2024年中考数学考前押题密卷+全解全析(黑龙江哈尔滨卷)

2024年中考数学考前押题密卷
（黑龙江哈尔滨卷）
全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．有理数1
3
−的倒数（ ）
A ．13
B ．13
−
C ．3
D ．3−
【答案】D
【详解】解：∵()1
313
−⨯−=
∴有理数1
3
−的倒数是3−．
故选：D ．
2．下列有关学科的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【详解】解：A 、此图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B 、此图是中心对称图形，故此选项符合题意； C 、此图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D 、此图不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B ．
3．下列运算正确的是（ ） A ．2374x x x −=− B ．236()a a −= C ．22234y y y −+= D ．248a a a ⋅=
【答案】C
【详解】解：A 、23x 与7x −不属于同类项，不能合并，故A 不符合题意；
B 、236()a a −=−，故B 不符合题意；
C 、22234y y y −+=，故C 符合题意；
D 、246a a a ⋅=，故D 不符合题意； 故选：C ．
4．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【详解】解：根据主视图可以发现，顶端是一个上宽下窄的梯形，
∴从上往下看立体图，可以得到俯视图的形状应该是四根实线夹着两根虚线的长方形， 故选：D ．
5．如图，在Rt ΔABC 中，90ABC ∠=︒，D 为边AB 上一点，过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ，则下列结论中正确的是（ ）
A ．sin BC
A AB
= B ．cos =
AE
A AD
C ．tan =
BC
A AD
D ．tan =
AB A BC
【答案】B
【详解】解：DE AC ⊥，
90AED ABC ︒∴∠=∠=，
A 、sin BC
A AC
=
，故A 不符合题意； B 、结论正确，故B 符合题意；
C 、tan =
CB
A AB
，故C 不符合题意； D 、tan BC
A AB
=
，故D 不符合题意．
故选：B ．
6．从写有数字1,2,3的3张卡片中任意抽取两张，摆成一个两位数，摆出的两位数是3的倍数的概率为（ ） A ．1
2 B ．1
3
C ．23
D ．16
【答案】B
【详解】解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中摆出的两位数是3的倍数的结果有：12，21，共2种， ∴摆出的两位数是3的倍数的概率为
2163
=． 故选：B ．
7．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y 平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB x =米，则y 关于x 的函数关系式为（ ）
A ． (184)y x x =−
B ．(162)y x x =−
C ．(172)y x x =−
D ．(154)y x x =−
【答案】A
【详解】解：铁栅栏的全长为15米，AB x =米， ∴平行于墙的一边长为1534(184)x x +−=−米．
根据题意得：(184)y x x =−． 故选：A
8．如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别在CD 边和AD 边上，BE CF ⊥于点G ，且G 为CF 的中点．若4,5==AB BC ，则BG 的长为（ ）
A ．4
B ．
C ．
D ．【答案】C
【详解】解：连接BF ，
四边形ABCD 是矩形， 90BAF CDF ∴∠=∠=︒，
∵BE CF ⊥且G 为CF 的中点，
5BF BC ∴==，90FGB ∠=︒，
在Rt ABF 中3AF ==， 532DF AD AF ∴=−=−=，
在Rt CDF △中CF =
1
2
FG CG CF ∴===
在Rt BGF 中BG =
故选：C ．
9．如图，OA 、OB 、OC 都是O 的半径，2A C B B A C ∠=∠，若4AB =， BC =则O 的半径为（ ）
A ．
32
B ．
52
C ．2
D ．3
【答案】B
【详解】证明：∵AB AB =， ∴1
2
ACB AOB ∠=
∠， ∵BC BC =， ∴1
2
BAC BOC ∠=
∠， 2ACB BAC ∠=∠，
2AOB BOC ∴∠=∠．
过点O 作半径OD AB ⊥于点E ，则1
,2
∠=
∠=DOB AOB AE BE ，
∴DOB BOC ∠=∠，
BD BC ∴=，
4,==AB BC
2,∴==BE DB
在Rt BDE △中，90DEB =︒∠Q
1∴=DE ， 在Rt BOE 中，90OEB ∠=︒，
222(1)2∴=−+OB OB ， 52OB ∴=
，即O 的半径是52
． 故选：B ．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A 的坐标为()2,0−，D 的坐标为()0,4，矩形ABCD 向右平移7个单位长度后点B 恰好落在直线3y kx =+上，若点B 的横坐标为4−，则k 的值为（ ）
A ．2−
B ．1−
C ．3
4−
D ．23
−
【答案】D
【详解】过点B 作BE x ⊥轴交于点E ，
90AEB ∴∠=︒，
点A 的坐标为()2,0−，D 的坐标为()0,4， ∴2OA =，4OD =，
四边形ABCD 是矩形， ∴90BAD ∠=︒，
90BAE DAO ∴∠+∠=︒， 90AOD ∠=︒， 90OAD ODA ∴∠+∠=︒，
BAE ODA ∴∠=∠，
90AEB AOD ∠=∠=︒，
AEB DOA ∴△∽△， ∴
41
22
BE OA EA OD ===，
点B 的横坐标为4−，
4OE ∴=，
2AE OE OA ∴=−=，1BE =，
()4,1B ∴−，
矩形ABCD 向右平移7个单位长度后点B 恰好落在直线3y kx =+上， ∴平移后点B 坐标变为()3,1，
把()3,1代入3y kx =+中， 解得：2
3
k =−；
故选：D ．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
11．“新型冠状病毒”发生以来，各相关部门和地方按照党中央、国务院的部署，对人民高度负责，全力以赴科学有效抓好疫情防控，同时提醒市民要勤洗手，戴口罩，多通风，不扎堆．经科学研究发现，该病毒的直径大小约为100纳米(1纳米=0.0000001米)，则100纳米用科学记数法表示为 米． 【答案】51.010−⨯
【详解】解：100纳米=100×0.0000001米=0.00001米，
50.00001=110−⨯，
故答案为：5110−⨯.
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的知识．
12m 的取值范围是 ．
【答案】2m >−
【详解】解：∵2
11m +≥，21
024
m m +≥+且240m +≠，
∴240m +>， ∴2m >−；
故答案为：2m >−．
13．若分解因式()()2
63x mx x x n +−=++，则m n −= ．
【答案】3
【详解】解：()()3x x n ++
()233x n x n =+++
∵()()2
63x mx x x n +−=++
∴()22
633x mx x n x n +−=+++
336n m n +=⎧∴⎨=−⎩，解得12m n =⎧⎨=−⎩ ∴()123m n −=−−=．
故答案为：3．
14=ab = ． 【答案】2
9
−
【详解】解：==
==∴12
33a b ==−∴，
122339ab ⎛⎫⨯−=− ⎪⎝⎭=∴
故答案为：2
9
−．
15．不等式组210353x x
x x ≥−⎧⎨+>⎩
的解集为 ．
【答案】522
x ≤<
【详解】解：210353x x x x ≥−⎧⎨
+>⎩
①
② 解不等式①得：2x ≥ 解不等式②得：5
2
x <
∴不等式组的解集为：522
x ≤<
故答案为：522
x ≤<
． 16．如图，在Rt ABC △中，点D 是AB 中点，EF CD ，若:2:3AE EC =，2EF =，则AB = ．
【答案】10
【详解】∵:2:3AE EC = ∴
2
5
AE AC = ∵EF CD ∴AEF ACD ∽△△ ∴2
5AE EF AC CD == ∴
225
CD = ∴5CD =
∵在Rt ABC △中，点D 是AB 中点， ∴210AB CD ==． 故答案为：10．
17．二次函数277y kx x =−−的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为 ．
【答案】7
4
k >−且0k ≠
【详解】解：∵二次函数277y kx x =−−的图象与x 轴有两个交点， ∴关于x 的一元二次方程2770kx x −−=有两个不相等的实数根，
∴()()2
Δ74700k k ⎧=−−⨯−⋅>⎪⎨≠⎪⎩
，
解得7
4k >−且0k ≠，
故答案为： 7
4
k >−且0k ≠．
18．对于字母m 、n ，定义新运算22m n m mn n =++★，若方程2310x x ++=的解为a 、b ，则2a b +★的值为 ．
【答案】10
【详解】解：∵方程2310x x ++=的解为a 、b ， ∴3,1a b ab +=−=， ∵22m n m mn n =++★， ∴2222a b a ab b +=+++★
2222a ab b ab =++−+
()2
2a b ab =+−+ ()2
312=−−+ 912=−+
10=．
故答案为：10．
19．如图，在矩形ABCD 中，点G 在AD 上，且1GD AB ==，3AG =，点E 是线段BC 上的一个动点(点E 不与点B ，C 重合)，连接GB ，GE ，将GBE 关于直线GE 对称的三角形记作GFE ，当点E 运动到使点F 落在矩形任意一边所在的直线上时，则线段BE 的长是 ．
【答案】3或
5
2
【详解】解：①当点F 落在DC 的延长线上时，设BE EF x ==，
1==AB GD ，BG GF =，90D A ∠=∠=︒，
∴()Rt Rt HL ABG DGF ≌
3∴==AG DF ，
在Rt ECF 中，222EC CF EF +=， 222(4)2x x ∴−+=，
解得52
x =， 52
BE ∴=
； ②当点F 落在BC 的延长线上时，则3BE AG ==，
③当点F 落在AD 的延长线上时，
∵AD BC ∥ ∴BEG EGF ∠=∠
∵GBE 关于直线GE 对称的三角形记作GFE ， ∴BGE EGF ∠=∠ ∴BGE BEG ∠=∠，
∴BE BG ==
综上所述，满足条件的BE 的值为3或
5
2
20．如图，在正方形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，E 为正方形内一点，连接BE ，BE BA =，连接CE 并延长，与ABE ∠的平分线交于点F ，连接OF ，若2AB =，则OF 的长度为
【详解】解：如图，连接AF ，
四边形ABCD 是正方形，
AB BE BC ∴==，90ABC ∠=︒
，AC ==
BEC BCE ∴∠=∠，
1802EBC BEC ∴∠=︒−∠，
290ABE ABC EBC BEC ∴∠=∠−∠=∠−︒， BF 平分ABE ∠，
1
452ABF EBF ABE BEC ∴∠=∠=∠=∠−︒，
45BFE BEC EBF ∴∠=∠−∠=︒，
在BAF △与BEF △,AB EB ABF EBF BF BF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩，
()SAS BAF BEF ∴≌， 45BFE BFA ∴∠=∠=︒，
90AFC BFA BFE ∴∠=∠+∠=︒，
O 为对角线AC 的中点，
1
2
OF AC ∴=
=
三、解答题（本大题共7个小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．（本小题满分7分）先化简，再求代数式22
1
22444
x x x x x x +⎛⎫−÷ ⎪−−++⎝⎭的值，其中tan602x =︒+． 【详解】解：22
1
22444
x x x x x x +⎛⎫−÷ ⎪−−++⎝⎭
()()()()()
22222222x x x x x x x x ⎡⎤++=−÷⎢⎥−+−++⎢⎥⎣⎦ ................................................................................... 2分 ()()
()2
22
222
x x x x +=
⋅
−++
2
2
x =
−， .........................................................................................................................................
4分
当tan6022x =︒+=时， ........................................................................................................ 6分
原式
=
...............................................................................................................
8分 22．（本小题满分7分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
(1)的线段PQ ，其中P 、Q 都在格点上
(2)面积为5的正方形ABCD ，其中A 、B 、C 、D 都在格点上 【详解】（1）解：如图，线段PQ
其中PQ =............................................................................................................. 3分 （2）如图，四边形ABCD 即为所求，
其中：
AB BC CD AD ====
连接AC ， ....................................................................................................................................... 5分 ∴2221310AC =+=， ∴222AB BC AC +=， ∴90ABC ∠=︒，
∴四边形ABCD 5=． .....................................................................
7分 23．（本小题满分8分）我校鹿鸣“博·约”和融课程极大地满足了学生的兴趣需求，受到社会的广泛赞誉，现在“博·约”和融课程需开设数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的数学类拓展性课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)m =________，n =________；
(2)在扇形统计图中，“C ．实验探究”所对应的扇形的圆心角度数是________度； (3)请根据以上信息补全条形统计图；
(4)我校共有6000名学生，试估计全校最喜欢“思想方法”的学生人数．
【详解】（1）解：观察条形统计图与扇形统计图知：选A 的有12人，占20%， 故总人数有1220%60÷=（人），
1560100%25%m =÷⨯=，
960100%15%n =÷⨯=，
故答案为：25%，15%； .............................................................................................................. 2分 （2）解：36015%54︒⨯=︒，
故答案为：54； ............................................................................................................................. 4分 （3）解：D 类别人数为6030%18⨯=（人）， 补全图形如下：
......................................................................................... 6分
（4）解：6
600060060
⨯
=（人）， 答：估计全校最喜欢“思想方法”的学生人数有600人． ..............................................................
8分 24．（本小题满分8分）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某学校体育社团准备从商场一次性购买若干副羽毛球拍和乒乓球拍，已知羽毛球拍的单价比乒乓球拍的单价高50元，用320元购买羽毛球拍的数量和用120元购买乒乓球拍的数量相等． (1)求购买一副羽毛球拍、一副乒乓球拍各需要多少元？
(2)如果该校需要乒乓球拍的数量是羽毛球拍数量的2倍还多3副，且购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过2890元，那么学校最多可购买多少副羽毛球拍？
【详解】（1）设购买一副乒乓球拍需要x 元，则购买一副羽毛球拍需要()50x +元， 根据题意得
320120
50x x
=+， 解得30x =， .................................................................................................................................... 2分 经检验，30x =是原方程的解，
所以50305080x +=+=， ............................................................................................................. 3分 答：购买一副羽毛球拍需要80元，购买一副乒乓球拍需要30元； ..........................................
4分
（2）设该校购买羽毛球拍a 副，则需要购买乒乓球拍是()23a +副，
由题意得：()8030232890a a ++≤， ............................................................................................ 6分 解得20a ≤，
答：学校最多可购买20副羽毛球拍． ..........................................................................................
8分 25．（本小题满分10分）问题背景：如图1，在正方形ABCD 中，边长为4．点M ，N 是边AB ，BC 上两点，且1BM CN ==，连接CM ，DN ，CM 与DN 相交于点O ．
(1)探索发现：探索线段DN 与CM 的数量关系和位置关系，并证明；
(2)拓展提高：如图2，延长CM 至P ，连接BP ，若45BPC ∠=︒，求线段PM 的长．
【详解】（1）解：CM DN =，且DN CM ⊥， ............................................................................ 1分 理由：∵四边形ABCD ∴BC CD =，90B NCD ∠=∠=︒， ∵BM CN =，
∴()SAS BCM CDN ≌，
∴CM DN =，BCM CDN ∠=∠， ................................................................................................ 3分 ∵90BCM MCD ∠+∠=︒， ∴90CDN MCD ∠+∠=︒， ∴90COD ∠=︒， ∴DN CM ⊥，
∴线段CM 和DN 的关系为：CM DN =，且DN CM ⊥； .......................................................... 5分 （2）如图，过点B 作BH CM ⊥于点H ， ....................................................................................
6分
∵222CM BC BM =+，
∴CM =
∵11
22CM BH BC BM ⨯=⨯，
∴BH =
，
∴CH =
.................................................................................................... 8分 ∵45BPC ∠=︒， ∴45PBH ∠=︒，
∴PH BH ==
∴PC PH CH =+=
∴PM PC CM =−=
......................................................................................................... 10分 26．（本小题满分10分）如图，AC 是O 的直径，弦BD 交AC 于点E ，2BC CD =，连结AB ，AD ．
(1)如图1，若50D ∠=︒，求CAD ∠的度数．
(2)如图2，点N 在弦AD 上，作MN AD ⊥，MN 分别交弦AB ，AC 于点M ，P ，=MN BE ，过B 作BF MN ∥交AC 于点F ． ①求证：BF MN =．
②如图3，连结ME ，若4BM =，ME =AP ，PE 的长． 【详解】（1）解：∵50D ∠=︒，
∴AB 的度数为100︒， ∵AC 是O 的直径，
∴BC 的度数为：18010080︒−︒=︒， ............................................................................................. 1分 ∵2BC CD =， ∴CD 的度数为40︒， ∴20CAD ∠=︒，
∴CAD ∠的度数为20︒； ................................................................................................................ 2分 （2）①证明：连结BC ， ∵AC 是O 的直径， ∴90ABC ∠=︒，
∵CAD ∠和CBD ∠是CD 所对的圆周角， ∴CAD CBD ∠=∠， 令CAD CBD x ∠=∠=，
∴90ABE ABC CBD x ∠=∠−∠=︒−，CD 的度数为2x ， ............................................................. 3分 ∵2BC CD =， ∴BC 的度数为4x ， ∴2BAC x ∠=，
∴()180********AEB BAE ABE x x x ∠=︒−∠−∠=︒−−︒−=︒−， ∵MN AD ⊥，
∴9090MPC APN PAN x ∠=∠=︒−∠=︒−， ................................................................................. 4分 ∵BF MN ∥，
∴90BFE MPC x ∠=∠=︒−， ∴BFE AEB ∠=∠，
∴BE BF =， .................................................................................................................................. 5分 ∵=MN BE ， ∴BF MN =；
..................................................................................................................... 6分
②解：连结FN ， 由①知：BF MN =，
又∵BF MN ∥，4BM =，ME = ∴四边形MNFB 是平行四边形， ∴NF MB ∥，4NF MB ==，
∴23FND BAN BAC CAD x x x ∠=∠=∠+∠=+=，2AFN BAE x ∠=∠=， ................................. 7分 取AP 的中点Q ，连结QN ， ∵MN AD ⊥， ∴AQ QP QN ==， ∴QNA QAN x ∠=∠=，
∴2PQN QNA QAN x x x ∠=∠+∠=+=， ∴2PQN x AFN ∠==∠， ∴4QN NF ==，
∴2248AP QN ==⨯=，8分 过M 作MT BE ∥交AC 于点T ，过M 作MH AC ⊥交AC 于点H ， ∴90MTA BEA x MPE ∠=∠=︒−=∠， ∴MT MP =，
∴PH HT =， ................................................................................................................................. 9分 设()0PH HT a a ==>，
由①知：90ABE x AEB ∠=︒−=∠，
∴AMT ABE AEB ATM ∠=∠=∠=∠，AB AE =， ∴82AM AT AP PT a ==+=+， ∴4TE BM ==，
在Rt MHA △与Rt MHE △中，22222AM AH MH ME HE −==−，
∴()()(()2
22
2
8284a a a +−+=−+， 解得：1a =或7a =−（负值不符合题意，舍去）， ∴1146PE PT TE PH HT TE =+=++=++=，
∴8AP =，6PE =． .................................................................................................................... 10分
27．（本小题满分10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线223y ax ax =−+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，点A 的坐标为()1,0−，点D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E ．
(1)填空：a ＝_____，点B 的坐标是______；
(2)连接BD ，点M 是线段BD 上一动点（点M 不与端点B ，D 重合），过点M 作MN BD ⊥，交抛物线于点N （点N 在对称轴的右侧），过点N 作NH x ⊥轴，垂足为H ，交BD 于点F ，点P 是线段OC 上一动点，当MNF 的周长取得最大值时，求1
2
FP PC +
的最小值；
(3)在（2）中，当MNF 的周长取得最大值时，12FP PC +
取得最小值时，如图2，把点P 单位得到点Q ，连接AQ ，把AOQ △绕点O 顺时针旋转一定的角度()0360αα︒<<︒，得到A OQ ''，其中边A Q ''交坐标轴于点G ．在旋转过程中，是否存在一点G ，使得GQ OG '=？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q '的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：将点(10)A −,代入223y ax ax =−+，得230a a ++=，
解得，1a =−， ...............................................................................................................................
1分 ∴223y x x =−++，
当0y =时，2230x x −++=，
解得，121
3x x =−=，， ∴点B 的坐标是()3,0；
故答案为：1−，()3,0； .................................................................................................................
2分 （2）解：∵223y x x =−++ ()2
14x =−−+，
∴点(03)C ，，点4(1)D ，， 设直线BD 的解析式为()0y kx b k =+≠，将(30)B ，，4(1)D ，代入得：3=0=4k b k b +⎧⎨+⎩，解得，=2=6k b −⎧⎨⎩
， ∴26y x =−+，
............................................................................................................................... 3分 设点()()
2,26,23F m m N m m m −+−++，， 由图形可知，MNF DBE ∠=∠，
∵sin DBE ∠=cos DBE ∠=
∴MN MF NF +=
=，
∴MNF C
NF NF =+
=
()22326m m m =
−+++−
()243m m =
−+−
()221m ⎡⎤=−−+⎣⎦， ∴当2m =时，MNF C 最大，此时2(2)F ，
，2HF =， ................................................................... 5分
在x 轴上取点()K ，则30OCK ∠=︒，过F 作CK 的垂线段FG 交y 轴于点P ，此时12
PG PC =， ∴12
PF PC FP PG +=+，
∴当点F ，P ，G 三点共线时，12
PF PC +有最小值为FG ，
而此时点P 不在线段OC 上，故不符合题意， ∴12PF PC +的最小值为FC 的长度，
∵点(03)C ，，点2(2)F ，，
∴
CF =
∴当MNF 的周长取得最大值时，1
2
PF PC + .................................................. 6分
（3）解：存在．
由（2）可知，点3(0)P ，
，
将点P Q ，
∴点0,3Q ⎛ ⎝⎭
，
在Rt AOQ 中，13OA OQ ==，AQ = ................................................................ 7分 取AQ 的中点G ，则有OG GQ =，
∴A OQ ''在旋转过程中，只需使AQ '的中点G 在坐标轴上即可使得GQ OG '=， 如图所示，当点G 在y 轴正半轴上时，过点Q '作Q I x '⊥轴，垂足为I ， ∵GQ OG '=，
∴GOQ GQ O ∠='∠'
∵OG IQ ∥，
∴GOQ IQ O ''∠=∠，
∴IQ O GQ O ''∠=∠，
设(),Q x y '，则有：sin sin IQ O AQ O ∠''∠=
2x == ，
∴x =Q ⎝⎭
'，............................................................................................... 8分
同理可知，当点G 在x 轴正半轴上时，点Q ⎝'⎭
；
当点G 在y 轴负半轴上时，点Q ⎛ '⎝⎭
；
当点G 在x 轴负半轴上时，点Q ⎛ ⎝'⎭
．
综上，点Q '的坐标为,,,⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
． .............. 10分。