8章相量法

j ＝ 0， 同相
0
i
规定： |j |
wt
j /2：u 超前 i /2，正交
例 解
计算下列两正弦量的相位差。
结论
两个正弦 量进行相位比 较时应满足同 频率、同函数、 同符号，且在 主值范围比较。
(1) i1 (t ) 10 cos(100π t 3π 4) i2 (t ) 10 cos(100π t π 2)
F | F | e | F | (cos j sin ) a jb F | F | e
j
指数式
三角函数式
F | F | e | F |
j
极坐标式
2. 复数运算
① 加减运算 —— 采用代数式 若 则 Im F2 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) F1+F2 Im F1+F2 F2
相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i

j >0， u超前i j 角，或，i 滞后 u j 角； j <0， i 超前 u j 角，或，u 滞后 i j 角。
等于初相位之差
u, i
u i 0
yu
wt yi j
特殊相位关系
u u i 0 0 i
wt
wt
u
j = (180o ) ，反相
（4）正弦信号的和、差、导数及积分仍是同频率的正弦信号，其
分析计算最简单。 交流电在工业生产和日常生活中 应用极为广泛，即使必须采用直流电 的场合，如化工、交通、通信等，往 往也是利用整流设备将交流电变换为 直流电。
8.1 正弦量
1. 正弦量
瞬时值表达式
u, i
ψi
u i
ψu
i(t)=Imcos(wt+yi) u(t)=Umcos(wt+yu)
wT 2
w 2 f 2 T
(3-1) 初相位ψ i(t)=Imcos(ωt+ψi)
相位角 (ωt+ψ) 大小决定该时刻正弦量的值。当 t=0 时，
相位角(ωt+ψ)=ψ，称ψ为初相位角，简称初相位。 决定正弦量的初始值。 i T
ψi
0
wt
注意
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
0
j
wt
正弦量为周期函数
f(t)=f (t+kT )
2. 正弦量的三要素 i(t)=Imcos(wt+yi)
(1) 幅值 (振幅、最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。 (2) 角频率ω
相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。
w 2π f 2π T
(3) 初相位y
单位： rad/s ，弧度/秒
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536
③ 旋转因子 复数 ej =cos +jsin =1∠ Im Fej 旋转因子

0
F Re
Fej 相当于F逆时针旋转一个角度 ，而模不变。故把
ej 称为旋转因子。
i1 u, i
角频率 有效值 初相位
i2
i1
i1+i2 i3
i3 w
w
I1 0
i2
w
I2
w tI3 3
1
2
结论
同频率的正弦量相加减仍得到同频率的正弦量，所以， 只需确定初相位和有效值。因此，采用 正弦量 复数 变换的思想
2. 正弦量的相量表示
造一个复函数
无物理意义
F (t ) 2Iej(wt y ) 2Icos(wt y ) j 2Isin(wt y ) Re[F (t )] 2Icos(wt y ) i(t )
(3) u1 (t ) 10 cos(100π t 30 )
j 5π 4 2π 3π 4 0
i2 (t ) 3 cos(100π t 300 )
8.2 复数
1. 复数的表示形式
Im b 代数式 |F| F
F a jb
(j 1 为虚数单位 )
j

0 a Re

解 例2

I 10030 A,
o

U 220 60o V

I 5015 A，f 50Hz
试写出电流的瞬时值表达式。
解
i 50 2cos(314t 15 ) A
加一个小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正弦量
的联系)，同时也改用“相量”，而不用“向量”，是因为它表 示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦量。 看看它们的几何意义： +1 i
i
y =0
一般规定：|y | 。
0
y
wt
y =－/2
y =/2
例 已知正弦电流波形如图，角频率w＝103rad/s。
1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1 。
解
i(t ) 100cos(103 t y )
t 0 50 100cosy
π y 3
100
i
(2) i1 (t ) 10 cos(100π t 300 )
2
ji 4 (100 π2 )t π0 4 (t3 )π 10 sin( π 5 15 ) 0
0 i2 (t ) 3cos( 100 π0t 150 )w w 0 i2 (t ) cos( 100 45 105 1 2 u2 (t10 ) 10 cos( 200π πt t ) ) 0 0 0 不能比较相位差 j 30 ( 150 ) 120 0 0 01350 j 30 ( 105 ) (4) i1 (t ) 5 cos(100π t 30 )
jy
I,ψ。
正弦量对应的相量

i(t ) 2 I cos(w t y ) I Iy
注意
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u (t ) 2U cos(wt y ) U Uy
o i 141 . 4 cos( 314 t 30 )A 例1 已知 试用相量表示i，u。 u 311.1cos(314t 60o )V
注意
+j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
8.3 正弦量的相量表示
1. 问题的提出
+ 电路方程是微分方程： 2
R
u
iL
L
+
uC -
C
d uC duC LC RC uC u (t ) dt dt
两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算：
i1 2 I1 cos(w t y1 ) i2 2 I 2 cos(w t y 2 )
特殊旋转因子
π , 2 e
j π 2
jF
Im
F
π π cos j sin j 2 2
0
Re
π , e 2
π j 2
π π cos( ) j sin( ) j 2 2
-F
-jF
π , e jπ cos(π) jsin(π) 1
第8章 相量法
8.1 8.2 8.3
8.4 复数 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
重点：
1. 正弦量的表示、相位差 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式
正弦信号的优点
（1）正弦信号是最基本的一种交流信号。任何其它周期交流信号 均可用傅立叶级数展开为频率不同的正弦信号之和。 （2）正弦信号变化平滑，不易引起过电压，破坏电气设备绝缘。 （3）非正弦信号会增加电气设备运行中的能量损耗。
注意
① 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额
定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大
值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。
U=220V，Um311V；U=380V，Um537V
② 测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。 ③ 电压、电流的瞬时值、最大值、有效值:
模相除角相减
例1 547 10 25 ?
解
原式 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569 12.48 2.61

(17 j9) (4 j6) 例2 220 35 ? 20 j5

解
原式 180.2 j126.2 19.2427.9 7.211 56.3 20.6214.04 180.2 j126.2 6.72870.16
反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
(1-1) 幅值 (振幅、 最大值) Im, Um
u、i为瞬时值。瞬时值中的最大值即称为正弦量的幅值。 反映正弦量变化幅度的大小。
(1-2) 周期电流、电压有效值I, U
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平
均效果工程上采用有效值来表示。
物 理 意 义 直流I
+j
U
I


ψu
ψi
+1
3. 相量运算
① 同频率正弦量的加减
u1 (t ) 2 U1 cos(wt y 1 ) Re( 2 U 1 e jw t ) u2 (t ) 2 U 2 cos(wt y 2 ) Re( 2 U 2 e jw t )

u (t ) u1 (t ) u2 (t ) Re( 2 U 1 e ) Re( 2 U 2 e jwt ) Re( 2 U 1 e
R
交流 i
R
W RI T
2
W Ri (t )dt
2 0
T
有效值定义为：
def
均方根值
I
1 T
Hale Waihona Puke T0i (t )dt
2
1 T 2 U u ( t ) d t T 0
def
设 i(t)=Imcos(w t+ψi)
1 T 2 2 I I cos (wt y i ) dt m T 0
是一个正弦量，且有物理意义
对 F(t) 取实部
结论
任意一个正弦函数都有唯一与其对应的复数函数。
i 2Icos(wt y ) F (t ) 2Ie
j( w t y )
F(t) 还可以写成
复常数
e jwt F (t ) 2Ie e jwt 2I
F(t) 包含了三要素：I、ψ、w。复常数包含了两个要素：
y π 3
50
0 t1
t
由于最大值发生在计时起点右侧
π i (t ) 100 cos(10 t ) 3
3
当103t1 =π/3有最大值
π3 t1＝ 3 ＝1.047 ms 10
(3-2) 同频率正弦量的相位差j
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i)
i , Im , I , u , Um , U
(2-1) 角频率ω
设 i(t)=Imcos(w t+ψi) ωt+ji 称为正弦量的相位或相角。
d (wt y i ) w dt
单位： rad/s，弧度 / 秒
ω：正弦量的相位随时间变化的角速度。
(2-2) 周期T和频率f
周期T ：重复变化一次所需的时间。 频率f ：每秒重复变化的次数。 单位：s，秒 单位：Hz，赫兹
w
+j
2I
φ 0 0 t
2 I e jwt 2 Ie jj e jwt 2 Ie j (wt j )是模为 2 I , 初始角度 为j 的旋转相量, 其旋转一周在实轴上的 投影即为正弦 电流 i 2 I cos(wt j )。

相量图
在复平面上用向量表示相量的图
Iy i(t ) 2Icos(ωt y i ) I i Uy u(t ) 2Ucos(w t y u ) U u

T
0
cos (wt y i ) dt
2
T
0
1 cos 2(wt y i ) 1 1 dt t T 2 2 0 2
T
1 2 T Im I Im 0.707I m T 2 2
I m 2I
i(t ) I m cos(wt y i ) 2I cos(wt y i ) u(t ) Um cos(wt y u ) 2U cos(wt y u )
F1 0 图解法 Re 0 F1-F2
F1 Re
-F2
② 乘除运算 —— 采用极坐标式
若 则: F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2
F1 F2 F1 e j1 F2 e j 2 F1 F2 e j(1 2 ) F1 F2 1 2
模相乘角相加
F1 | F1 | θ1 | F1 | e jθ1 | F1 | j( θ1θ2 ) e jθ 2 F2 | F2 | θ2 | F2 | e | F2 | |F1| θ1 θ2 |F2|