运筹学作业题
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1 0 （4）、x1 的系数列向量由 变为 ； 12 5
（5）、增加一个约束条件③： 2 x1 3x2 5 x3 50 ； （6）、将原约束条件②改变为： 10 x1 5 x2 10 x3 100 。 十二、灵敏度分析 某工厂生产 A、B、C 三种产品，设 x、y、z 分别为三种产品的产量，为制定 最优生产计划建立如下模型。
x1 2 x2 2 x3 1 2
其最优解是否变化？如变化，试求出最优解。 十、灵敏度分析
Max z x1 2x2 2 x1 x2 2 给出线性规划问题： x1 2 x2 7 的最优单纯形表： s.t. 3 x1 x1 , x2 0
的最优解及其最优目标值。 十一、灵敏度分析 有线性规划问题：
Max z 5 x1 5 x2 13 x3 x1 x2 3 x3 20 s.t. 12 x1 4 x2 10 x3 90 x , x , x 0 1 2 3
请进行如下条件的灵敏度分析： （1）、约束条件①的右端常数由 20 变为 30； （2）、约束条件②的右端常数由 90 变为 70； （3）、目标函数中 x3 的系数由 13 变为 8；
四、分别用图解法和单纯形表法求解线性规划问题，并指出每一个单纯形表所 对应的可行域的顶点
Max z 100x1 200x2 x1 x2 500 x 200 1 s.t. x1 3 x2 600 x1 , x2 0
五、用大 M 法求解线性规划问题，并对照图解法演示大 M 法过程
Max z 4x1 6x2 +2x3 5 4 x1 4 x2 x 6 x 5 （3）、 1 2 s.t. x1 x2 x3 5 x1 , x2 , x3 0, 且x3为整数
十八、解下列指派问题 （1）、四个人去完成四项任务，每人完成任务的时间消耗见表 4，问如何分 配任务使得总时间消耗最少？ 表4 工人 A 甲 乙 丙 丁 58 75 65 82 B 69 50 70 55 C 180 150 170 200 D 260 230 250 280 任务
6
Min z Pd P d P d
1 1
2 2
3 3
Min z P 1 d1 d2 P 2 d3 P 3d 4
Min z P 1 2d1 3d 2 P 2 d3 P 3d 4
x1 x2 d1 d1 10 x1 d 2 d 2 4 （3）、 s.t. 5 x1 3 x2 d3 d3 56 x1 x2 d 4 d 4 12 x , x , d , d 0 i 1, 2,3, 4 1 2 i i
cj →
CB xB x2
x1
1
2
x2
0
x3
0
x4
0
x5
b
5 3 3
x1
2 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
1/2 0 -1/2 -1
1/2 1 3/2 -2
3
x3
（1）、写出其对偶规划。 （2）、找出对偶问题的最优解。 （3）、写出最优基矩阵 B 及其逆阵 B-1。
2 （4）、若约束条件右端项变为 b 12 ，其最优基是否变化？求出变化后 2
Min z x1 3x2 5 x3
Max z c j x j
j 1
n
n aij x j bi j 1 （3）、 n s.t. aij x j bi j 1 x j 0 x j 无约束
i 1,
, m1 m ,m
三、用图解法求解下列线性规划问题，并说明解的类型
Max z 50 x1 100 x2 x1 x2 300 （1）、 2 x1 x2 400 s.t. x2 250 x1 , x2 0
Max z 3 x1 9 x2 x1 3 x2 22 x x 4 1 2 （2）、 s.t. x2 6 2 x 5 x 0 2 1 x , x 0 1 2
i m1 1, m1 2, j 1, , n1 n
j n1 1, n1 2,
,n
八、用对偶单纯形法求解线性规划问题
Min z 5 x1 2 x2 4 x3 3 x1 x2 2 x3 4 s.t. 6 x1 3 x2 5 x3 10 x , x , x 0 1 2 3
九、灵敏度分析
Max z 6 x1 2x2 12 x3 4 x1 x2 +3x3 24 s.t. 2 x1 6 x2 +3x3 30 x , x , x 0 1 2 3
给出下列线性规划：
的最优单纯形表：
2
cj →
CB xB x3
s2
6
2
x2
12
x3
0
十七、用割平面法求解下列整数规划问题
Max z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 s.t. 2 x1 x2 9 x , x 0且为整数 1 2
（1）、
Max z 10x1 8x2 +
19 x3 11x4 8
1 3 x1 4 x2 4 x3 15.5 （2）、 7 1 1 9 1 s.t. x1 x2 x3 x4 2 8 8 2 4 x1 , x2 , x3 , x4 0 x , x , x 为整数 1 2 3
B1
B2
B3
B4
B5 10 6 4 5 4
产量 5 6 2 9
10 2 1 8 4
20 10 20 6 4
5 8 7 3 6
9 30 10 7 2
5
表2 销地 产地 A1 A2 A3 A4 A5 销量
B1
B2
B3
B4
B5 22 16 M 19 34 80
产量 100 120 140 80 60
10 13 0 9 24 100
4
（2）、在原最优计划基础上进行如下分析： ①、由于市场需求变化，产品 B 的利润可能发生变化，试求出保持最优生产 计划不变的产品 B 单位利润的变化范围；若产品 B 单位利润由 2 变为 5，求相应 的最优生产计划。 ②、由于原材料市场变化，原材料 1 的供应从 100 单位降至 50 单位，此时 是否会影响最优生产计划？若存在影响，求新的最优生产计划。 ③、由于技术改进，生产产品 C 的三种原材料单位消耗由原来的 4、6、2 依 次变为 2、2、1，求相应的最优生产计划。 十三、对偶理论问题 已知线性规划问题：
Max z x1 2 x2 x1 x2 2 x x 1 1 2 s.t. x2 3 x1 , x2 0
1
六、分别用大 M 法及两阶段法求解下列线性规划问题
Max z 3 x1 x2 x3 x1 2 x2 +x3 11 （1）、 4 x1 x2 +2x3 3 s.t. x3 1 2x1 x1 , x2 , x3 0
s1
0
s2
b
8 6
x1
12 0
4/3 -2 -10
1/3 5 -2
1 0 0
1/3 -1 -4
0 1 0
其中，s1、s2 分别为第 1、2 约束方程的松弛变量。 （1）、试求出最优基不变的 b2 变化范围。 （2）、试求出最优解不变的 c3 变化范围。 （3）、在原线性规划约束条件之上，增加下面的约束条件：
Max z 3 x1 2 x2
（2）、
2 x1 x2 2 s.t. 3 x1 4 x2 12 x , x 0 1 2
七、写出线性规划问题的对偶问题
Max z 3 x1 7 x2 5 x3 8 x4 8 x5 x2 x3 3 x4 4 x5 16 2 2 x1 6 x2 x3 30 2 x1 3 x2 3 x3 2 x4 x 4 x 3 x 20 2 x3 2 x4 5 （1）、 1 （2）、 x1 2 3 s.t. s.t. 2 x1 10 x1 x2 x3 4 x1 0, x2 0, x3无约束 5 x2 25 x3 , x4 0, x5无约束
十六、用图解法求解目标规划
Байду номын сангаас
x1 x2 d1 d1 400 x1 x2 d1 d1 10 x1 2 x2 d2 d2 500 （1）、 2 x1 x2 d2 d2 26 （2）、 s.t. s.t. x1 d3 d3 300 x1 2 x2 d3 d3 6 x , x , d , d 0 i 1, 2,3 0.4 x1 0.3 x2 d4 d4 300 1 2 i i x , x , d , d 0 i 1, 2,3, 4 1 2 i i
Max z x1 2x 2 4x3
（2）、
2x1 x2 +3x3 =20 s.t. 3x1 x2 +4x3 =25 x , x 0, 2 x 6 3 1 2
二、求出下面线性规划问题的所有基解、基可行解和最优解
Min z 4 x1 +12x2 18 x3 +3x3 x4 =3 x1 s.t. 2 x2 +2x3 x5 =5 x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5
18 M 6 11 28 120
29 21 11 23 36 100
13 14 3 18 30 60
十五、运输问题 甲、乙、丙三个城市每年需要煤炭分别为 320、250、350 万吨，由 A、B 两 个煤矿负责供应，已知两个煤矿产量为 400、450 万吨，调运单价如下表 3 所示。 由于需求大于供给，经多方协商达成以下协议，甲城市供煤量可减少 0-30 万吨， 乙城市用煤量要完全满足， 丙城市供煤量不少于 270 万吨。 请给出满足上述条件 的最优资源分配计划。 表3 甲 A B 15 21 乙 18 25 丙 22 16
Max z 4 x 2 y 3z 2 x 2 y 4 z 100 3 x y 6 z 100 s.t. 3 x y 2 z 120 x, y , z 0 原材料1约束 原材料2约束 原材料3约束
（1）、用单纯形法求解最优生产计划；
运筹学作业题
一、将下列线性规划问题化为标准型
Max z 2 x1 3 x2 5 x3 x1 x2 x3 5 （1）、 6 x1 7 x2 9 x3 16 s.t. 19 x1 2 x2 5 x3 13 x , x 0, x 符号不限 3 1 2
Max z 2 x1 4 x2 x3 x4 x1 3 x2 x4 8 6 2 x1 x2 s.t. x1 x2 x3 9 x2 x3 x4 6 x j 0, j 1, 2,3, 4
（1）、写出该线性规划问题的对偶问题； （2）、已知原问题的最优解：X*=(2,2,4,0)T，试根据对偶问题的性质，求出 对偶问题的最优解。 十四、求出下列运输问题的最优解 表1 销地 产地 A1 A2 A3 A4 销量
（5）、增加一个约束条件③： 2 x1 3x2 5 x3 50 ； （6）、将原约束条件②改变为： 10 x1 5 x2 10 x3 100 。 十二、灵敏度分析 某工厂生产 A、B、C 三种产品，设 x、y、z 分别为三种产品的产量，为制定 最优生产计划建立如下模型。
x1 2 x2 2 x3 1 2
其最优解是否变化？如变化，试求出最优解。 十、灵敏度分析
Max z x1 2x2 2 x1 x2 2 给出线性规划问题： x1 2 x2 7 的最优单纯形表： s.t. 3 x1 x1 , x2 0
的最优解及其最优目标值。 十一、灵敏度分析 有线性规划问题：
Max z 5 x1 5 x2 13 x3 x1 x2 3 x3 20 s.t. 12 x1 4 x2 10 x3 90 x , x , x 0 1 2 3
请进行如下条件的灵敏度分析： （1）、约束条件①的右端常数由 20 变为 30； （2）、约束条件②的右端常数由 90 变为 70； （3）、目标函数中 x3 的系数由 13 变为 8；
四、分别用图解法和单纯形表法求解线性规划问题，并指出每一个单纯形表所 对应的可行域的顶点
Max z 100x1 200x2 x1 x2 500 x 200 1 s.t. x1 3 x2 600 x1 , x2 0
五、用大 M 法求解线性规划问题，并对照图解法演示大 M 法过程
Max z 4x1 6x2 +2x3 5 4 x1 4 x2 x 6 x 5 （3）、 1 2 s.t. x1 x2 x3 5 x1 , x2 , x3 0, 且x3为整数
十八、解下列指派问题 （1）、四个人去完成四项任务，每人完成任务的时间消耗见表 4，问如何分 配任务使得总时间消耗最少？ 表4 工人 A 甲 乙 丙 丁 58 75 65 82 B 69 50 70 55 C 180 150 170 200 D 260 230 250 280 任务
6
Min z Pd P d P d
1 1
2 2
3 3
Min z P 1 d1 d2 P 2 d3 P 3d 4
Min z P 1 2d1 3d 2 P 2 d3 P 3d 4
x1 x2 d1 d1 10 x1 d 2 d 2 4 （3）、 s.t. 5 x1 3 x2 d3 d3 56 x1 x2 d 4 d 4 12 x , x , d , d 0 i 1, 2,3, 4 1 2 i i
cj →
CB xB x2
x1
1
2
x2
0
x3
0
x4
0
x5
b
5 3 3
x1
2 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
1/2 0 -1/2 -1
1/2 1 3/2 -2
3
x3
（1）、写出其对偶规划。 （2）、找出对偶问题的最优解。 （3）、写出最优基矩阵 B 及其逆阵 B-1。
2 （4）、若约束条件右端项变为 b 12 ，其最优基是否变化？求出变化后 2
Min z x1 3x2 5 x3
Max z c j x j
j 1
n
n aij x j bi j 1 （3）、 n s.t. aij x j bi j 1 x j 0 x j 无约束
i 1,
, m1 m ,m
三、用图解法求解下列线性规划问题，并说明解的类型
Max z 50 x1 100 x2 x1 x2 300 （1）、 2 x1 x2 400 s.t. x2 250 x1 , x2 0
Max z 3 x1 9 x2 x1 3 x2 22 x x 4 1 2 （2）、 s.t. x2 6 2 x 5 x 0 2 1 x , x 0 1 2
i m1 1, m1 2, j 1, , n1 n
j n1 1, n1 2,
,n
八、用对偶单纯形法求解线性规划问题
Min z 5 x1 2 x2 4 x3 3 x1 x2 2 x3 4 s.t. 6 x1 3 x2 5 x3 10 x , x , x 0 1 2 3
九、灵敏度分析
Max z 6 x1 2x2 12 x3 4 x1 x2 +3x3 24 s.t. 2 x1 6 x2 +3x3 30 x , x , x 0 1 2 3
给出下列线性规划：
的最优单纯形表：
2
cj →
CB xB x3
s2
6
2
x2
12
x3
0
十七、用割平面法求解下列整数规划问题
Max z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 s.t. 2 x1 x2 9 x , x 0且为整数 1 2
（1）、
Max z 10x1 8x2 +
19 x3 11x4 8
1 3 x1 4 x2 4 x3 15.5 （2）、 7 1 1 9 1 s.t. x1 x2 x3 x4 2 8 8 2 4 x1 , x2 , x3 , x4 0 x , x , x 为整数 1 2 3
B1
B2
B3
B4
B5 10 6 4 5 4
产量 5 6 2 9
10 2 1 8 4
20 10 20 6 4
5 8 7 3 6
9 30 10 7 2
5
表2 销地 产地 A1 A2 A3 A4 A5 销量
B1
B2
B3
B4
B5 22 16 M 19 34 80
产量 100 120 140 80 60
10 13 0 9 24 100
4
（2）、在原最优计划基础上进行如下分析： ①、由于市场需求变化，产品 B 的利润可能发生变化，试求出保持最优生产 计划不变的产品 B 单位利润的变化范围；若产品 B 单位利润由 2 变为 5，求相应 的最优生产计划。 ②、由于原材料市场变化，原材料 1 的供应从 100 单位降至 50 单位，此时 是否会影响最优生产计划？若存在影响，求新的最优生产计划。 ③、由于技术改进，生产产品 C 的三种原材料单位消耗由原来的 4、6、2 依 次变为 2、2、1，求相应的最优生产计划。 十三、对偶理论问题 已知线性规划问题：
Max z x1 2 x2 x1 x2 2 x x 1 1 2 s.t. x2 3 x1 , x2 0
1
六、分别用大 M 法及两阶段法求解下列线性规划问题
Max z 3 x1 x2 x3 x1 2 x2 +x3 11 （1）、 4 x1 x2 +2x3 3 s.t. x3 1 2x1 x1 , x2 , x3 0
s1
0
s2
b
8 6
x1
12 0
4/3 -2 -10
1/3 5 -2
1 0 0
1/3 -1 -4
0 1 0
其中，s1、s2 分别为第 1、2 约束方程的松弛变量。 （1）、试求出最优基不变的 b2 变化范围。 （2）、试求出最优解不变的 c3 变化范围。 （3）、在原线性规划约束条件之上，增加下面的约束条件：
Max z 3 x1 2 x2
（2）、
2 x1 x2 2 s.t. 3 x1 4 x2 12 x , x 0 1 2
七、写出线性规划问题的对偶问题
Max z 3 x1 7 x2 5 x3 8 x4 8 x5 x2 x3 3 x4 4 x5 16 2 2 x1 6 x2 x3 30 2 x1 3 x2 3 x3 2 x4 x 4 x 3 x 20 2 x3 2 x4 5 （1）、 1 （2）、 x1 2 3 s.t. s.t. 2 x1 10 x1 x2 x3 4 x1 0, x2 0, x3无约束 5 x2 25 x3 , x4 0, x5无约束
十六、用图解法求解目标规划
Байду номын сангаас
x1 x2 d1 d1 400 x1 x2 d1 d1 10 x1 2 x2 d2 d2 500 （1）、 2 x1 x2 d2 d2 26 （2）、 s.t. s.t. x1 d3 d3 300 x1 2 x2 d3 d3 6 x , x , d , d 0 i 1, 2,3 0.4 x1 0.3 x2 d4 d4 300 1 2 i i x , x , d , d 0 i 1, 2,3, 4 1 2 i i
Max z x1 2x 2 4x3
（2）、
2x1 x2 +3x3 =20 s.t. 3x1 x2 +4x3 =25 x , x 0, 2 x 6 3 1 2
二、求出下面线性规划问题的所有基解、基可行解和最优解
Min z 4 x1 +12x2 18 x3 +3x3 x4 =3 x1 s.t. 2 x2 +2x3 x5 =5 x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5
18 M 6 11 28 120
29 21 11 23 36 100
13 14 3 18 30 60
十五、运输问题 甲、乙、丙三个城市每年需要煤炭分别为 320、250、350 万吨，由 A、B 两 个煤矿负责供应，已知两个煤矿产量为 400、450 万吨，调运单价如下表 3 所示。 由于需求大于供给，经多方协商达成以下协议，甲城市供煤量可减少 0-30 万吨， 乙城市用煤量要完全满足， 丙城市供煤量不少于 270 万吨。 请给出满足上述条件 的最优资源分配计划。 表3 甲 A B 15 21 乙 18 25 丙 22 16
Max z 4 x 2 y 3z 2 x 2 y 4 z 100 3 x y 6 z 100 s.t. 3 x y 2 z 120 x, y , z 0 原材料1约束 原材料2约束 原材料3约束
（1）、用单纯形法求解最优生产计划；
运筹学作业题
一、将下列线性规划问题化为标准型
Max z 2 x1 3 x2 5 x3 x1 x2 x3 5 （1）、 6 x1 7 x2 9 x3 16 s.t. 19 x1 2 x2 5 x3 13 x , x 0, x 符号不限 3 1 2
Max z 2 x1 4 x2 x3 x4 x1 3 x2 x4 8 6 2 x1 x2 s.t. x1 x2 x3 9 x2 x3 x4 6 x j 0, j 1, 2,3, 4
（1）、写出该线性规划问题的对偶问题； （2）、已知原问题的最优解：X*=(2,2,4,0)T，试根据对偶问题的性质，求出 对偶问题的最优解。 十四、求出下列运输问题的最优解 表1 销地 产地 A1 A2 A3 A4 销量