2021年四川省自贡市高考数学三诊试卷(理科)(解析版)

2021年四川省自贡市高考数学三诊试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|＜0}，则A∩B＝（）
A．{x|2＜x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x＜4}D．{x|1＜x＜4} 2．若复数﹣a为纯虚数（i是虚数单位），则实数a＝（）
A．﹣5B．﹣2C．2D．5
3．设x∈R，向量＝（x，1），＝（1，﹣2），且∥，则|+|＝（）A．B．C．D．5
4．有专业机构认为某流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增死疑似病例数据，一定符合该标志的是（）
A．甲地：总体均值为4，中位数为3
B．乙地：总体均值为5，总体方差为12
C．丙地：中位数为3，众数为2
D．丁地：总体均值为3，总体方差大于0
5．执行下面的程序框图，如果输出的n＝4，则输入的t的最小值为（）
A．B．C．D．
6．已知α满足，则＝（）
A．3B．﹣3C．D．
7．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为（）A．B．
C．D．
8．已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列命题中错误的是（）
A．AE⊥平面PAB
B．直线PD与平面ABC所成角为45°
C．平面PBC与平面PEF的交线与直线AD不平行
D．直线CD与PB所成的角的余弦值为
9．如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为α，沿倾角为β的斜坡向上走b米到B处，在B 处测得山顶P的仰角为γ（A、B、P、Q共面）则山高P等于（）米．
A．
B．
C．
D．
10．已知四面体P﹣ABC中，∠PAC＝∠PBC＝∠ABC＝90°，且AB＝2．若四体P﹣ABC 的外接球体积为36π，则当该四面体的体积最大时，BC＝（）
A．2B．4C．6D．8
11．已知函数f（x）＝（其中e是自然对数的底数），若a＝f（21.5），b＝f（40.8），c＝f（log2），则a，b，c的大小关系为（）
A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜a＜c
12．已知f（x）＝2sin2（ωx+）﹣1（ω＞0），给出下列结论：
①若f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|min＝π，则ω＝1；
②存在ω∈（0，2），使得f（x）的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴
对称；
③若f（x）在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为[]；
④若f（x）在[]上单调递增，则ω的取值范围为（0，]．
其中，所有正确结论的编号是（）
A．①②B．②③C．①③D．②④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若变量x，y满足约束条件，则该约束条件组确定的平面区域的面积为．14．已知（x+1）n的展开式二项式系数和为128，则＝．15．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过F作C的一条渐近线的
垂线l，垂足为A，l与C的另一条渐近线的交点为B，若A是线段FB的中点，则双曲线C的离心率为．
16．函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+2g（x）＝e x，若对任意x∈（0，2]，不等式f（2x）﹣mg（x）≥0成立，则实数m的取值范围是．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
17．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣1，数列{b n}是等差数列，且b1＝a1，b6＝a5．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）若c n＝，记数列{c n}的前n项和为T n，证明：T n＜8．
18．如图1，由正方形ABCD、直角三角形ABE和直角三角形CDF组成的平面图形，其中AB＝AE＝DF＝2，将图形沿AB、CD折起使得E、F重合于P，如图2．
（1）判断图2中平面PAB和平面PCD的交线l与平面ABCD的位置关系，并说明理由；
（2）求二面角B﹣PC﹣D大小的余弦值．
19．在一次产品质量抽查中发现，某箱5件产品中有2件次品．
（1）从该箱产品中依次不放回随机抽取2件产品，求抽到次品的概率；
（2）若独立重复进行（1）试验3次，设抽到的2件产品中含次品的次数为X，求X的分布列和期望；
（3）若独立重复进行（1）的试验10次，则最有可能出现次品的次数是多少？
20．已知平面上动点P到点F（1，0）的距离比点P到y轴的距离大1，设动点P的轨迹为曲线C，若点A（1，n）（n＞0），点B在曲线C上，且满足（O为坐标原点）．
（1）求曲线C的方程及点B坐标；
（2）过点B引圆（x﹣4）2+y2＝r2（0＜r＜2）的两条切线BP，BQ，切线BP、BQ与抛物线C的另一交点分别为P、Q，线段PQ中点的纵坐标记为t，求t的取值范围．21．已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝x﹣2sin x．
（1）求g（x）在（0，π）的极值；
（2）证明：h（x）＝f（x）﹣g（x）有且只有两个零点．
（二）选考题：共10分.考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝，直线l与曲线C的交点为A，B．
（1）求曲线C的直角坐标方程及α＝时|AB|的值；
（2）设点P（﹣1，1），求的最大值．选做题。

23．已知f（x）＝|x+a|+|x﹣b|（a＞0，b＞0）．（1）当a＝b＝1时，解不等式f（x）≥8﹣x2；
（2）若f（x）的最小值为2，求的最小值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|＜0}，则A∩B＝（）
A．{x|2＜x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x＜4}D．{x|1＜x＜4}
解：∵A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，
∴A∩B＝{x|2＜x≤3}．
故选：A．
2．若复数﹣a为纯虚数（i是虚数单位），则实数a＝（）
A．﹣5B．﹣2C．2D．5
解：∵﹣a＝＝
＝＝2﹣a+i为纯虚数，
∴2﹣a＝0，即a＝2．
故选：C．
3．设x∈R，向量＝（x，1），＝（1，﹣2），且∥，则|+|＝（）A．B．C．D．5
解：根据题意，向量＝（x，1），＝（1，﹣2），
若∥，则﹣2x＝1，解可得x＝﹣，
则＝（﹣，1），故+＝（，﹣1），
则|+|＝＝，
故选：A．
4．有专业机构认为某流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增死疑似病例数据，一定符合该标志的是（）
A．甲地：总体均值为4，中位数为3
B．乙地：总体均值为5，总体方差为12
C．丙地：中位数为3，众数为2
D．丁地：总体均值为3，总体方差大于0
解：对于A，均值为4，中位数为3，不能保证10个数据中每个数据都不超过15，∴A不符合该标志；
对于B，均值为5，方差为12时，假设有一个数据为16，其余数据均相等，
则16+9x＝10×5x≈4s＝[（16﹣5）2+9×（4﹣5）2]＝13＞12，
∴假设不成立，即所有数据不超过15，B符合该标志；
同理，对于C、D，都不能保证10个数据中每个数据不超过15，
∴C、D也不符合题意．
故选：B．
5．执行下面的程序框图，如果输出的n＝4，则输入的t的最小值为（）
A．B．C．D．
解：执行下面的程序框图，已知S＝1，n＝0，m＝；
执行循环体
S＝，m＝，n＝1；
S＝，m＝，n＝2；
S＝，m＝，n＝3；
S＝，m＝，n＝4；
如果输出的n＝4，则输入的t的最小值为．
故选：C．
6．已知α满足，则＝（）
A．3B．﹣3C．D．
解：∵＝（sinα+cosα），即sinα+cosα＝，
平方可得1+2sinαcosα＝，∴sin2α＝﹣，
故＝•＝sin2α＝﹣，
故选：D．
7．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为（）A．B．
C．D．
解：∵焦点F1，F2在y轴上，
∴可设椭圆标准方程为，
由题意可得，
∴，即，
∵△F2AB的周长为32，
∴4a＝32，则a＝8，
∴，
∴椭圆方程为．
故选：B．
8．已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列命题中错误的是（）
A．AE⊥平面PAB
B．直线PD与平面ABC所成角为45°
C．平面PBC与平面PEF的交线与直线AD不平行
D．直线CD与PB所成的角的余弦值为
解：对于A，∵PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴AE⊥PA，
∵六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，∴AE⊥AB，
∵PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴PE⊥平面PAB，故A正确；
对于B，∵六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，
∴PA⊥AD，PA＝AD，∴∠PDA＝45°是直线PD与平面ABC所成角，故B正确；
对于C，∵EF∥AD∥BC，EF⊂平面PEF，BC⊂平面PBC，
∴平面PBC与平面PEF的交线与直线AD平行，故C错误；
对于D，设AB＝1，则PA＝2，AE＝＝，
PE＝，BE＝2，PB＝，
∵CD∥BE，∴∠PBE是是直线CD与PB所成的角（或所成角的补角），
∴直线CD与PB所成的角的余弦值为：
cos∠PBE＝＝，故D正确．
故选：C．
9．如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为α，沿倾角为β的斜坡向上走b米到B处，在B 处测得山顶P的仰角为γ（A、B、P、Q共面）则山高P等于（）米．
A．
B．
C．
D．
解：如图所示，
△PAB中，∠PAB＝α﹣β，∠BPA＝（﹣α）﹣（﹣γ）＝γ﹣α，
∴＝，即PB＝．
∴PQ＝PC+CQ＝PB•sinγ+b sinβ＝+b sinβ＝，∴山高P等于米．
故选：A．
10．已知四面体P﹣ABC中，∠PAC＝∠PBC＝∠ABC＝90°，且AB＝2．若四体P﹣ABC 的外接球体积为36π，则当该四面体的体积最大时，BC＝（）
A．2B．4C．6D．8
解：如图，
由∠PAC＝∠PBC＝∠ABC＝90°，得PA⊥AC，PB⊥BC，AB⊥BC，
又PB∩AB＝B，∴BC⊥平面PAB，则BC⊥PA，
又AC∩BC＝C，∴PA⊥平面ABC．
取PC中点O，可得OA＝OB＝OP＝OC，
则O为四面体P﹣ABC的外接球的球心，设外接球的半径为R，
由外接球体积为36π，得，即R＝3．
∴PC＝2R＝6．
又AB＝2，设PA＝a，BC＝b，
则PA2+AC2＝PA2+AB2+BC2＝36，即a2+b2＝32．
∴．
当且仅当a＝b＝4时上式取等号．
故选：B．
11．已知函数f（x）＝（其中e是自然对数的底数），若a＝f（21.5），b＝f（40.8），c＝f（log2），则a，b，c的大小关系为（）
A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜a＜c
解：根据题意，函数f（x）＝，其定义域为R，
有f（﹣x）＝＝f（﹣x），则函数f（x）为偶函数，
当x≥0时，f（x）＝﹣，函数y＝e x+e﹣x在[0，+∞）上为增函数，则函数y ＝为减函数，
又由y＝﹣为减函数，
则f（x）＝﹣在区间[0，+∞）上为减函数，
由于0＜21.5＜40.8＝21.6，
所以f（21.5）＞f（40.8），即a＞b；
利用排除法，
故选：D．
12．已知f（x）＝2sin2（ωx+）﹣1（ω＞0），给出下列结论：
①若f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|min＝π，则ω＝1；
②存在ω∈（0，2），使得f（x）的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴
对称；
③若f（x）在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为[]；
④若f（x）在[]上单调递增，则ω的取值范围为（0，]．
其中，所有正确结论的编号是（）
A．①②B．②③C．①③D．②④
解：∵f（x）＝2sin2（ωx+）﹣1＝﹣cos（2ωx+）＝sin（），
∴f（x）的最小正周期为．
对于①，由f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|min＝π，知最小正周期为T＝2π，
∴2ω＝，，故①错误；
对于②，图象变换后所得函数为y＝sin（2ωx+），
若其图象关于y轴对称，则，k∈Z，解得ω＝1+3k，k∈Z，
当k＝0时，ω＝1，
故存在ω∈（0，2），使得f（x）的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；
故②正确；
对于③，由，k∈Z，得x＝，k∈Z，
若f（x）在[0，2π]上恰有7个零点，则≤2π＜，
解得ω∈[），故③错误；
对于④，由，k∈Z，
得，k∈Z，
取k＝0，可得，
若f（x）在[]上单调递增，则，解得0＜ω≤，
故④正确．
故选：D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若变量x，y满足约束条件，则该约束条件组确定的平面区域的面积为4．
解：不等式组表示的平面区域如图：
阴影部分是三角形，A（1，1），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），
阴影部分的面积为：×4×2＝4．
故答案为：4．
14．已知（x+1）n的展开式二项式系数和为128，则＝﹣1．解：由已知可得2n＝128，解得n＝7，
所以二项式（x+1）7＝（1+x）7的展开式的通项公式为T，
令x＝﹣2，则二项式的展开式为C+.....+C＝C＝（1﹣2）7＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为A，l与C的另一条渐近线的交点为B，若A是线段FB的中点，则双曲线C的离心率为2．
解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），过F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为A，
所以AF的方程为：y＝，与bx+ay＝0联立，
可得A（﹣，），
l与C的另一条渐近线的交点为B，若A是线段FB的中点，
可得B（，），代入bx﹣ay＝0，可得：，c2＝4a2，
则双曲线C的离心率为e＝2．
故答案为：2．
16．函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+2g（x）＝e x，若对任意x∈（0，2]，不等式f（2x）﹣mg（x）≥0成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，4]．
解：根据题意，函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f（x）+2g （x）＝e x，①
可得f（﹣x）+2g（﹣x）＝e﹣x，即f（x）﹣2g（x）＝e﹣x，②
联立①②，解得f（x）＝（e x+e﹣x），g（x）＝（e x﹣e﹣x），
设t＝e x﹣e﹣x，
由x∈（0，2]，可得e x∈（1，e2]，由t＝e x﹣e﹣x在x∈（0，2]递增，可得t∈（0，e2﹣e﹣2]，对任意x∈（0，2]，不等式f（2x）﹣mg（x）≥0成立，即m≤＝
＝2×＝2×＝2×（t+），
又由t∈（0，e2﹣e﹣2]，则t+≥2，当且仅当t＝时等号成立，
则＝2×＝2×＝2×（t+）的最小值为4，
若m≤在（0，2]上恒成立，必有m≤4，
即m的取值范围为（﹣∞，4]；
故答案为：（﹣∞，4]．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
17．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣1，数列{b n}是等差数列，且b1＝a1，b6＝a5．
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）若c n＝，记数列{c n}的前n项和为T n，证明：T n＜8．
解：（1）由S n＝2a n﹣1，可得n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣1，
解得a1＝1，
n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣1，又S n＝2a n﹣1，
两式相减可得a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣1﹣2a n﹣1+1，
即有a n＝2a n﹣1，
可得数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以a n＝2n﹣1；
设等差数列{b n}的公差为d，且b1＝a1＝1，b6＝a5＝16，
可得d＝＝3，
所以b n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；
（2）证明：c n＝＝（3n﹣2）•（）n﹣1，
T n＝1•（）0+4•（）1+7•（）2+...+（3n﹣2）•（）n﹣1，
T n＝1•（）+4•（）2+7•（）3+...+（3n﹣2）•（）n，
两式相减可得T n＝1+3•[+（）2+...+（）n﹣1]﹣（3n﹣2）•（）n
＝1+3•﹣（3n﹣2）•（）n，
化简可得T n＝8﹣（3n+4）•（）n﹣1．
因为（3n+4）•（）n﹣1＞0，
所以T n＜8．
18．如图1，由正方形ABCD、直角三角形ABE和直角三角形CDF组成的平面图形，其中AB＝AE＝DF＝2，将图形沿AB、CD折起使得E、F重合于P，如图2．
（1）判断图2中平面PAB和平面PCD的交线l与平面ABCD的位置关系，并说明理由；（2）求二面角B﹣PC﹣D大小的余弦值．
解：（1）平面PAB和平面PCD的交线l∥平面ABCD．
理由如下：∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴AB∥平面PCD，
AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l，∴AB∥l，
而AB⊂平面ABCD，l⊄平面ABCD，
∴l∥平面ABCD；
（2）由图1可知，AB⊥AE，CD⊥DF，
则图2中，AB⊥PA，AB⊥PD，
∵PA∩PD＝P，∴AB⊥平面PAD，而AB⊂平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，取AD中点O，BC中点G，
以O为坐标原点，分别以OG、OD、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则B（2，﹣1，0），C（2，1，0），D（0，1，0），P（0，0，），
，，，
设平面PBC的一个法向量为，
由，取z＝2，得；
设平面PCD的一个法向量为，
由，取z1＝1，得．
∴cos＜＞＝＝．
由图可知，二面角B﹣PC﹣D为钝角，∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为．
19．在一次产品质量抽查中发现，某箱5件产品中有2件次品．
（1）从该箱产品中依次不放回随机抽取2件产品，求抽到次品的概率；
（2）若独立重复进行（1）试验3次，设抽到的2件产品中含次品的次数为X，求X的分布列和期望；
（3）若独立重复进行（1）的试验10次，则最有可能出现次品的次数是多少？
解：（1）记“从该箱产品中依次不放回随机抽取2件抽到次品”为事件A，则：
＝；
（2）由题得X服从二项分布，即X～B（3，0.7），其分布列为
，
∴X的期望为E（X）＝np＝3×0.7＝2.1；
（3）最有可能出现次品的次数是7次，理由如下：
设出现次品的次数η，则η～B（10，0.7），P（η＝k）＝（k＝0，
1，2，3，...，10），
由＝（k＝1，2，3，...，10），
∴k＜7.7时，P（η＝k）＞P（η＝k﹣1）；k＞7.7时，P（η＝k）＜P（η＝k﹣1），∴η＝7时，P（η＝k）最大．
20．已知平面上动点P到点F（1，0）的距离比点P到y轴的距离大1，设动点P的轨迹为曲线C，若点A（1，n）（n＞0），点B在曲线C上，且满足（O为坐标原点）．
（1）求曲线C的方程及点B坐标；
（2）过点B引圆（x﹣4）2+y2＝r2（0＜r＜2）的两条切线BP，BQ，切线BP、BQ与抛物线C的另一交点分别为P、Q，线段PQ中点的纵坐标记为t，求t的取值范围．解：（1）设P（x，y），
根据题意可得＝|x|+1，
化简得y2＝2|x|+2x，
当x＜0时，y＝0，不合题意，
当x≥0时，y2＝4x，
所以曲线C的方程为y2＝4x，
设B（，y0），
因为，
所以（﹣1，0）+（﹣1，y0）＝2（0，n），
所以，
解得y02＝8，
因为n＞0，
所以n＝＝2，
所以曲线C的方程为y2＝4x，B（2，2）．
（2）由（1）可知B（2，2），
设切线BP的方程为y＝k1（x﹣2）+2，
则圆心（4，0）到切线AP的距离d＝＝r，
所以（4﹣r2）k12+8k1+8﹣r2＝0，
设切线BQ的方程为y＝k2（x﹣2）+2，
同理可得（4﹣r2）k22+8k2+8﹣r2＝0，
所以k1，k2是方程（4﹣r2）k2+8k+8﹣r2＝0的两根，所以k1+k2＝，k1k2＝，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，得k1y2﹣4y﹣8k1+8＝0，所以2y1＝，
所以y1＝﹣2+，
同理y2＝﹣2+，
所以t＝＝
＝﹣2+2•（+）
＝﹣2+2•
＝﹣2+2•
＝﹣2﹣，
因为0＜r＜2，
所以﹣2﹣∈（﹣6，﹣4）．
所以t的取值范围为（﹣6，﹣4）．
21．已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝x﹣2sin x．
（1）求g（x）在（0，π）的极值；
（2）证明：h（x）＝f（x）﹣g（x）有且只有两个零点．
解：（1）由g′（x）＝1﹣2cos x＝0，x∈（0，π），知
单减，单增，
∴，无极大值；
（2）证明：，当在（0，π）单减，
∵，
∴存在，
∴x∈（0，x0），h'（x）＞0；x∈（x0，π），h'（x）＜0，
∴h（x）极大值＝h（x0），而，
∴h（x）＝f（x）﹣g（x）在（0，π）有且只有两个零点；
当x∈[π，2π），2sin x≤0，h（x）＝lnx﹣x+2sin x≤lnx﹣x，
设，
∴lnx﹣x≤lnπ﹣π＜0，
∴h（x）＝f（x）﹣g（x）在[π，2π）没有零点；
当x∈[2π，+∞），2sin x≤2，h（x）＝lnx﹣x+2sin x≤lnx﹣x+2，设
单减，
∴t（x）≤t（2π）＝ln2π﹣2π+2＜lne2﹣2π+2＝4﹣2π＜0，即h（x）在[2π，+∞）没有零点，
∴h（x）＝f（x）﹣g（x）有且只有两个零点．
（二）选考题：共10分.考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题计分.
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝，直线l与曲线C的交点为A，B．
（1）求曲线C的直角坐标方程及α＝时|AB|的值；
（2）设点P（﹣1，1），求的最大值．
解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ2＝，
根据，转换为直角坐标方程为，
当α＝时，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），
转换为直角坐标方程为x＝﹣1．
所以，由，解得，
所以|AB|＝3．
（2）把直线的参数方程，代入，
得到（3+sin2α）t2+（8sinα﹣6cosα）t﹣5＝0，
故，故t1、t2的符号相反，
由此时的几何意义可得：||PA|﹣|PB||＝||t1|﹣|t2||＝|t1+t2|，
＝2|sin（α﹣φ）|的最大值为2．
选做题。

23．已知f（x）＝|x+a|+|x﹣b|（a＞0，b＞0）．
（1）当a＝b＝1时，解不等式f（x）≥8﹣x2；
（2）若f（x）的最小值为2，求的最小值．
解：（1）a＝b＝1时，f（x）＝|x+1|+|x﹣1|，
x＞1时，f（x）＝2x，问题转化为2x≥8﹣x2，解得：x≥2或x≤﹣4，
﹣1≤x≤1时，f（x）＝2，问题转化为2≥8﹣x2，解得：x≥或x≤﹣，x＜﹣1时，f（x）＝﹣2x，问题转化为﹣2x≥8﹣x2，解得：x≥4或x≤﹣2，综上，不等式的解集是{x|x≤﹣或x≥}；
（2）f（x）＝|x+a|+|x﹣b|≥|x+a﹣x+b|＝|a+b|＝a+b＝2，
故a+2+b＝4，即[（a+2）+b]＝1，\
故
＝（）[（a+2）+b]
＝（2+++）
≥（2+2+）
＝，
当且仅当a+2＝2b即a＝，b＝时“＝”成立，
故的最小值是．。