江苏省南通市如皋市2022-2023学年高一下学期教学质量调研(二)数学试题

2022—2023学年度高一年级第二学期教学质量调研（二）

数学试题

一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1i)1i z −=

+，则z 的实部是（ ）

A ．1−

B ．1

C ．

D 2．函数()ln 25f x x x =+−的零点为0x ，且0(,1)x k k ∈+，k ∈Z ，则k =（ ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

3．在梯形ABCD 中，//AB DC ，45DAB ∠=°，AB BC ⊥且22AB DC ==，将梯形绕着边BC 所在的直线旋转一周，形成空间几何体的体积为（ ）

A ．7

3

π

B

C ．

D ．7π

4．已知a 、b 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）． A ．若//a α，//a β，b αβ= ，则//a b B ．若//a α，a b ⊥，则b α⊥ C ．若αβ⊥，a α⊥，//b β，则a b ⊥

D ．若//αβ，//a α，则//a β

5．已知平面向量a ，b 满足1a = ，(2cos ,2sin )b ββ=

，2a b += ，则a ，b 的夹角为（ ）

A ．

6π

B ．

3

π

C ．

23π D ．56π

6．已知P 为平行四边形ABCD 内一点，且20PA PB PC PD +++= ，若AP x AB y AD =+

，,x y ∈R ，

则23x y +=（ ） A ．

2

5

B ．1

C ．

75

D ．2

7．已知正四面体S ABC −的棱长为，点M 为平面ABC 内的动点，设直线SM 与平面ABC 所成的角为

θ，若sin θ∈，则点M 的轨迹所形成平面图形的面积为（ ） A ．

4

π

B ．π

C ．2π

D ．4π

8．已知角α，β满足

tan 2tan αβ=，0,2πβ

∈

，则sin()αβ−的最大值为（ ）

A ．

1

6

B ．13

C ．12

D ．1

二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多

项是符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的有（ ） A ．若tan tan A B <，则A B <

B ．若A B >，则cos 2cos 2A B <

C ．若2

C π

>

，则222sin sin sin C A B >+

D ．若ABC △为锐角三角形，则tan tan 1A B <

10．已知复数11i z =−，复数2i z x y =+，x ，y ∈R ，1z ，2z 所对应的向量分别为1OZ ，2OZ

，其中O

为坐标原点，则（ ）

A ．若12//OZ OZ

，则0x y +=

B ．若12//OZ OZ ，则21

z

z ∈R

C ．若12OZ OZ ⊥

，则120z z =

D ．若12OZ OZ ⊥

，则1212z z z z +=−

11．2023年3月是全国“两会”举办之月，首都北京到处悬挂着五角红旗，五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，设O 是正五边形ABCDE 的中心，则下列说法正确的是（ ）

A ．AE ED D

B OE OD ++=−

B ．()0AO AD A

C ⋅−=

C ．212

CD CE CE ⋅=

D ．3AC AD AO +=

12．在直三棱柱111ABC A B C −中，90CAB ∠=°，1

2AC AB AA ===，点M ，N 分别是11B C ，1A A 的中点，则下列说法正确的是（ ） A ．1B C ⊥平面1A MB

B ．异面直线1A

C 与1A M 所成的角为45°

c ．若点P 是11A C 的中点，则平面BNP

D ．点Q 是底面三角形ABC 内一动点（含边界），若二面角1B A M Q −−

Q

的轨迹

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．已知复数51i z =+，则2z =________． 14．求值：

tan 62tan 88tan 210tan 62tan 88°+°+°

=°°

________．

15．已知函数()y f x =的表达式为()25x f x x =+−，用二分法计算此函数在区间[]1,2上零点的近似值，第一次计算(1)f ，(2)f 的值，第二次计算1()f x 的值，第三次计算2()f x 的值，则2x =________． 16．如图，平面四边形ABCD 中，ABD △是边长为3的等边三角形，BC BD ⊥，2BC =，将ABD △沿BD 进行翻折，折成三棱锥A BCD −，且二面角A BD C −−的大小为6

π

．则点A 到平面BCD 的距离为

________；三棱锥A BCD −的外接球的表面积为________．

四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

已知向量(2sin sin cos )a

x x x +

,，(cos cos ))b

x x x −

，()f x a b =⋅

，若角α满足

02

π

α<<

，且()12

f α

=−．

（1）求α的值； （2）若02

π

β<<

，且1

cos()3

αβ+=−，求sin β．

18．（本小题满分12分）

在下面二个条件中任意选一个填在下面的横线上，并完成试题（如果多选，以选①评分）． ①1

cos 2

b

a C c +；

②22sin (sin sin )2sin sin()cos 3

A B C B C B C π

−−=+

．

在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若________． （1）求A ；

（2）若cos cos b C c B +，2b =，求c ．