4.5.4《相似三角形判定定理的证明》

AB BC AC . 已知：在ABC和A' B' C'中， 'C ' 求证: △ ABC ∽△ A' B ' C ' . A ' B ' B ' C ' AA ' A
C D
E
A' DE ∽A ' B ' C '.
A' D DE A' E . ∴ A ' B ' B 'C ' A 'C '
∴ ∴ ； ， ，
=
解得：t=
小结
一、相似三角形判定定理的证明
1.两角对应相等，两三角形相似. 2.三边对应成比例,两三角形相似. 3.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 二、相似三角形判定定理的应用
作业布置 习题 知识技能
A′
你能证明吗？ 可要仔细哟！
B
C
B′
C′
ห้องสมุดไป่ตู้ 应用
已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
解： ∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB ,
∴ AB : AC=AD : AB,
∴ AB2 = AD ·AC.
∵ AD=2, AC=8,
∴ AB =4.
探究2
知识要点
B'
A' E AC AB BC AC 又 . , A ' D AB， ∴ A 'C ' A 'C ' A ' B ' B 'C ' A 'C ' 同理 DE BC. ∴ A ' E AC.
∴ A ' DE
C'
ABC.
∴
ABC ∽ A ' B ' C '.
四.应用结论,解决问题
（2）解：BM=MC． 理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°， ∠AMB+∠CMQ=90°， ∴∠BAM=∠CMQ， 又∵∠B=∠C=90°， ∴△ABM∽△MCQ， ∴ ∵△MCQ∽△AMQ， =
， ， ∴
Q
∴△AMQ∽△ABM， ∴
=
，
=
∴BM=MC．
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm， BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm 的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在 CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间 为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；
4.5相似三角形判定定理的证明
回顾与复习
相似三角形的判定方法:
两角对应相等，两三角形相似. 三边对应成比例,两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形
相似.
探究1
知识要点
角 A 角 A
√
两角对应相等，两三角形相似.
如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′， 那么，△ABC ∽△ A′B′C′. A
两边对应成比例，且夹 角相等，两三角形相似.
AB BC k, 如果∠B =∠B1 ， A1B1 B1C1
边S 角A 边S A1
√
C1
B1
那么，△ABC∽△A1B1C1. 你能证明吗？ 可要仔细哟！
B
A
C
AB AC , 如果 对于ABC和A' B' C '， A' B ' A' C '
1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠B， 在△ABM和△BCP中，
，
∴△ABM≌△BCP（SAS）， ∴AM=BP，∠BAM=∠CBP， ∵∠BAM+∠AMB=90°， ∴∠CBP+∠AMB=90°， ∴AM⊥BP， ∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90° 得到线段MN， ∴AM⊥MN，且AM=MN， ∴MN∥BP， ∴四边形BMNP是平行四边形；
(三条对应边成比例的两个
三角形相似.)
• 如图,△ ABC与△ A′B′C′相似吗? • 你用什么方法来支持你的判断?
解:如图,设小正方形的边 长为1,由勾股定理可得: A
C A′ B′
B
AB 8 , BC 2 10 , AC 2 2 ; AB 4, BC 10, AC 2;
例2:
若:
BC CD 试说明 : AC CB
（1）∠ABC＝∠CDB （2）CA· BD＝CB· AB
探究3
知识要点
边S 边S 边S A′
√
三边对应成比例，两三角形相似. 如果
AB BC AC , A B BC AC
那么，△ABC∽△A′B′C′. B′
A
C′
B
C
画一画
任意画一个三角形，再画一个三 角形，使它的各边长都是原来三角 形各边长的k倍，度量这两个三角 形的对应角，它们相等吗？这两个 三角形相似吗？与同桌交流一下， 看看是否有同样的结论.
证明：在线段A ' B（或它的延长线 ' 上）截取A ' D AB，过点D再作 DE ∥B' C ' 交A' C ' 交于点E，可得 B
思考
这两个三角形一定会相似吗？ B B '，
不会
应用
解：（1）
AB 7 AC 14 7 , , A' B' 3 A' C ' 6 3
两个三角形的相似比是多少？
AB AC . A' B ' A'C '
又A A '，
ABC
∽A ' B ' C '.
应用
例1.下面两个三角形是否相似?为什么?
A
4cm
B 7cm
5cm
C
2cm
E
D
2.5cm
F
3.5cm
解:在△ABC和△DEF中.
AB 4 2. DE 2
BC 7 2. EF 3.5 AC 5 2. DF 2.5
AB BC AC . DE EF DF
∴△ ABC ∽ △ ADE.
解: AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7 ，
1 2
已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6， 1 7 BC=4，AC=5，CD= ，求AD 2 的长.

AB CD . BC AC
又∠B=∠ACD，
△ABC∽△DCA，
BC AC AC AD ，
25 . AD= 4
AB AC BC 2 2. AB AC BC 1
C′
∴△ ABC∽△ A′B′C′ (三边对应成比例的两个三角形相似.)
2.(选做题)
有一池塘, 周围都是空地. 如果要 测量池塘两端A、B间的距离, 你能利 用本节所学的知识解决这个问题吗? A•
C
•
•E
•D
B•
．
解（1）①当△BPQ∽△BAC时， ∵
=
，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm， ∴ = ∴t=1；
∴ ∵ ， ， ， ，
∴t=
②当△BPQ∽△BCA时， =
∴t=1或
8 4t = 时，△BPQ与△ABC相似； 10
（2）如图所示，过P作PM⊥BC 于点M，AQ，CP交于点N，则有 PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t， ∵∠NAC+∠NCA=90°， ∠PCM+∠NCA=90°， ∴∠NAC=∠PCM且 ∠ACQ=∠PMC=90°， = ∴△ACQ∽△CMP，
A•
•
D C
B•
•
E
3.如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连 接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在 CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP． （1）求证：四边形BMNP是平行四边形； （2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若 △MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请 说明理由．