广西壮族自治区南宁市第三中学2023届高三模拟数学(理)试题(一)

一、单选题
1. 下列函数中是奇函数的是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
2. 设集合
，
，则
（ ）
A
．B
．C
．
D
．
3.
已知
，且
，则
（ ）
A ．1
B
．C
．D
．
4. 连续向上抛一枚硬币五次，设事件“没有连续两次正面向上”
的概率为，设事件“没有连续三次正面向上”的概率为
，则下列结论正确的
是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
5. 如图，在
中，是
的中点，
与
交于点
，则
（
）
A
．B
．C
．D
．
6.
四棱锥
的底面为正方形，底面
，
，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则的长
为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D
．
7.
已知椭圆
及圆O ：
，如图，过点
与椭圆相切的直线l 交圆O 于点A
，若 ，则椭圆离心
率的为（
）
A
．B
．C
．D
．
8. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.
若椭圆
的中心为原点，焦点
，
均在轴上，的面积为
，且短轴长为
，则的标准方程为（ ）
广西壮族自治区南宁市第三中学2023届高三模拟数学（理）试题（一）
二、多选题
A
．B
．C
．D
．
9. 已知直线
与曲线相切，则
的最小值为（ ）
A
．B
．C
．D
．
10.
已知函数
的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，
则
的图象（ ）
A ．关于点
对称
B ．关于
对称
C ．关于点
对称
D ．关于
对称
11. 中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：
，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信
息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N
的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中
真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比从1000提升至5000，则C 大约增加了（
）（附：
）
A ．20%
B ．23%
C ．28%
D ．50%
12. 已知
，
，
，则
（ ）
A
．B
．C
．
D
．
13.
如图，已知
，
，分别以
为直径作半圆弧，D 是半圆弧的中点，E 为半圆弧上靠近点C
的三等分点，则向量
在向量
上的投影向量为（
）
A
．B
．C
．D
．
14.
椭圆
的左焦点为
为上顶点，为长轴上任意一点，且
在原点的右侧，若
的外接圆圆心为，
且
，椭圆离心率的范围为
A
．B
．C
．D
．
15.
设
，则
（ ）
A ．5
B
．
C ．6
D
．
16.
已知
为等边三角形，
，设点，满足
，
，
与
交于点
，则
（ ）
A
．
B
．
C ．1
D ．2
17. 已知函数
在区间内存在两个极值点
，则（ ）
A
．B
．
三、填空题
C
．D
．
18. 设无穷数列为正项等差数列且其前n 项和为
，若
，则下列判断正确的是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
19.
已知函数
的定义域为
的导函数
的图象关于
中心对称，且函数
在
上单调递增，若
且
，则（ ）
A
．B
．C
．D
．
20. 历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet )，当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定
义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829
年给出了著名函数：
(其中为有理数集，
为无
理数集)，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念､性质､结构”.
一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：
(其中
，且
)
，以下对
说法错误的是（ ）
A
．定义域为B
．当时，
的值域为；当时，
的值域为
C
．为偶函数D ．是一个具有最小正周期的周期函数
21. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ）
A
．B
．C
．D
．
22. 下列关于点、线、面位置关系的命题中正确的是（ ）
A ．若两个平面有三个公共点，则它们一定重合
B ．空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内
C ．两条直线，分别和异面直线，都相交，则直线，可能是异面直线，也可能是相交直线
D ．正方体
中，点是的中点，直线交平面于点
，则
，，三点共线，
且，
，，
四点共面
23. 下列选项中正确的是（ ）
A
．若平面向量，满足，则的最大值是5；B
．在
中，，，O 是的外心，则的值为4；C
．函数
的图象的对称中心坐标为D ．已知P 为
内任意一点，若
，则点P 为
的垂心；
24. 在正方体
中，分别为，，，，
的中点，则（ ）
A ．
平面B ．
平面
C ．平面
平面
D ．平面
平面
25. 已知向量
，，，若向量
与共线，则向量在向量方向上的投影为______．
26.
已知函数
的两条对称轴之间距离的最小值为4，将函数的图象向右平移1个单位长度后得到函数
的
图象，则
___________.
四、解答题
27. ________．
28.
已知正的边长为2，PQ 为内切圆O 的一条直径，M 为
边上的动点，则
的取值范围为______________.
29.
已知点，，，均在球的球面上，
，，若三棱锥
体积的最大值是，则球的表面积为__________
30. 在平面直角坐标系：
中，，
，
，若P 为圆
上一动点，且，则的取值范围
是_______.
31. 小张计划从个沿海城市和
个内陆城市中随机选择
个去旅游，则他至少选择个沿海城市的概率是__________.
32. 在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好
评.设随机变量，记
，
.
在研究
的最大值时，小组同学发现：若
为正整数，
则
时，
，此时这两项概率均为最大值；若
为非整数，当取
的整数部分，则
是唯一的最大值.以此
为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为____________的概率最大.
33. （1）求值：
；
（2）已知
，求
的值.
34.
已知函数
（Ⅰ）将函数
化简成
的形式，并指出
的周期；（Ⅱ
）求函数
上的最大值
和最小值
35. 已知椭圆C ：（
）的离心率为，左顶点A 到右焦点的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于不同两点
，（不同于A ），且直线
和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹
方程.
36. 随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设
计，得到以下的
列联表：
更关注保暖性能
更关注款式设计合计
女性16080240男性12040160合计
280
120
400
附：
．
0.100.05
0.0102.706
3.841
6.635
(1)是否有95%的把握认为男性和女性在选购羽绒服时的关注点有差异？
(2)若从被调查的更关注保暖性能的人中按男女比例用分层抽样的方法抽取7人进行采访，再从这7人中任选2人赠送羽绒服，求这2人都是女
五、解答题
性的概率．
37.
在数列
中，，且
.
(1)求的通项公式；
(2)若
，数列的前
项和为
，求
38. 化简求值：
（1
）（2
）已知
，
，求
的值；
39.
一天，小锤同学为了比较
与
的大小，他首先画出了
的函数图像，然后取了离1.1很近的数字1
，计算出了在x =1处的
切线方程，利用函数
与切线的图像关系进行比较.
（1）请利用小锤的思路比较与
大小
（2）现提供以下两种类型的曲线
，试利用小锤同学的思路选择合适的曲线，比较
的大小.
40. 如图为一块直四棱柱木料，其底面
满足：，
．
(1)
要经过平面
内的一点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明）
(2)若
，
，当点
是矩形
的中心时，求点
到平面
的距离．
41. 一般地，任何一个复数
（，）都可以表示成
形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，
向量
所在射线（射线
）为终边的角，叫做复数
的辐角，
叫做复数
的三角表示式，简称三角形式.为
了与“三角形式”区分开来，
（
，
）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式
”.
(1)画出复数对应的向量，并把
表示成三角形式；(2)已知
，
，
，其中
，
.
试求（结果表示代数形式）.
42. 某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场
和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司年至
年的年利润关于年份代号的统计数据如下表（已知该公司的
年利润与年份代号线性相关）.
六、解答题
年份
年份代号年利润（单位：亿
元）
（Ⅰ）求关于的线性回归方程，并预测该公司
年（年份代号记为）的年利润；
（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为
级利润年，否则称为级利润年.将（Ⅰ）中预测的该公司年的年利润视作该年利润的实际值，现从
年至
年这
年中随机抽取年，求恰有年为级利润年的概
率.
参考公式：，
.
43. 某校从参加邵阳市数学竞赛的学生中随机抽取20名学生的数学成绩(均为整数)整理后分成六
，画出
如图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求这20名学生中分数在
内的人数；
(2)若从成绩大于或等于80分的学生中随机抽取2人，求恰有1
名学生成绩在区间
内的概率.
44. 已知四棱锥
中，底面
为直角梯形，平面
，
，，，，为中
点，过
，
，
的平面截四棱锥
所得的截面为
．
(1)若
与棱交于点，画出截面，保留作图痕迹（不用说明理由），并证明
．
(2)求多面体
的体积．
45. 已知双曲线C ：
（a >0,b >0）的左、右焦点分别为
、
，离心率为3，直线y =2与C 的两个交点间的距离为.
（Ⅰ）求a ,b ；（Ⅱ）设过
的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，且
，证明：
、
、
成等比数列.
46. 在如图所示的六面体中，面是边长为2的正方形，面
是直角梯形，
.
七、解答题
（1
）求证：平面；（2）若二面角
为
，点P 在线段
上，当二面角
的余弦值为
时，求
.
47. 已知函数
，其中.
（1）若不等式
的解集为
，求实数，的值；（2）在（1
）的条件下，若
，
，且
，求证：
.
48. 在△
ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，．
(1)求证：；
(2)若
，
，求△
ABC 的面积．
49. 如图,
在平面直角坐标系中,已知抛物线的焦点为,
点
是第一象限内抛物线上的一点,
点
的坐标为
（1）若,求点的坐标;
（2）若为等腰直角三角形,且,求点的坐标;
（3
）弦
经过点,过弦
上一点作直线
的垂线,垂足为点,求证:“直线
与抛物线相切”的一个充要条件是“为弦
的中点”.
50. 已知函数
在
处取得极小值.
（1）求实数的值；（2）当
时，求证
.
51. 甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：
甲6699乙
7
9
x
y
(1)已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4
局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求
的
值；
(2)如果，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为
，求的概率；
(3)在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值．（结论不要求证明）
52. 随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下
的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：
分组频数（单位：
名）
使用“余额宝”
使用“财富通”
使用“京东小金
库”
80
使用其他理财产
品
120
合计1200
已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多200名.
（1）求频数分布表中的值；
（2）已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为，“财富通”的平均年化收益率为.若在1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取5人，然后从这5人中随机选取2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为，求的分布列及数学期望.
注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息.
53. 某种病菌在某地区人群中的带菌率为，目前临床医学研究中已有费用昂贵但能准确检测出个体是否带菌的方法. 现引进操作易、成本低的新型检测方法: 每次只需检测两项指标，若指标的值大于 4 且指标的值大于 100，则检验结果呈阳性，否则呈阴性. 为考查该
检测方法的准确度，随机抽取 50 位带菌者(用 “*” 表示)和 50 位不带菌者(用 “+” 表示)各做 1 次检测，他们检测后的数据，制成如下统计图:
阳性阴性总计
带菌
不带菌
总计
(1)根据独立性检验，完成列联表，判断是否有以上的把握认为 “带菌” 与 “检测结果呈阳性” 有关?
(2)现用新型检测方法，对该地区人群进行全员检测，用频率估计概率，求每个被检者 “带菌” 且 “检测结果呈阳性” 的概率.
附：.
0.0500.0100.001
3.841 6.63510.828
54.
日销售量1 1.52
频数102515
八、解答题
频率
0.2
某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：（1）填充上表；
（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立.①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；
②已知每吨该商品的销售利润为2千元，
表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列.
55. 长绒棉是世界上纤维品质最优的棉花，也是全球高端纺织品及特种纺织品的重要原料，新疆具有独特的自然资源优势，是我国最大的长
绒棉生产基地，产量占全国长绒棉总产量的95%以上，新疆某农科所为了研究不同土壤环境下长绒棉的品质，选取甲、乙两地实验田进行种植，在棉花成熟后采摘，分别从甲、乙两地采摘的棉花中各随机抽取50份样本，测定其马克隆值，整理测量数据得到下表（单位：份）：
马克
隆值甲地247101485乙地
7
9
10
11
7
4
2
棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一，根据现行国家标准规定，马克隆值可分为，，三级，
级品质最好，级为标准级，级品质最差，其分类标准如下表所示：
马克隆值
或
或
级别
(1)现从甲地这50
份样本的马克隆值为级或级的棉花中，利用分层抽样的方法，随机抽取6份，再从这6份中随机抽取3份作其它质量指标
检测，求这3
份中取到级品1份，级品2份的概率；
(2)完成下面列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为该品种棉花的马克隆值级别与土壤环境有关？
级或
级
级合计
甲地乙地合计
附：
0.050
0.0100.001k
3.841
6.635
10.828
56. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回
答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
57. 如图，已知椭圆
与等轴双曲线
共顶点，过椭圆
上一点P （2，-1）作两直线与椭圆
相交于
相异的两点A ，B ，直线PA ，PB 的倾斜角互补.直线AB 与x ，y 轴正半轴相交，分别记交点为M ，N .
(1)若的面积为，求直线AB的方程；
(2)若AB与双曲线的左､右两支分别交于Q，R，求的范围.
58. 某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了 40 名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：，，，，，得到如图所示的频
率分布直方图：
（1）求的值；
（2）求抽取的40名学生中月上网次数不少于15次的人数；
（3）再从月上网次数不少于20 次的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率.
59.
如图，四棱锥中，，，，，，，为中点.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
60. 某电视节目为选拔出现场录制嘉宾，在众多候选人中随机抽取名选手，按选手身高分组，得到的频率分布表如图所示.
(1)请补充频率分布表中空白位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
(2)为选拔出舞台嘉宾，决定在第、、组中用分层抽样抽取人上台，求第、、组每组各抽取多少人？
(3)在（2）的前提下，电视节目主持人会在上台人中随机抽取人表演节目，求第组至少有一人被抽取的概率？
组号分组频数频率
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
合计
61.
已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线ax＋2by－ab＝0相切．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如图，过F 1作直线l与椭圆分别交于P，Q两点，若△PQF2的周长为4，求的最大值．
62. 已知椭圆（），四点，，，中恰有三点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上是否存在异于的两点M，N使得直线与的斜率之和与直线MN的斜率（不为零）的2倍互为相反数？若存在，请判断直
线MN是否过定点；若不存在，请说明理由．。