高二数学同步辅导教材(第15讲)
高二数学同步辅导教材(第15讲)
高二数学同步辅导教材(第15讲)高二数学同步辅导教材（第15讲）本章主要内容8.4 双曲线的简单几何性质 一、 本讲主要内容 1、 双曲线的第二定义 2、 双曲线的几何性质及应用 3、 直线与双曲线的位置关系 二、 学习指导1、 双曲线的几何性质分为两大类 （1）自身固有的几何性质：① 位置关系：中心是两焦点，两顶点的中点；焦点在实轴上；实轴与虚轴垂直；双曲线有两条过中心的渐近线；准线与实轴垂直；② 数量关系：实轴长、虚轴长、焦距分别为2a ，2b ，2c 。
两准线之间距离为c a 22⋅； 焦准距（焦参数）cb p 2=； ③ 离心率ace =，e>1，e 越大，双曲线开口越阔。
（2） 解析性质（与坐标系有关），列表比较如下：2、双曲线的第二定义与椭圆第二定义相同，见教材P112.例3。
第一定义与第二定义的关系见前面椭圆内容。
3、直线与双曲线的位置关系研究完全类似于直线和椭圆。
但由于双曲线多了渐近线，因此当直线与双曲线有一个公共点时，其位置有两种情形：一是直线与双曲线相切，此时直线与双曲线方程联立消元后所得关于x （或y ）的二次方程．．．．的判别式△=0；二是直线与双曲线相交，具体地说，也就是直线与双曲线的渐近线平行。
此时直线与双曲线方程联立消元之后所得关于x （或y ）的方程为一次方程。
直线与双曲线相交时，基本处理途径有二：一是列方程组；二是用点差法。
不管是哪一种途径，都要强化设而不求的思想。
4、在1b y a x 2222=-（a>0，b>0）中，若a=b ，则双曲线为等轴双曲线，其离心率2e =。
5、双曲线1b y a x 2222=-与1b y a x 2222-=-称为共轭双曲线。
5、它们的实轴顶点和虚轴顶点互换；它们的焦点共圆；它们的离心率e 1、e 2满足2221e 1e 1+=1。
6、已知双曲线方程为1by ax 2222=-，则其渐近线方程为0by ax 2222=-；若已知渐近线方程为)0b y a x (0b y a x 2222=±=-，则对应的双曲线方程为)0(by a x 2222≠λλ=-三、 典型例题例1、直线 ：ax+by-3a=0与双曲线14y 9x 22=-只有一个公共点，求直线 的方程。
高二数学一对一辅导课件15
1.3 实习作业（习题课）
上课时间：2017.08.22 18:00-20:00 老师：辅导君
课中讲解
1、“三角形”这一条件隐含着丰富的信息，利用这些信息可以得到富有三角 形特色的变形和结论： (1)由A＋B＋C＝180°可得
(2)由三角形的几何性质可得
(3)由大边对大角可得sin A＞sin B⇔A B. (4)由锐角△ABC可得sin A cos B.
当堂练 习题一 例1 在△ABC中，若c·cos B＝b·cos C，cos A＝2/3，求sin B的值．
课中讲解
2、解三角形的基本类型
已知条件
适用定理
三边 两边及其夹角
余弦__定__理______ 余弦__定__理_____
两边及一边对角正弦定__理__或余__弦__定__理__
一边及两角
正弦__定__理______
当堂练 习题二
例3 在△ABC中，a，b，c分别是角形中的隐含条件. 2. 熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应 用. 3.正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关 的综合问题．
当堂练 作业 1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b， 若2asin B＝ b，则角A等于( ) A. π/12 B. π/6 C. π/4 D. π/3
5．已知锐角三角形的三边长分别为2,3，x，则x的取值 范围是________．
2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝ ，则
当堂练 作业
3．已知△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这个三角形有 两解，则x的取值范围是________．
4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
2021年高中苏教版数学必修二名师导学：第2章 第15课时 直线和圆的位置关系
第15课时直线和圆的位置关系教学过程一、问题情境在课桌中心放置一张白纸,用圆规在白纸上画一个圆,将一把直尺从桌子的一边平行于课桌边缘平移到桌子的另一边.假如将直尺一条边看成一条直线,在这条直线移动过程中你看到了什么现象?(这是一个开放问题,没有精确答案,同学回答时可能都是“白话”,同学可能会回答“直线先靠近圆,再远离圆”、“直线先相离,再相切,然后相交,再相切,最终又远离”等.只要意思对,就应当赐予确定.让同学充分表达,为后面一系列问题做预备)二、数学建构问题1学校学过的平面几何中,直线和圆有哪几种位置关系?(该问题可能同学一开头已经回答了,在这里再次毁灭的目的是明确在数学中直线和圆位置关系的精确表述,只能是“相离”、“相切”、“相交”,不能用其他意思相近的词语代替)问题2在刚才的操作中,你能用数学符号来表示直线靠近(远离)圆吗?你会推断直线和圆的位置关系吗?(这实际上是直线和圆的位置关系的判定,同学在学校已经有确定的基础.在本节课中,再次毁灭这个判定,目的在于说明这个判定揭示的是直线和圆位置关系的几何特征)设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则d>r时,直线和圆相离;d=r时,直线和圆相切;d<r时,直线和圆相交.问题3当直线和圆分别“相离”、“相切”、“相交”时所表现出来的几何特征分别是什么?(启发同学由图形猎取推断直线与圆的位置关系的直观认知,即他们看到的直线和圆相离时没有公共点,相切时只有一个公共点,相交时有两个公共点)问题4你能用数学语言来解释直线和圆没有公共点、只有一个公共点、有两个公共点的含义吗?(引导同学用直线与圆的方程推断它们之间的位置关系,即图象交点个数就是它们所构成方程组的解的个数)设直线l和圆C的方程分别为:Ax+By+C=0 (A,B不全为0),x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0).由直线l和圆C的方程联立方程组则方程组无解时,直线和圆相离;方程组仅有一组解时,直线和圆相切;方程组有两组不同的解时,直线和圆相交.问题5请总结一下到目前为止,推断直线和圆的位置关系有哪几种方法?它们有什么不同?(引导对学过的内容总结,由学校学过的平面几何过渡到解析几何,从“形”过渡到“数”,了解学问之间的联系和进展)几何法是平面几何的方法,是直线和圆的几何特征;而利用联立方程组的方法是解析法,是直线和圆的代数特征.利用代数的方法解决几何问题就是解析的思想.三、数学应用【例1】(教材P113例1)求直线4x+3y=40和圆x2+y2=100的公共点的坐标,并推断它们的位置关系.[3] [处理建议]直线和圆的交点坐标就是它们联立的方程组的解,本题让同学板演.[规范板书]解直线4x+3y=40和圆x2+y2=100的公共点的坐标就是方程组的解.解这个方程组,得所以公共点坐标为(10, 0),.直线4x+3y=40和圆x2+y2=100有两个公共点,所以直线和圆相交.[题后反思]求两曲线的交点坐标或交点的个数可以用联立方程组的方法,用方程组的解反映图形的状况,这是一般的方法,是通解.变式已知直线y=3x+m和圆x2+y2=2相交于点(1, 1),求直线和圆的另一个交点的坐标.[处理建议]让同学比较和例1的区分,直线的方程未知,先依据条件求出直线的方程,再联立方程组求解.在解方程时,实际上已经知道方程的一个根了,可以利用根与系数关系来解决,在上课时要引导同学留意这一点,这也是近几年高考中有所体现的题型.解由于线y=3x+m过点(1, 1),所以1=3+m,所以m=-2,将直线和圆的方程联立方程组消去y,得10x2-12x+2=0,由题意方程一个根为1,设另一个根为x2,则1×x2=,得x2=.将x2=代入直线的方程得y2=-,所以直线和圆的另一个交点的坐标为.【例2】(教材P113例2)自点A(-1, 4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线l,求切线l的方程.[4][处理建议]要求直线的方程还需要知道什么?先引导同学找准解决问题的方向,即还需要知道直线的斜率.再依据直线和圆相切的条件,列出关于斜率的方程,求出斜率.让同学在下面书写,老师可以找出用不同方式解题的同学上黑板板演.[规范板书]解方法一:当直线l垂直于x轴时,直线l:x=-1与圆相离,不满足条件.当直线l不垂直于x轴时,可设直线l的方程为y-4=k(x+1),即kx-y+(k+4)=0,由于直线和圆相切,所以圆心(2, 3)到直线l的距离等于圆的半径,故=1.解得k=0或k=-,因此,所求直线l的方程为y=4或3x+4y-13=0方法二:当直线l垂直于x轴时,直线l:x=-1与圆相离,不满足条件.当直线l不垂直于x轴时,可设直线l的方程为y-4=k(x+1),由于直线和圆相切,所以方程组仅有一解.由方程组消去y,得关于x的一元二次方程(1+k2)x2+(2k2+2k-4)x+k2+2k+4=0.依题意,这个一元二次方程有两个相等实根,所以判别式Δ=(2k2+2k-4)2-4(1+k2)(k2+2k+4)=0.解得k=0或k=-.因此,所求直线l的方程为y=4或3x+4y-13=0.[题后反思]处理直线和圆相切时,一般有两种方法,一是用几何法,即d=r;另一个是代数法,即通过方程组的解来分析.特殊要留意在设直线方程时,要关注直线方程适用的条件,往往要分状况争辩,这一点格外简洁遗漏.变式(2010年山东枣庄模拟改编)将圆x2+y2=1沿x轴正方向平移1个单位后得圆C,若过点(3, 0)的直线l 和圆C相切,求直线l的方程.[处理建议]本题照旧强调在设直线方程时,要分状况争辩.解将圆x2+y2=1向右平移1个单位后得圆的方程为(x-1)2+y2=1.过点(3, 0)的直线l方程分为两种状况:当斜率不存在时x=3,与圆不相切;当斜率存在时,设直线方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,由于直线和圆相切,所以圆心(1, 0)到直线l的距离等于圆的半径,故=1.解得k=±.因此,所求直线l的方程为y=±(x-3).【例3】(教材P114例3)求直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长.[5][处理建议]本题同样有两种方法,让同学先思考,再找用不同方式解题的同学上黑板板演.假犹如学不能用两种方法解决,老师可以引导,如用“弦长就是一条线段长,即两点之间的距离.”引导同学用代数法;用“在我们学校平面几何中还学过关于弦长的问题吗?”引导同学用几何法,即用垂径定理来解决.[规范板书]解法一直线x-y+2=0和圆x2+y2=4的公共点坐标就是方程组的解.解这个方程组,得所以公共点坐标为(, 1),(0, 2),直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为=2.(图2)解法二如图2,设直线x-y+2=0和圆x2+y2=4交于A,B两点,弦AB的中点为M,则OM⊥AB(O为坐标原点),所以AB=2AM=2=2=2.[题后反思]弦的相关问题不外乎用代数法或几何法解决,几何法侧重于图形特征,代数法侧重于运算,当条件具备几何图形的某些特征时,用几何法解答会更便利快捷.圆的弦长的求法:①几何法:设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为L,则=r2-d2;②代数法:设直线与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,解方程组由方程组消去y,得关于x的一元二次方程,求出A,B的坐标,再用两点之间的距离公式求出弦长AB.变式1已知点A(1, 1),求过点A的圆x2+y2-4y=0的最长与最短的弦长.[处理建议]结合图象分析,找出过圆内一点作最长弦和最短弦的条件.[规范板书]解圆x2+y2-4y=0圆心为C(0, 2),r=2,由于点A(1, 1)在该圆内,所以过A最长的弦就是过A及圆心的直径,长为4;最短的弦就是与AC垂直的弦,由于AC==,所以弦长为2=2.变式2已知过点M(-3,-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为8,求直线l的方程.[处理建议]把圆的方程化为标准式,求出圆心坐标和半径,求出弦心距的值.设出直线l的方程,由弦心距的值求出直线的斜率,即得直线l的方程.[规范板书]解圆x2+y2+4y-21=0的圆心坐标为(0,-2),半径r=5.由于直线l被圆所截得的弦长是8,所以弦心距为=3.由于直线l过点M(-3,-3),所以,当斜率不存在时,直线方程为x=-3,满足题意;当斜率存在时,可设所求直线l的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.则由圆心到直线的距离等于弦心距,得=3,解得k=-,此时直线方程为4x+3y+21=0.故所求直线有两条,它们分别为x=-3, 4x+3y+21=0.*【例4】已知点P(0, 5)及圆:C:x2+y2+4x-12y+24=0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4,求l的方程;(2)求圆C内过点P的弦的中点的轨迹方程.[6][处理建议]对于(1),要求直线的方程只需要求出直线的斜率,利用垂径定理求出圆心到直线的距离,从而得出关于斜率的等量关系,求出斜率;对于(2)只需要列出关于弦中点D(x,y)的等式即可.解(1)如图,AB=4,D是AB的中点,则AD=2,AC=4,(图3)在Rt△ADC中,可得CD=2.设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.由点C 到直线的距离公式=2,得k=,此时直线l的方程为3x-4y+20=0.又直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时的方程为x=0.所以所求直线为x=0或3x-4y+20=0.(2)方法一:设圆C上过点P的弦的中点为D(x,y),由于CD⊥PD,所以·=0,即(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,化简得轨迹方程x2+y2+2x-11y+30=0.方法二:设弦的两个端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),弦的中点为D(x,y),则x1+x2=2x,y1+y2=2y.将A(x1,y1),B(x2,y2)代入圆的方程得①-②得(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)+4(x1-x2)-12(y1-y2)=0,同除以(x1-x2),得x+k AB y+2-6k AB=0,由于k AB=k PD =,所以x++2-=0,整理得轨迹方程x2+y2+2x-11y+30=0.[题后反思]在争辩与弦的中点有关问题时,留意运用“平方差法”,即设弦AB两端点的坐标分别为A(x1,y1), B(x2,y2),中点为(x0,y0),由得k==-=-.该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.四、课堂练习1.对任意实数k,圆C:x2+y2-6x-8y+12=0与直线l:kx-y-4k+3=0的位置关系是相交.提示由于动直线kx-y-4k+3=0过定点(4, 3),而该点恰好在圆内部.所以直线和圆相交.2.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则点P(a,b)与圆的位置关系是在圆外.解由于直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,所以圆心到直线的距离小于半径,则<1,即>1,所以点在圆外.3.(1)求过圆x2+y2=4上一点的圆的切线方程.(2)求过原点且与圆(x-3)2+(y-1)2=1相切的直线方程.答案(1)-x+y-4=0.(2)y=x和y=0.4.求过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长.提示本题有多种方法,用几何法,代数法都可以,都比较简洁.答案2.五、课堂小结1.在直线与圆的位置关系中,“直线与圆相切时求切线”和“相交时争辩与弦长有关的问题”是两个重点内容;求切线时,若知道切点,可直接利用公式;若过圆外一点求切线,一般运用圆心到直线的距离等于半径来求,但留意有两条.2.解决与弦长有关的问题时,留意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形,也可以运用弦长公式,就是通常所说的“几何法”和“代数法”.3.解决直线与圆的位置关系问题,一般有两种方法,即几何法或代数法,从运算的合理、简明的要求选择,通常接受几何法,但代数法具有一般性.4.数形结合法(如几何法)是解决直线与圆的位置关系的重要方法.。
(新人教A)高二数学同步辅导教材随机事件的概率
高 二 数 学（第33周）主讲教师：刘海滨 【教学内容】1、随机事件的概率；2、互斥事件有一发生的概率；3、相互独立事件同时发生的概率。
【教学目标】使学生了解随机事件的统计规律性和随机事件概率的意义；了解等可能性事件的概率、互斥事件、相互独立事件的意义；会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率；会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率；会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率。
【知识讲解】一、随机事件的概率1、随机事件及其概率（1）随机事件A 的频率指此事件发生的次数m 与试验总次数n 的比值，它是随着试验次数的改变而变化的，它具有一定的稳定性，即总在某个常数p 附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小，于是，我们给这个常数取个名字，叫随机事件的概率，记作P （A ）。
（2）弄清随机事件概率的取值范围由于频率nm总介于0、1之间，因此由概率的定义知：对任意随机事件A ，有1)(0≤≤A P ；对必然事件I ，显然有P （I ）=1，对不可能事件Φ，显然有P （Φ）=0。
2、等可能事件的概率nmA P =)(既是等可能事件概率的定义，又是计算这种概率的基本公式，利用这个式子计算概率时关键是求出m 、n 。
N 为一次试验中等可能出现的结果数，m 为某个事件A 所包含的结果数。
求n 时，应特别注意这n 种结果必须是等可能的，在这一点上是很容易出错的。
二、互斥事件有一发生的概率 1、关于“互斥事件”“互斥事件”就是“不可能同时发生的事件”。
2、“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中发有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件。
三、相互独立事件同时发生的概率 1、相互独立事件及其同时发生的概率 （1）理解“相互独立”的含义相互独立事件是针对两个事件而言的，只不过这两个事件间的关系具有一定的特殊性，即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响。
(新人教A)高二数学同步辅导教材排列、组合和概率 10.2 排列
高二数学同步辅导教材（第33讲）主讲: 孙福明(江苏省常州高级中学 一级教师)一、本讲进度第十章 排列、组合和概率10.2 排列二、主要内容1、 排列的概念、表示法、计算公式；2、 与排列数有关的计算题、证明题等；3、排列应用题：没有附加条件，有附加条件的三、学习指导1、排列的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素取出m 个元素的排列数，用符号A n m表示。
根据排列的定义，它有两个要点：（1）从n 个不同元素中任取m 个；（2）按照一定顺序排成一列。
所谓“按照一定的顺序排成一列”应该理解成是将m 个元素放在m 个不同的位置上。
所以排列定义中的每个要点，可以简略地称之为一是元素，二是位置。
在确定排列的数目时，往往要借助于树图写出所有的排列。
2、排列数的计算公式：A n m=n(n-1)(n-2)…[n-(m-1)]，等号右边是m 个连续的正整数的积，第一项为n ，成递减趋势。
排列数的化简公式：A n m=)!m n (!n -规定：0！=1，A n m=n!=n(n-1)(n-2)·…·2·1 排列数公式的推导过程是分步计数原理的直接应用 根据排列数的定义，可得到与排列数有关的变形公式： 2m 2n 2n 1m 1n mmA A nA A ----===…k ·k!=(k+1)!-k!)!1k (1!k 1)!1k (k +-=+ 3、排列应用主要是解决与实际问题有关的应用题。
这类问题从条件出发，分两类：一类是没有附加条件的排列问题；二类是有附加条件的排列问题。
有附加条件的排列问题主要有两种：一是“在与不在”的问题，就是某一个或某几个元素在或不在某些特殊位置，一是“邻与不邻”问题，是指某些元素相邻或不相邻的问题，这类总是常用“捆绑法”或“插空法”。
【量神大数学】高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(课件)：第十五讲 等差数列及其求和
例2、在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，
则a2+a8 =？
第二十五页，编辑于星期六：八点 四十七分。
（一）等差数列的基本性质：
1、在等差数列{an}中，若m+n=p+q，则
练习1：已知等差数列3，7，11，…
则 an=___4_n_-_1_____ a4=____1_5____
a10=___3_9______
第八页，编辑于星期六：八点 四十七分。
(题型二)求首项a1
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
例2 ：已知等差数列{an}中，a20=－49, d=－3， 求首项a1
由 an=a1+(n-1)d 得 110=33+(12-1)d 解得 d=7
从而可求出 a2=33+7=40 (cm)
110
a3=40+7=47(cm) a4=54(cm) …。
第十二页，编辑于星期六：八点 四十七分。
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
总结：
在 an=a1+(n－1)d，n∈N* 中，有an,a1,n,d 四个量,
第三页，编辑于星期六：八点 四十七分。
等
一般地，如果一个数列从第
差
二项起，每一项与它的前一项的
数
差等于同一个常数，那么这个数
列 的
列就叫做等差数列，这个常数叫
定
做等差数列的公差。公差通常用
义
字母d表示。
沪教版教版高二数学第15课时 连加、连减
第八单元10以内的加法和减法第15课时连加、连减教学内容：课本第72--73页。
教学目标：1、通过动手操作、合作交流，初步理解连加、连减的含义。
掌握连加、连减的计算方法。
2、能有条理地表述思考和解决问题的过程。
教学重点：让学生联系实际情境，体会连加、连减的意义和理解运用顺序。
教学难点：理解图意列出算式。
课前准备：课件、投影。
教学过程：一、情境导入1、口算。
（口算卡片出示）10－5 6＋4 8－5 3＋26－3 5＋0 9－5 6－66＋3 9－3 6＋4 2＋67＋3 9－7 8－2 1＋7北京办公室装修详细问题了解下！8＋2 10-4 4＋6 2＋810-6 10-3 3＋7 9＋15＋5 10-2 4＋5 6-02、算式接龙。
（小组学生互相合作，每人出一道题）甲：4+2=6；乙：6+1=7；甲：7+2=9；乙：9+1=10。
或者甲：10-2=8；乙：8-3=5；甲：5-1=4；乙：4-4=0。
3、学生汇报，说说你们组的题目和想法。
邀请两个学生到讲台前表演。
讲述：第一个算式的得数正好是第二题开拓的这个数，第三体开拓的数正好是第二题的结果……像这样的几道有联系的算式写出来像什么？我们把这个游戏叫做“算式接龙”。
二、探究交流1、教学例1。
贴出例1主题图。
讲述：星期天，小红和弟弟去郊外的奶奶家玩，看见奶奶摘下了一些又大又红的南瓜。
小红想，我长这么大了，应该帮奶奶做一些家务活。
于是，她找来一辆手推车，把奶奶摘下的南瓜云回家。
第一次运来4个，第二次有运来2个，还剩下一个最大的没有运，奶奶一共摘下几个南瓜呢？怎样计算？（4+2=6，6+1=7，奶奶一共摘下7个南瓜。
）提问：其他组有不同的方法吗？（4+2+1=7）追问：为什么这样列式？你是怎样算的？你能给这样的算式取个名吗？（连加法）讲述：这个名字取得真好，今后我们看见一个算式里有两个以上的“+”，就叫它连加。
（板书课题）2、教学例2。
讲述：这时，弟弟在大声喊：“姐姐，快来看，奶奶家还种了一些丝瓜。
沪教版教版高二数学第15课时 复习(2)
第四单元两、三位数除以一位数第15课时复习（2）教学内容：教材第70页。
教学目标:1、通过复习，让学生用所学的数学知识解决实际问题，经历探究的过程，培养学生的应用意识和仔细观察，积极思考的习惯。
2、感受数学与日常生活的联系，在不断克服困难取得成功的过程中逐步树立学好数学的自信心。
教学重难点:进一步使学生掌握两、三位数除以一位数的笔算方法。
教学准备:教学光盘教学过程:一、谈话引入谈话：同学们，上节课我们复习了两、三位数除以一位数的口算和笔算方法，运用除法解决了简单的实际问题，还记得吗？指名说一说。
小结：大家掌握了两、三位数除以一位数的计算方法，这节课，老师带领大家，通过除法计算发现计算中有趣的规律，大家有兴趣吗？（板书课题：复习）二、基础知识训练1、完成复习第 6 题要求观察每组题的前后两个算式，判断每组题的大小。
北京办公室装修公司详细问题了解下！2、完成复习第 7 题观察每组算式：先估算，猜猜每组算式的结果相等吗？学生独立计算后，在小组里说说你发现了什么规律。
小结：一个数连续除以两个数，可以用这个数除以这两个除数的积。
3、完成复习第 8 题独立计算并核对，说说通过计算你发现了什么？被除数有什么共同特点？（被除数的三个数字都是 1、2、6）你能再选三个数字组成不同的三位数，使它们除以 9 都没有余数吗？三、解决实际问题1、完成复习第 9 题观察图，说说你从图中获得了哪些信息？列式计算，说说你是怎样想的，每一步求的是什么。
教师小结评价。
2、完成复习思考题引导学生独立思考，补全竖式。
左题：可根据除数和十位上的商求出它们的积，填在相关的方框内，再根据十位上余数2 算出被除数的前两位，然后根据个位上的余数 2，填出被除数个位上的数 9 。
右题：商百位商只能是 1，十位上只能是 0，个位上可以是 2、4、6、8 中任何一个数，对应的被除数是 5 1 2 、5 2 2 、5 3 2 、5 4 2 。
案不唯一。
高二数学同步辅导教材(第14讲)
高二数学同步辅导教材（第14讲）一、本章主要内容8.3 双曲线及其标准方程 课本第104页至第108页 二、 本讲主要内容 1、双曲线的定义 2、双曲线的标准方程 三、 学习指导1、双曲线的定义用集合表示为{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ，2a>0，F 1、F 2是定点，2a<|F 1F 2|}。
当2a=|F 1F 2|时，点P 的轨迹是两条射线（线段F 1F 2的反向延长线）。
当2a<|F 1F 2|时，平面上的点P 不存在。
称F 1、F 2为双曲线的焦点，线段F 1F 2的长度为焦距，用2c 表示。
2、焦点在x 轴上的双曲线，其标准方程为1by ax 2222=-（a>0，b>0）。
若记左焦点为F 1（-c ，0），右焦点为F 2（c ，0），则|PF 1|>|PF 2|时，点P 在双曲线右支上；|PF 1|<|PF 2|时，点P 在双曲线的左支上。
焦点在y 轴上的双曲线，其标准方程为1bx ay 2222=-（a>0，b>0），若记下焦点为F 1（-c ，0），上焦点为F 2（c ，0），则|PF 1|>|PF 2|时，点P 在双曲线的上支上；|PF 1|<|PF 2|时，点P 在双曲线的下支上。
三个正实数a ，b ，c 恒满足c 2=a 2+b 2，应将它们的关系与椭圆相区别，椭圆中a 2=b 2+c 2，a>b ，a>c ，b 与c 无大小关系；双曲线中，c>a ，c>b ，a 与b 无大小关系。
3、求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程的方法完全类似。
一般分两步：（1）选标准。
判断焦点在哪根数轴上，还是两者均有可能；（2）定参数。
途径一是待定系数法，即解方程组的思想；途径二是定义法。
四、典型例题例1、 就实数k 的取值范围，讨论方程13k y k 9x 22=-+-表示的曲线。
解题思路分析：关键是抓住椭圆及双曲线标准方程的特征，采用分类讨论的思想方法。
四川省资阳市高中数学高一升高二复习讲义教案：第十五次课
一、复习旧知等差数列的通项公式，求和公式。
二、新课讲解重难点：①探索并掌握等差数列的前n 项和公式；学会用公式解决一些实际问题，体会等差数列的前n 项和与二次函数之间的联系。
②等差数列前n 项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题③数列通项公式的意义及求法，n a 与n S 的关系及应用。
考 点：①理解等差数列“等差”的特点及求和通项公式的含义。
②等差数列求和的综合应用。
◆【典型例题】例1．已知数列的前n 项为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：根据与可知，当n ＞1时，①当n=1时， 也满足①式.＞所以数列的通项公式为.由此可知，数列是一个首项为，公差为2的等差数列。
课堂笔记：◆【典型例题】例题2.已知等差数列的前n项和为，求使得最大的序号n的值.分析：等差数列的前n项和公式可以写成，所以可以看成函数当x=n时的函数值.另一方面，容易知道关于n的图象是一条抛物线上的一些点.因此，我们可以利用二次函数来求n的值.解：由题意知，等差数列的公差为，所以=于是，当n取与最接近的整数即7或8时，取最大值.◆【巩固练习】1.求集合的元素个数，并求这些元素的和。
解由m=100，得满足此不等式的正整数n共有14个，所以集合m中的元素共有14个，从小到大可列为：7，7×2，7×3，7×4，…7×14即：7，14，21，28， (98)这个数列是等差数列，记为其中解由m=100，得满足此不等式的正整数n共有14个，所以集合m中的元素共有14个，从小到大可列为：7，7×2，7×3，7×4，...7×14 即：7，14，21，28， (98)这个数列是等差数列，记为其中答：集合m中共有14个元素，它们和等于735◆【典型例题】例3. 一个首项为正数的等差数列中，前3项 的和等于前11项的和，问此数列前多少 项的和最大？◆【巩固练习】解：由2n =S An Bn +为n 的二次函数，由311S S = 可知函数的对称轴为n=7， 故当n=7时n S 取得最大值2、数列{}n a 是等差数列， 0,0,1213123<>=S S a ，（1）求公差d 的取值范围；（2）问前几项和最大，并说明理由。
(新人教A)高二数学同步辅导教材球
本初子午线S N MφθO COOAB A MOC HNB高 二 数 学（第27周）主讲教师：徐 瑢 【教学内容】球【教学目标】1.弄清球面及球体的定义，弄清球的截面及其性质；2.弄清地球的经度与纬度的概念及球面的距离的概念并运用于解题之中；3.理解球的体积公式和表面积公式的推导思路，熟练用它们解决有关综合性问题；4.能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题。
【知识讲解】1．“球”与“球面”的概念（见下表）半圆以它的直径为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫球面。
球面所围成的几何体叫球（或球体）球面是一个曲面，只有面积，而球是一个封闭的几何体，有表面积，也有体积。
球面也可以看作与定点（球心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。
2．球的截面性质（见下表）（1） 用一个平面截球，截面是一个圆面。
球面被过球心的平面截得的圆叫做大圆， 被不过球心的截面得的圆叫做小圆。
（2） 球心和截面圆心的连线垂直于截面。
（3） 球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r ，有下面的关系：22d R r -=3．球面的距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度称为两点的球面距离。
球面上两点距离不能通过解三角形直接求得，一般地是先求出大圆半径R 和这两点在大圆上的劣弧所对的圆心角θ，再求出弧长L =R θ．4．①纬线是与赤道所在平面平行的截面圆，纬线上的度数叫做纬度，纬度是纬线上的点与球心联线和赤道所在平面所成的角的度数，即线面角的度数。
地球上某一点M 的纬度是指线段OM （O 是球心）与赤道平面所成的角θ的度数，若点M 在北半球，就是北纬多少度；若点M 在南半球，就是南纬多少度，纬度是线与面之间的角。
②经线是地球面上从北极到南极的半个大圆，经线上的度数叫做经度，经度的概念与二面角的度数有关。
经度差是经线与地轴所确定平面的两个半平面的二面角大小，即二面角。
地球上某一点M 的经度是由经过地轴与本初子午线确定的半平面线地轴旋转到点M 所形成的二面角ϕ的度数，若旋转是向东进行的，则点M 的经度就是东经多少度，若旋转是向西进行的，则点M 的经度就是西经多少度，经度是面与面之间所成的角。
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高二数学同步辅导教材（第15讲）本章主要内容8.4 双曲线的简单几何性质1、 本讲主要内容1、 双曲线的第二定义2、 双曲线的几何性质及应用3、 直线与双曲线的位置关系2、 学习指导1、 双曲线的几何性质分为两大类（1） 自身固有的几何性质：① 位置关系：中心是两焦点，两顶点的中点；焦点在实轴上；实轴与虚轴垂直；双曲线有两条过中心的渐近线；准线与实轴垂直；② 数量关系：实轴长、虚轴长、焦距分别为2a，2b，2c。
两准线之间距离为； 焦准距（焦参数）；③ 离心率，e>1，e越大，双曲线开口越阔。
（2） 解析性质（与坐标系有关），列表比较如下：焦点在x轴上的双曲线焦点在y轴上的双曲线方（a>0，b>0）（a>0，b>0）程顶（±a，0），（0，±b）（0，±a），（±b，0）点焦F1（-c，0），F2（c，0）F1（0，-c），F2(0，c)点准x=±y=±线渐近y=±y=±线对称关于x轴、y轴轴对称，关于原点中心对称性范|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R 围焦半径P在左支：|PF1|=-a-ex0,|PF2|=a-ex0P在右支：|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0-aP在下支：|PF1|=-a-ey0，|PF2|=a-ey0P在上支：|PF1|=ey0+a，|pF2|=ey0-a2、双曲线的第二定义与椭圆第二定义相同，见教材P112.例3。
第一定义与第二定义的关系见前面椭圆内容。
3、直线与双曲线的位置关系研究完全类似于直线和椭圆。
但由于双曲线多了渐近线，因此当直线与双曲线有一个公共点时，其位置有两种情形：一是直线与双曲线相切，此时直线与双曲线方程联立消元后所得关于x（或y）的二次方程的判别式△=0；二是直线与双曲线相交，具体地说，也就是直线与双曲线的渐近线平行。
此时直线与双曲线方程联立消元之后所得关于x（或y）的方程为一次方程。
直线与双曲线相交时，基本处理途径有二：一是列方程组；二是用点差法。
不管是哪一种途径，都要强化设而不求的思想。
4、在（a>0，b>0）中，若a=b，则双曲线为等轴双曲线，其离心率。
5、 双曲线与称为共轭双曲线。
5、它们的实轴顶点和虚轴顶点互换；它们的焦点共圆；它们的离心率e1、e2满足=1。
6、已知双曲线方程为，则其渐近线方程为；若已知渐近线方程为，则对应的双曲线方程为3、 典型例题例1、直线l：ax+by-3a=0与双曲线只有一个公共点，求直线l的方程。
解题思路分析：含字母的问题应分类讨论。
本题在化简直线方程的过程中，需对b (或a)讨论；在直线方程与双曲线方程联立消元后，需对方程的类型进行讨论。
由ax+by-3a=0得：by=-ax+3a（1）当b=0时，a≠0，∴x=3，代入得y=0，∴此时直线l：x=3与双曲线只有一个公共点（3，0）；（2）当b≠0时，直线l方程为由得(4b2-9a2)x2+54a2x-9(a2+4b2)=0①当4b2-9a2=0，时，方程可化为x=3，∴y=0，∴此时直线l：与双曲线只有一个公共点；②当4b2-9a2≠0时，由已知得△=0，但△=542a4+36(4b2-9a2)(4b2+9a2)=36×1664>0 恒成立∴ 此时直线l与双曲线必相交综上所述，满足条件的直线l共有三条：x-3=0，2x±3y-6=0注：含参数的直线l方程若化简为a(x-3)+6y=0，则可知l必定点（3，0），因（3，0）正好为双曲线实轴顶点。
所以过此点的切线x=3及过此点与渐近线平行的直线y=均与双曲线只有一个公共点。
由此可见，重视几何图形特征分析会简化计算。
例2、双曲线H的一条渐近线过点P（2，1），两准线间的距离为，求H的标准方程。
解题思路分析：用待定系数法。
注意对焦点位置进行分类讨论。
（i） 当焦点在x轴上时，设H：，则其渐近线为∴解之得：∴ H方程为（ii）当焦点在y轴上时，同理可求得双曲线方程为。
例3、双曲线H的离心率为e，左、右焦点为F1、F2，能否在H的左支上找到点P，使|PF1|是P到右准l1的距离d1与|PF2|的等比中项。
解题思路分析：本题称为开放性题型，需要首先对结论作出是否存在的判断。
通常总是肯定结论成立，然后求出满足条件的元素，如本题点P。
设双曲线H：（a>0，b>0），P(x0，y0)，x0≤-a则|PF1|=-a-ex0=，|PF2|=a-ex0代入|PF1|2=d1·|PF2|得：整理得：∵ 点P在左支上∴ x0≤-a∴ ≤∴≤-a∴ e2-2e-1≤0∴ 1<e≤当e∈（1，1+]时，能在H的左支上找到点P，其横坐标为注：本题以点P坐标为参数，得到了结论：若满足条件的双曲线存在，则双曲线有无数多条。
实际上，根据双曲线的两个定义，在|PF1|、d1、|PF2|中可任选一个量作为参数。
例如选择d1为参数∵∴ |PF1|=ed1∵ |PF2|-|PF1|=2a∴ |PF2|=2a+|PF1|=2a+ed1代入|PF1|2=d1·|PF2| 得：(ed1)2=d1(2a+ed1)∴ d1=由双曲线的几何性质，双曲线左支上的点P到左准线最短距离为∴ 若点P存在，则d1≥a-∴ ≥∴ ≥整理得：e2-2e-1≤0。
下略所以涉及到焦半径的问题，同学们一定要充分利用定义。
同时要利用双曲线的几何性质。
例4、直线l：y=kx+2与双曲线C：x2-y2=6的右支交于不同两点，求实数k的取值范围。
解题思路分析：根据双曲线的几何性质，双曲线C：x2-y2=6右支上的点满足x≥，因此l与C方程联立而成的方程组的解是有条件的，仅由△>0不能正确反映l与C的位置关系。
法一：由得：(1-k2)x2-4kx-10=0∵ 1-k2≠0∴ 方程可等价化为令f(x)=则方程f(x)=0在区间[，+∞）上有两个不同的根利用函数与方程的思想，得到对应的函数f(x)的示意图∴解之得：法二：对于法一中的不等式组，同学们可以发现运算性很大，因此应进一步地思考，有没有更加简单的方法。
观察双曲线的位置特征，可以发现双曲线在x∈（0，）之间无曲线，所以若直线与双曲线的右支相交，则就是与双曲线在y轴右侧部分相交；反之亦然。
∴ 法一中的方程f(x)=0在[，+∞）有两个根f(x)=0在（0，+∞）上有两个根。
下用韦达定理或函数图象均可∴∴∴注：本题在讨论方程(1-k2)x2-4kx-10=0的区间根时，为了避免讨论函数f(x)=(1-k2)x2-4kx-10的开口方向，在1-k2≠0时，两边同除以1-k2，将二次项系数转化为常数项。
因1-k2≠0，否则直线与双曲线只有一解。
例5、如图，直线l交双曲线及其渐近线于A、B、C、D，求证：|AB|=|CD|。
解题思路分析：若求AB、CD长度，显然运算量较大。
考虑将该结论等价转化为易证其它结论。
取BC中点M，则|MB|=|MC|若|AB|=|CD|，则|AB|+|MB|=|CD|+|MC|∴ |MA|=|MD|即M为AD中点，逆之亦成立，所以|AB|=|CD|BC与AD中点重合，下用韦达定理即可。
若AB斜率不存在，由双曲线及渐近线对称性命题为真设直线l：y=kx+m（k）由得：(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0设B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC中点M(x0，y0)则x0=同理由得AD中点N的横坐标∴又 M、N在同一直线上∴ M与N重合∴ |MA|=|MD|，|MC|=|MB|∴ |AB|=|CD|注：本题在求B、C两点中点坐标时，用的是韦达定理，在求AD中点时，也用的是韦达定理，其技巧是将两条渐近线看成是一条二次曲线，也就是说，两条相交直线可看成是二次曲线的退化。
即二次曲线为，当然若分别求A、D坐标也可以，就是增加了运算量。
五、同步练习（1） 选择题1、双曲线与椭圆有相同的焦点,它的一条渐近线为y=-x，则双曲线方程为A、x2-y2=96B、y2-x2=160C、x2-y2=80D、y2-x2=246、 焦点为（0，6）且与双曲线有相同渐近线的方程是A、 B、 C、 D、3、已知双曲线的实轴的一个端点为A1，虚轴的一个端点为B1，且|A1B1|=5，则双曲线的方程是A、 B、 C、 D、4、双曲线的焦点到准线的距离是A、 B、 C、 D、5、中心在原点，离心率为的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为A、 B、 C、 D、6、双曲线的渐近线为，则双曲线的离心率为A、 B、 C、 D、7、准线方程为y=±1，离心率为的双曲线方程是A、2x2-2y2=1B、x2-y2=2C、y2-x2=2D、y2-x2=-28、双曲线4x2-9y2=36上一点P到右焦点的距离为3，则点P到左准线的距离为A、 B、 C、 D、9、双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为A、 B、 C、 D、10、与椭圆共焦点，且两准线间的距离为的双曲线方程为A、 B、 C、 D、（2） 填空题11、经过两点P1(-3，)，P2(-，-7)的双曲线方程是________________。
12、经过点M（10，），两条渐近线方程是的双曲线的方程是__________。
13、双曲线的右支上有A、B、C三个不同的点，若A、B、C关于右焦点的三条焦半径成等差数列，则它们的横坐标m、n、p满足的关系式是____________。
14、双曲线上有点P，F1、F2是双曲线的焦点，且∠F1PF2=，则△F1PF2的面积是____________。
15、双曲线的离心率为，则实数m的值是________。
（3） 解答题16、双曲线H：，过点P（1，1）的直线l与H只有一个公共点，求l的方程。
17、过点P(1,1)作双曲线的弦,使点P恰为弦的中点,可能吗?为什么?18、中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率的双曲线H过点P（6，6）动直线l过△A1PA2的重心G，且交H于M、N两点，MN中点为Q，问l的斜率k为何值时，有A2P⊥A2Q？19、证明双曲线上任意点到两条渐近线的距离的乘积是一个定值。
20、设等轴双曲线x2-y2=a2（a>0）的两个顶点为A和B，P为双曲线上不同于A和B的任意一点，自P向x轴作垂线，垂足为Q，求证∠PAQ+∠PBQ=900。
六、参考答案（1） 选择题1、D。
设双曲线方程为y2-x2=λ（λ≠0），因椭圆焦点为（0，），∴λ>0，2λ=，λ=24。
2、B。
设双曲线方程为λ（λ≠0），∵焦点为（0，6），∴λ<0，双曲线标准方程为=1，∴-λ+(-2λ)=62，∴λ=-12，∴双曲线方程为。