不定方程综合题

不定方程

专题解析：

当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x-3y=9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制的条件，那么它的解的个数就是有限的了。如上面列的5x-3y=9的解有：

x=2.4 x=2.7 x=3 x=3.06 x=3.6 ……

y=1 y= 1.5 y=2 y=2.1 y=3 ……

这样的解有无数个，但是如果限定x，y的解是小于5的正整数，那么解就只有x=3，y=2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。

解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后在一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数前面系数的特点，尽量未知数的取值范围，减少试验的次数。

对于有三个未知数的不定方程组，可用消去法把它转化为二元一次不定方程后再求解。

解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）去适当的值。

例1、求3x＋5y＝50的整数解。

跟踪练习：

1、求x＋2y＝10的整数解。

2、求不定方程 2x+3y=17 的所有自然数解。

3、求4x＋5y＝48的非0整数解。

4.求不定方程 8x+9y=100 的所有自然数解。

例2、求方程x＋2y＋4z＝10的整数解。

1、求方程2x＋y＋5z＝12的整数解。

2、求3x＋4y＋5z＝20的所有非零整数解。

3、求方程6x＋5y＋3z＝30的所有非零整数解。

例3、求方程组的非零整数解。

消元化简：在处理多元的不定方程当中，一般通过联立各个方程，消去那些暂时不用或者限制条件较少的未知数，将多元方程组转化成二元的整系数不定方程进行处理。

跟踪练习：

1、求方程组的整数解。

2、求方程组的非零整数解。

例4、明明带了 5 元钱去买橡皮和圆珠笔，橡皮每块 4 角，圆珠笔每支 1 元 1 角，问 5 元钱刚好买几块橡皮和几支圆珠笔？

1、六年级一班全体团员坐在凳子和椅子上开会，每个凳子有 3 条腿，每把椅子有 4 条腿，共有 35 条腿（包括人腿在内）.问六年级一班共有几名团员？

2、工程队要铺设 78 米长的地下排水管道，仓库中有 3 米和 5 米长的两种管子。问：工程队可以有多少种不同的取管方法？

3、在一个盒子里装有蜻蜓和蜘蛛若干只，共有 46 只脚。问盒子里的蜻蜓和蜘蛛各有多少只？

例5、用10元钱买25支笔。已知毛笔每支2角，彩色笔每支4角，钢笔每支9角。问每种笔各买几支（每种都要买）？

跟踪练习：

1、买3种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？（答案限整数）

2、口袋里有红黄蓝三种颜色的小球共 26 个，其中蓝色小球数是黄色小球数的9 倍，蓝色小球共有多少个？

3、小敏在文具店买了三种贴纸：普通贴纸每张8角，荧光贴纸每张1元，高级贴纸每张2元。她一共用了12.2元。那么，小敏的三种贴纸的总数最少是多少张？

例6、某人打靶，8发打了53环，全部命中在10环、7环和5环上。他命中10环、7环和5环各几发？

跟踪练习：

1、某次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发6支，二等奖每人发3支，三等奖每人发2支。后来又改为一等奖每人发9支，二等奖每人发4支，三等奖每人发1支。问一、二、三等奖的学生各几人？

2、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个，价值24元。已知煮蛋每个0.6元，茶叶蛋每个1元，皮蛋每个1.2元。问篮子里最多有几个皮蛋？

1、求不定方程 11x+4y=93 的所有自然数解。

2、求不定方程 5x+6y=49 的所有自然数解。

3、求方程组的整数解。

4、某国硬币有5分和7分两种，如果要用硬币支付142分货款，有几种方案？

5、有一次，小红问小军的生日，小军说：“把我的月份数乘以18，日期数乘以12的和只要等于108就行了。试用最单的方法算出小军的生日是几月几日？

6、一元钱买12张邮票，其中有四分的、八分的，也有二角的，问各买了几张？

7、大客车有 39 个座位，小客车有 30 个座位，现在有 267 位乘客，要使每位乘客都有座位且没有空座位，需大小客车各几辆？

8、甲乙二人植树，甲每天植 18 棵，乙每天植 21 棵，两人共植了 135 棵树。问甲乙二人各植了几天？

9、一个大学生发现自己 1998 年的年龄正好等于他出生那一年的年份的末两位数字之和。问这个大学生 2008 年多少岁？

10、小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为2元、0.8元、0.3元。小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？

11、某水果店运来桔子、苹果、香蕉共15筐，价值860元，已知每箱桔子40元，每箱苹果50元，每箱香蕉70元，三种水果各运多少箱？

12、甲乙二人搬书，甲搬的本数是 18 的倍数，乙搬的本数是 23 的倍数，两人共搬了 300 本。甲乙二人谁搬的书多？多几本？

13、14个金珠、银珠、铜珠共重 100 克，金珠每个重 12 克，银珠每个重 8 克，铜珠每个重 5 克。问：金珠、银珠、铜珠各多少个？

14、妈妈用 28.6 元钱买回苹果、梨和桔子共 10 千克，苹果每千克 4 元，梨每千克 3.2 元，桔子每千克 2.2 元。问：苹果、梨和桔子各买多少千克？

15、（白鸡问题）“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买白鸡，问翁、母、雏各几何？”

16、有三部自动换币机，其中甲机能将一枚硬币换成 2 枚其他硬币；乙机能将一枚硬币换成 4 枚其他硬币；丙机能将一枚硬币换成 10 枚其他硬币。小明共进行了 12 次换币，便将一枚硬币换成了 81 枚，问小明在这三部自动换币机上各换了多少次？

17、一个两位数除以 5，所得的商和余数相等，求适合条件的这些两位数。