徐州市2018学度高三年级摸底考试高三摸底数学II试题定稿含答案

绝密★启用前
徐州市 2021- 2021学年度高三年级摸底考试
数学 Ⅱ(附加题)
注 意 事
项
考生在答题前请认真阅读本考前须知及各题答题要求
1．本试卷共 2 页，均为非选择题〔第 21 题～第 23 题〕。

本卷总分值为
间为 30 分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

40 分，考试时
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用
0.5
毫米黑色墨水的签字笔填写在
试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否
相符。

4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在
其他位置作答一律无效。

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5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

ht
21．【选做题】此题包括 A 、B 、C 、 D 四小题 ，请选定其中两小题 ，并在相应的答题区域
．．．．．．．． ．．．．．．．．． 内作答 ，假设多做 ，那么按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明 、证明过程或演 ．．． 算步骤． A ． [选修 4 1：几何证明选讲 ] 〔本小题总分值 10 分〕
如图， CD 是圆 O 的切线，切点为 D ， CA 是过圆心 O 的割线且交圆 O 于 B 点，过 B
作圆 O 的切线交 CD 于点 E,DE
1
D
EC ．
E
2
求证： CA3CD ．
A
O B
C
〔第 21A 题〕
21A ．证：∵ CD 是圆 O 的切线，∴ CD 2
CA CB ，
D
连结 OD ，那么 OD CD ，
E
∵ BE 是圆 O 的切线，∴ BE DE ，
A
O
B
C
1
EC ，∴ BE
1
EC ，∴
又 DE
C 30 ，那么
2
2
〔第 21A 题〕
S 数学 Ⅱ〔附加题〕
1 页( 共 5
第页)
1
OC ， OD 2
而 OB OD ，∴ CB BO OD OA ， ∴ CA 3CB ， ··5 分
由 CA 3CB 得 CB
1
CA ，代入 CD
2
CA CB 得 CD
2
CA 1
CA ，
3
3
故 CA 3CD ．
······10 分
B ． [选修 4 2：矩阵与变换 ] 〔本小题总分
值 10 分〕
1
，假设直线 y kx+1在矩阵 A 对应的变换作用下得到的直线过点
矩阵
A
1 2
P(2,6) ，求实数 k 的值．
21B ．矩阵 A
1 0 ，得 A -1 1
0 1
1 ，
····5 分
1 2
2 2
-1
2 1 0 2 2
1 1
所以 A
6
6
，
2 2 2
将点 (2,2) 代入直线 y
kx+1 得 k 1 . ·····10 分
2
C ． [选修 4 4：坐标系与参数方程 ]〔本小题总分值 10 分〕
在极坐标系中，圆
C 的方程为
2acos (a 0) ，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正
半轴建立平面直角坐标系， 设直线 l 的参数方程为
x 5t 1
〔 t 为参数〕，假设直线 l
与
y 12t 1
圆 C 恒有公共点，求实数 a 的取值范围 .
21C ．由 x 5t 1 〔 t 为参数〕，可得直线 l 的普通方程为 12x
5 y 17 0 ，
y 12t 1
由
2a cos ( a
0) 得 2
2a cos
所以，圆 C 的标准方程为 ( x a)2 y 2
a 2
， ····5 分
因为直线 l 与圆 C 恒有公共点，所以
|12a 17 |, | a | ，
122 52
又因为 a
0 ，所以
|12 a 17 |
, a ，解之得 a ⋯
17
，
12
2
52
25
所以，实数 a 的取值范围为 a ⋯
17
． ·····10 分
25
D ． [选修 4 5：不等式选讲 ] 〔本小题总分
值
10 分〕
设 x, y 均为正数 , 且 x
y , 求证 : 2( x y 1)
1 ≥ 1.
x 2 2 xy
y 2
S
数学 Ⅱ〔附加题〕 第 2 页( 共 5 页)
21D．证明：因为x 0, y 0, x y ，所以 x y 0 ，因为
2 x y
1
x y x y
1
2≥ 3 3 x y x y
1
3 ，
2
y
2
x y x x y
当且仅当 x y 1 时等号成立，
所以 2( x y 1) 2 1
2≥ 1 ．·····10分
x 2 xy y
【必做题】第 22题、第 23题，每题 10分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写
．．．．．．．
出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．〔本小题总分值10 分〕
如图，在三棱锥 A BOC 中，OA,OB,OC两两垂直，点D,E 分别为棱 BC , AC 的中点， F 在棱AO上，且满足OF
1 OA ，AO OC 4,OB 2.
4
〔 1〕求异面直线AD 与OC所成角的余弦值；
〔 2〕求二面角 C EF D 的正弦值 .
A
E
F
O
B D C
〔第 22 题〕
S 数学Ⅱ〔附加题〕第3页(共5页)
22 1
OB,OC , OA 方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立
．〔 〕如图，以 O 为原点，分别以 空间直角坐标系 .依题意可得： O(0,0,0)
， ， ， ， ，
A(0,0,4)
B(2,0,0) C(0,4,0) D (1,2,0)
E(0,2,2) ， F (0,0,1)
·····2 分
所以， AD
(1,2, 4) ， OC (0,4,0)
z
于是 AD OC 8 ， | AD |
21 ， | OC | 4 ，
A
所以， cos
AD ,OC
AD OC
8
2 21 ··4分
| AD || OC | 4 21
21 .
〔 2〕平面 AOC 的一个法向量为 OB (2,0,0) .
E
设 m ( x, y, z) 为平面 DEF 的一个法向量，
F
又 EF
(0, 2, 1),DE
( 1,0,2) ，
O
那么 m EF 0,
2 y z 0,
B
y
即
x 2z 0.
x
D
C
m DE
0,
不妨取 z 2 ，那
么 x 4, y
1 ， 〔第 2
2 题〕
所以 m (4, 1,2) 为平面 DEF 的一个法向量， (7)
分
从而 cos
OB, m
OB m
(2,0,0) (4,
1,2) 4 21
|OB || m |
2
21
,
21
设二面角 C
EF
D 的大小为
，那么
|
cos
| 4 21 .
21 因为
[0, ] ，所以 sin
1 cos 2
105 .
21
因此二面角 C EF
D 的正弦值为
105 . ····10 分
21
23．〔本小题总分值 10 分〕
某同学在上学路上要经过 A 、 B 、 C 三个带有红绿灯的路口 . 在 A 、 B 、 C 三个
路口遇到红灯的概率依次是
1
、
1 、3
，遇到红灯时停留的时间依次是
40 秒、 20 秒、
3
4
4
80 秒，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的
.
（ 1〕求这名同学在上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率；，
（ 2〕求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间.
23．〔 1〕设这名同学在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件
A ，
因为事件 A 等于事件“这名同学在第一和第二个路口没有遇到红灯，
在第三个路口遇
到红灯〞 ，
S 数学Ⅱ〔附加题〕第4页(共5页)
所以事件 A 的概率为 P( A)
1 1 3 3 (1 ) (1
)
4 . ···4 分
3
4
8
〔2〕记“这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间〞为 ，
由题意，可得
可能取的值为 0， 40，20， 80，60， 100， 120， 140( 单位 : 秒).
··········5 分
∴即 的分布列是：
P(
0) 1
1 3 1
(1 )(1
)(1 )
；
3
4
4
8
P(
40)
1 (1 1 ) (1 3 ) 1 ；
3 4 4 16
P(
20) (1 1 ) 1 (1 3 ) 1 ；
3 4 4 24 P(
80)
(1 1 ) (1 1 ) 3 3 ；
3 4 4 8
P(
60) 1 1 (1 3) 1 ；
3 4 4
48
P(
100) (1 1
1 3 1
) 4 4
；
3 8 P(
120)
1 (1 1 ) 3 3 ；
3 4 4 16 P(
140)
1 1 3 1
3 4 4
16
所以 E40
1 20 1 80 3 60 1 100 1
120
3 140 1 = 235 .
16 24
8 48
8 16
16 3 答：这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间为
235 .
3
·········10 分
S 数学 Ⅱ〔附加题〕
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