第三章 整数规划和混合规划及其应用

将以上二式按系数和常数均可分解为整数 和非负的真分数之和并将整系数和整常数移至 左边，其余移至右边，即得：
3 3 1 x1 x3 ( x3 x 4 ) 4 4 4 3 3 1 x 2 1 ( x3 x 4 ) 4 4 4

考虑整数约束条件⑤，要求x1，x2为非负 整数，则引入松弛变量x3，x4也应是非负整数。 若不是，则应在x3，x4之前乘以适当常数，使 之成为整数。在上二等式左边是整数，其右边 括号内是正数。故等式右边必须是负数（小于 0）即满足整数约束条件⑤。即：
（2）将bi和aik均分解成整数部分N与非负 真分数f之和。即为： bi N i f i (0 f i 1) （3-4） a ik N ik f ik (0 f ik 1) 式中N表示不超过b的最大整数（如上例，或如 下） 若b=2.35,则N=2 f=0.35 若 b=-0.45,则N=-1 f=0.55 将（3-4）式代入（3-3）式得： （3-5） xi N ik xk N i f i f ik xk

3 3 1 ( x3 x 4 ) 0 4 4 4 3x3 x 4 3
2 割平面法求解步骤： （1）将原整数规划舍去整数约束，按一般 线性规划采用单纯形法求解。由单纯形表中最 终计算得出。 xi aik xk bi （3-3）


k
Hale Waihona Puke 其中，xi为相应线规划最优解中分数值的基变 量。 i Q ，Q为构成基变量号码集合。k K ，K 为构成非基变量号码集合。
x2
-x1+x2=1 ②
A(3/4,7/4)
B(0,1)
D(1,1)
R
O 1
3x1+x2=4 C(4/3,0) 2
③
x1
舍去整数约束⑤的最优解示意图
②以目标函数Z=x1+x2为等倾线族。即x2=Z0 x1，其Z为截距，-1为斜率（tg (45 )）
x2
-x1+x2=1
②
E B(0,1)
A(3/4,7/4)

任务 耗油量 利润
I a1 c1
II a2 c2
III a3 c3

设分配给第i项任务的卡车为xi辆，于是该问题 表达为：求变量xi（i=1，2，3）使

opt : st :
MaxC c1 x1 c2 x2 c3 x3

a1 x1 a2 x2 a3 x3 b1
x1 x2 x3 b2

k
（3）按其变量（含松弛变量）均为非负和整 数条件，要求（3-5）式左边必须为整数，而 右边则因 0<fi<1 而不能为正。即 fi f ik x k 0 （3-6） 此式即为所求割平面方程。由于该方程真 正对线性规划的非整数最优解进行了切割而未 割掉整数解。因为相应线性规划的任意整数可 行解均满足（3-6）式。实际选择时有多个切 面时，则先选较大fi 所在行，即取 f x max{f i f i bi [bi 0 ], bi 0 0} 的行为割平面源 行为宜。
- 1∕4 1∕4
将割平面 方程 作为约束填入 并采用对 偶单 纯形方法 进行 迭代计算

（2）根据（1），最终单纯表中得到的非整数 最优解与变量间的关系，求切割方程。
1 1 3 x1 x3 x 4 4 4 4 3 1 7 3 x 2 x3 x 4 1 4 4 4 4
D(1,1)
R'
O 1 C(4/3,0) 2
x1

则R域的极点A，即为舍去整数约束的最优 解，但不符合整数约束。若能找到一条直线DE 去切割R，割掉三角形ADE。那么具有整数坐标 的D点（1，1），就是域R′的一个极点。若在 R′域上求解原规划①~④而得到的最优解又恰 在D点，就得到原问题的整数解，故此解法的 关键就是怎样构造一个这样的“割平面”DE。 这一结果可能不是唯一的，也可能不是一步能 求到的。下面我们仍以此例说明割平面法的求 解过程。（根据基本思路）
②上述连续域最优解在割平面外侧，被割 出可行域； ③原问题全部整数可行解在割平面的内侧， 被保留在可行域内。 （4）把割平面约束加入上述不包括整数约 束的模式中。 （5）再按一般线性规划求解，在极点上找 到新的连续域最优解。 （6）判别该连续域最优解是否满足所有的 整数约束。尚不满足，则重复上述步骤直到满 足为止。
3整数规划和混合规划及其应 用
3.1 整数规划的类型及数学模型
3.1.1 整数规划的类型 （1）纯整数规划 （2）混合整数规划 （3）0-1型整数规划
3.1.2

整数规划的概念及数学模型
3.1.2.1 纯整数规划的概念及数学模型 （1）概念 在线性规划中，若所有变量均限制为非负 的整数，这种规划就称为纯整数规划或全整数 规划。 （2）数学模型

建模：设xij为未知变量，它仅有两种工况： 1(当i车被派往j地) xij 0(当i车不派往j地) 鉴于一辆车仅能派往一地，而一个地点只需派去 一辆车，故问题表达为求变量xij（i=1，2，„， m）（j=1，2，„，n）。 m n 使opt： Min cij xij 成本最低

opt:
max Z / min Z c j x j
j 1
n
a x
j 1 ij
n
j
≦ bi (i 1,...m) ≧
x j≧0的整数( j 1,...n)
例3-1纯整规划（整数分配问题） 某车队共有某种型号的卡车b2辆，汽油 b1kg，计划完成三项任务。每辆卡车完成不 同任务的油耗和利润如表3-1所给，问怎样分 配车辆可使获得的总利润最大？ 表3-1



（4）按上述（1）~（3）步骤反复进行， 直至所有变量均达整数为止。 3 应用实例


（可编程求解：其流程图详见《水利土木工程系统分 析方法》Ｐ100，图4-3。）

某提水灌区有灌面3万亩，拟建2种不同规 格的泵站。甲种泵站每站可灌0.25万亩，乙站 每站可灌0.4万亩，但甲种站限建不得超过8座， 乙种站限建不得超过4座。甲站平均可增产效 益10千元，乙种站平均可增产效益20千元。问 每种泵站可建几座可获得效益最大？
经整理得： 即为所求的切割方程（割平面）。将此作为附 加约束条件，引入松弛条件，得等式-3x3x4+x5=-3。并将该方程系数和常数加入前单纯 形计算表中进行迭代。 （3）由于单纯表中b项出现负值，需采用对 偶单纯形法继续进行迭代计算。如上表中最后 红字结果。由于表中x1,x2的值已经都是整数， 其解题完成。


思路（总结）：首先舍弃整数规划，按一般线 性规划（P0）求解，通常该解为非整数解，而 后利用整数解要求及约束方程构造一个新的线 性约束方程—割平面方程D1。它相当于解向量 空间中的一个“平面”。这个平面和问题（P0） 的可行域R0重新构造成一个新的可行域。D1的 作用是将R0切割掉一部分力求使原问题的最大 整数解“显露”出来，经若干次切割以后，可 行域减少到目标函数“移动”至极限位置时， 恰好通过最大点（最大整数解）而得到最优解。

opt : MaxZ 10x1 20x 2 5 x1 8 x 2 x3 60 x x 8 1 4 st x 2 x5 4 x j 0( j 1,...,5)

采用单纯形法求解，见下表。
Cj CB 0 0 0 0 1步 0 20 10 0 20 0 10 2步 0 20 0 xB x3 x4 x5 Zj-cj x3 x4 x2 Zj-cj x1 x4 x2 x6 Zj-cj x1 x4 x2 x3 Zj-cj 5.6 2.4 4 -3 5 3 4 3 130 28 8 4 b 60 8 4
xi 0非负的整数
3.1.2.2 混合整数规划的概念及数学模型 （1）概念 在一般线性规划中仅一部分变量限制为非负 整数，即在线性规划中，一部分变量限制为非负 整数而另一部分限制为非负实数的规划称为混合 整数规划。 （2）数学模型

x j 0( j 1,2,...,n)
xk 0的整数(k 1,2,...,k n)
10 x1 5 1 0 -10 5 1 0 -10 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
20 x2 8 0 1 -20 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 x3 1 0 0 0 1 0 0 0 0.2 -0.2 0 -1 2 0 0 0 1 0
0 x4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0


3.2.2 割平面法的求解过程
1 例： （1）按照基本思路，将原规划去掉整数约 束，利用单纯形法求其最优解，即为 （如表）
Cj CB 0 初始计算 0 1 二次迭代计算 0 1 1 0 1 1 0 xB x3 x4 Zj-cj x2 x4 Zj-cj 最终计算 x2 x1 x5 Zj-cj x2 x1 x3 Zj-cj b 1 4 0 1 3 1 7∕4 3∕4 -3 10∕4 1 1 1 1 x1 -1 3 -1 -1 4 -2 0 1 0 0 0 1 0 0 1 x2 1 1 -1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 x3 1 0 0 1 -1 1 3∕4 -3 1∕2 0 0 1 0 0 x4 0 1 0 0 1 0 1∕4 -1 1∕2 0 1∕3 1∕3 1∕3 0 0 1 0 1∕4 - 1∕12 - 1∕3 1∕6 0 x5
x5 0 0 1 0 -8 0 1 20 -1.6 1.6 1 -2 4 -2 2 1 2 0
0 x6
0 0 0 1 0 0.2 -0.2 0 -1 1
从最终表中可见所有基变量均可为非负整
数，该整数规划的最优解为x*=（5，4)T,Z*=130,

如:某一大型水利工程的砼料场采料及骨料 加工厂，则属于这种情况，经常运营费是线性 问题，而料场和加工厂的基建投资任务为其随 规模分级为整数规划问题。运输单价为 元/吨.km，运输任务为吨.km，加工单价元/t, 加工量 T。

3.1.2.3 0-1整数规划 （1）概念 若整数规划中所有变量均取0或1，则该整数 规划就称为0-1型整数规划。 （2）数学模型 例3-2 指派问题 派与不派即要么派要么不派 若有m辆不同的汽车（i=1，2，„，m），需 指派到n个不同的地点（j=1，2，„，n）， i车被派往j地的运输成本为cij，求使运输总成本 最低的指派方案。

i 1 j 1
ij

st：
x
i 1 n
m
bi 1 bj 1
x
j 1
ij
xij 0或1
3.2

整数规划的割平面法
3.2.1 求解基本思路和几何解法 1 基本思路： （1）先去掉整数规划中的整数约束，按一 般连续线性规划求解，得到连续的最优解。 （2）构造一个新的线性约束，相当于在解 向量空间中由一割平面形成的半空间。 （3）以此新的线性约束称为割平面约束， 它须具备如下条件： ①割平面平行目标函数等值面；

2 几何解释： opt : 例：
max Z x1 x2 x1 x2 1 3 x x 4 1 2 x1 , x2 0 x1 , x2为整数
① ②
③
④
st :
⑤


（1）利用图解法求该规划中非整数解。（舍去整数 规划的整数约束）。 ①以x2为纵坐标，x1为横坐标建立坐标系，并根据 约束条件②，③，④，求得可行域R（ABOC）
（1）建数摸： 设建甲种站x1座，乙种站x2座。


opt : MaxZ 10x1 20x2 0.25x1 0.4 x2 3 x1 8 st : x2 4 x 0, x 0 2 1 x1 , x2为整数
（2）采用割平面法求解： 1）舍去整数约束，整理原问题为标准式：