
b 的值，这是解决复数问题的一种思想方法；
【解析】设z a bi(a ,b R)=+∈，则(z i)i b 1ai 2i -=-++=+，
由复数相等的概念可知，b 12-+=，a 1=，所以a 1=，b 1=-，故答案为B ；
【评注】本题在明确复数相等的充要条件为实部与实部、虚部与虚部分别相等，这是将复数问题转化为实数问题的依据，然后．结合利用待定系数法即可解之。

例7、若方程0)m i 2(x )i 2m (x 2
=++++至少有一个实根，试求：实数m 的值。

【提示】注意利用复数相等的充要条件。

【解析】设方程的实根为0x ，代入方程得：0)mi 2(x )i 2m (x 02
0=++++；
则，利用复数相等的充要条件，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=++0m x 20
2mx x 0
02
0，
解得：2x 0±=，所以，解得：22m ±=。

【评注】理解方程的解、复数相等的充要条件；注意利用定义找隐含条件。

四、利用待定系数法解决数列问题
由于，等差、等比数列的定义、递推关系、通项公式都是明确的，同时，等差、等比数列的通项公式的推导，又渗透了数列通项公式的推导思路，所以，利用待定系数法往往可以为求数列通项公式，提供新思路。

例8、在数列{}n a 中，若1n 1n a 1,a 2a 3(n 1)+==+≥，则该数列的通项n a =________________ 【提示】注意利用待定系数法作等价变形；
【解析】由1n 1n a 1,a 2a 3(n 1)+==+≥，得n n 1a 2a 3(n 2)-=+≥，设n n 1a t 2(a t)--=-，
即n n 1a 2a t -=-，比较系数，得t 3=-，所以n n 1a 32(a 3)-+=+，
因此数列n {a 3}+是以2为公比的等比数列，所以，n 1n 1n 1a 3(a 3)22-++=+⋅=，即n 1
n a 23+=-；
【评注】解决本题的关键在于，怎样通过递推关系式与待定系数法的结合，将数列通项公式的求解转化为求特殊的等差、等比数列的通项公式。

例9、设p q ，为实数，αβ，
是方程2x px q 0-+=的两个实根，数列n {x }满足1x p =，22x p q =-，n n 1n 2x px qx --=-（n 34=，，
…）， （1）证明：p α+β=，q αβ=；（2）求数列n {x }的通项公式；（3）若p 1=，1
q 4
=，求n {x }的前n 项和n S 。

【提示】（1）设α<β，由根与系数关系可证得答案；（2）利用待定系数法，
设n n 1n 1n 2x sx t(x sx )----=-，由题意得s t p
st q
+=⎧⎨=⎩，由此解得1s =α，2s =β，由此可以推导出n {x }的通项
公式；（3）把p 1=，1q 4=
代入2
x px q 0-+=，解得12
α=β=，即可； 【解析】（1）由求根公式，不妨设α<β，则2p p 4q --α=2p p 4q
+-β=，
22p p 4q p p 4q p --+-α+β==，22p p 4q p p 4q
q --+-αβ==；
（2）设n n 1n 1n 2x sx t(x sx )----=-，则n n 1n 2x (s t)x stx --=+-，由n n 1n 2x px qx --=-， 得s t p st q
+=⎧⎨
=⎩，消去t ，得2
s ps q 0-+=，
所以，s 是方程2
x px q 0-+=的根，由题意得1s =α，2s =β，
①当α≠β时，此时方程组s t p
st q +=⎧⎨=⎩
的解记为1212s s t t =α=α⎧⎧⎨⎨=β=β⎩⎩或， 所以，n n 1n 1n 2x x (x x ),----α=β-αn n 1n 1n 2x x (x x ),----β=α-β 即{}n 1n 1x t x --、{}n 2n 1x t x --分别是公比为1s =α、2s =β的等比数列，
由等比数列性质可得n 2n n 121x x (x x )---α=-αβ,n 2
n n 121x x (x x )---β=-βα, 两式相减，得n 2n 2
n 12121()x (x x )(x x )---β-α=-αβ--βα， 因为221x p q,x p =-=，所以22
2x =α+β+αβ，1x =α+β，
所以n 2
2n 2n 21(x x )---αβ
=β⋅β=β，n 22n 2n 21(x x )---βα=α⋅α=α， 所以n
n
n 1()x -β-α=β-α，即n n n 1x -β-α=β-α，也就是n 1n 1
n x ++β-α=β-α
；
②当α=β时，即方程2x px q 0-+=有重根，所以，2
p 4q 0-=， 即2
(s t)4st 0+-=，得2
(s t)0s t -=⇒=，不妨设s t ==α，由①可知
n 2n n 121x x (x x )---α=-αβ，所以α=β，即n 2n n n 121x x (x x )---α=-αα=α，
即n n n 1x x -=α+α，等式两边同时除以n
α，得
n n 1n n 1x x 1--=+αα，即n n 1
n
n 1x x 1---=αα
， 所以，数列n n x {}α是以1为公差的等差数列，所以，n 1n x x 2(n 1)1n 1n 1α
=+-⨯=+-=+ααα
所以，n n
n x n =α+α，综上所述，n 1n 1
n n n ,()x n ,()++⎧β-αα≠β⎪=β-α⎨⎪α+αα=β⎩
；
（3）把p 1=，1q 4=
代入2x px q 0-+=，得2
1x x 04-+=，解得12α=β=， 所以n n
n 11x n ()()22
=⋅+，
23n 23n n 1
1111111S ()()()...()()2()3()...n ()22222222⎛⎫⎛⎫=++++++⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
n 23n 11
1111()()2()3()...n ()22
222⎛⎫=-++⋅+⋅++⋅ ⎪⎝⎭
n n 1n n 1111
1()2()n()3(n 3)()2222
-=-+--=-+；
【评注】利用待定系数法可以解决由“线性递推关系式”求通项公式。

不仅如此，有些“非线性递归关系式”求通项公式的问题也可以利用待定系数法加以解决。

五、利用待定系数法解决综合问题
例10、是否存在常数a ,b ,c , 使233
312n an bn c
()()()n n
n n
++++
+=对一切n N*∈都成立? 若存在，请求出a ,b ,c 的值；若不存在， 请说明理由。

【提示】不妨可以考虑用待定系数法解之；
【解析】方法一、若存在这样的常数a ,b ,c , 则可先分别另n 1,2,3=时, 得到一个三元一次方程组:
a b c 14a 2b c 9
289a 3b c 4
33⎧
⎪++=⎪
++⎪=⎨
⎪
++⎪=⎪⎩
, 解此方程组得 1a 41b 21c 4⎧
=⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪=⎪⎩
.
假设233
312n n 2n c
()()()n n
n 4n
++++
+=, 然后可用数学归纳法证明其对一切N n ∈都成立(略). 方法二、利用数列求和公式 n
k 1
n(n 1)
k 2=+=∑,
n
2k 1
n(n 1)(2n 1)
k 6
=++=
∑以及可推导得到的
n
3
2
k 1
n(n 1)k []2=+=∑, 可得原等式左边222333
3
311n (n 1)n 2n 1
(12n )n n 44n
+++=++=⨯=，
与原等式右边2an bn c n ++=比较系数，可知应存在常数111
a ,
b ,
c 424
===，使上述等式对一切n N*∈都
成立；
【评注】利用多项式恒等的理论（虽然在教材中未正式系统地介绍证明），当利用待定系数法可以有效地解决；本题的两种解法也都与待定系数法有关，一是从特殊值出发, 一是直接利用已知恒等式。

练习
1、若函数y kx b =+的图象经过点P(3,2)-和Q(1,2)-，则这个函数的解析式为（ ） A ．y x 1=- B ．y x 1=+ C ．y x 1=-- D ．y x 1=-+
2、答案：D ；【解析】 把点P(3,2)-和Q(1,2)-的坐标分别代入y kx b =+，得23k b 2k b -=+⎧⎨=-+⎩k 1
b 1=-⎧⇒⎨
=⎩
， ∴y x 1=-+，故选D ；【答案】 D
2、已知二次函数经过(－1,0)，(1,0)，(2,3)点，则这个函数的解析式为( )． A ．y ＝x 2－1 B ．y ＝1－x 2 C ．y ＝12x 2＋1 D ．y ＝1
2x 2－1
2、答案 A
2、解析 设y ＝a(x －1)(x ＋1)，把(2,3)代入得a ＝1，∴y ＝x 2－1.
3、若
23x 1A B
x 1x 1x 1
+=+--+，则A = 3、答案：2；
4、与双曲线14
y x 2
2
=-有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。

4、设双曲线方程x 2－y
2
4＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程x 23－y 212
＝1。

5、若复数z 满足：3i
z z (z z)i 2i
-⋅++=
+，则z =＿＿＿＿＿. 5、分析：设),(R b a bi a z ∈+=，原式化为i ai b a -=++122
2
，得⎩⎨⎧-==+1
2122a b a ，求得i z 23
21±
-=. 说明：复数问题实数化时，设复数bi a z +=，不要忘记条件R b a ∈,.两复数bi a z +=1，
),,,(,2R d c b a di c z ∈+=，21z z =的条件是d b c a ==,.这是复数求值的主要依据.根据条件，求复数的值经
常作实数化处理.
6、定义在[6,6]-上的奇函数f (x)，在[0,3]上为一次函数，在[3,6]上为二次函数，且x [3,6]∈时，
f (x)f (5)3≤=，f (6)2=，求f (x)。

6、【解析】 当x ∈[3,6]时，∵f(x)≤f(5)＝3，∴可设f(x)＝a(x －5)2＋3.
又∵f(6)＝2，∴f(6)＝a(6－5)2＋3＝2，解得a ＝－1.
∴f(x)＝－(x －5)2＋3，x ∈[3,6]．∴f(3)＝－(3－5)2＋3＝－1， 即x ∈[0,3]和x ∈[3,6]时，f(x)均过点(3，－1)． ∵x ∈[0,3]时，f(x)为一次函数，∴可设f(x)＝kx ＋b. ∵f(x)在x ∈[－6,6]上是奇函数， ∴f(0)＝0.∴b ＝0，即f(x)＝kx.
又∵f(x)为奇函数，
7、设f (x)是一次函数，且其在定义域内是增函数，又1
1
f [f (x)]4x 12--=-，试求f (x)的表达式。

7、分析及解：因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式.
设一次函数y=f(x)=ax+b (a>0),可知 )(1
)(1
b x a
x f -=
-, ∴124)(1
1])(1[1)]([2211
-=+-=--=--x b ab a
x a b b x a a x f f
.
比较系数可知： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+>=)
2(12)(1)
1()0(41
2
2
b ab a a a 且
解此方程组,得 21=
a ,b=2,∴所求f(x)=22
1
+x . 8、已知二次函数y ＝x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3，其中m 为实数． (1)求证：不论m 取何实数，这个二次函数的图象与x 轴必有两个交点； (2)设这个二次函数的图象与x 轴交于点A (x 1,0)、B (x 2,0)，且x 1、x 2的倒数和为
2
3
，求这个函数的解析式． 8、解：(1)证明：和这个二次函数对应的一元二次方程是x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0.
∵Δ＝4(m －1)2－4(m 2－2m －3)＝4m 2－8m ＋4－4m 2＋8m ＋12＝16>0， ∴方程x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0必有两个不相等的实数根． ∴不论m 取何值，这个二次函数的图象与x 轴必有两个交点．
(2)由题意，可知x 1、x 2是方程x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝2(m －1)，x 1·x 2＝m 2－2m －3. ∵
121123x x +=，即121223x x x x +=⋅，∴22(1)2
233
m m m -=--. 解得m ＝0，或m ＝5.[来源:学_科_网] 经检验，m ＝0，m ＝5都是方程的解．
∴所求二次函数的解析式是y ＝x 2＋2x －3，或y ＝x 2－8x ＋12.。