中考数学圆的综合(大题培优易错难题)含详细答案

中考数学圆的综合(大题培优 易错难题)含详细答案
、圆的综合
1.在平面直角坐标中，边长为 2的正方形OABC 的两顶点 A 、C 分别在y 轴、x 轴的正 半轴上，点
O 在原点.现将正方形OABC 绕。

点顺时针旋转，当 A 点一次落在直线 y X 上 时停止旋转，旋转过
程中，
AB 边交直线y x 于点M , BC 边交x 轴于点N (如图).
C
(1)求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；
(2)旋转过程中，当 MN 和AC 平行时，求正方形 OABC 旋转的度数；
(3)设 MBN 的周长为p ,在旋转正方形 OABC 的过程中，P 值是否有变化？请证明 你的结论.
【答案】(1) K 2 (2) 22.5。

(3)周长不会变化，证明见解析 【解析】
试题分析：(1)根据扇形的面积公式来求得边
OA 在旋转过程中所扫过的面积；
(2)解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出
/AOM 的度数；
(3)利用全等把4MBN 的各边整理到成与正方形的边长有关的式子.
试题解析：(1) ; A 点第一次落在直线 y=x 上时停止旋转，直线 y=x 与y 轴的夹角是 45°,
，OA 旋转了 45 °.
(2) 「MN //AC,
/ BMN=Z BAC=45 ,° / BNM=Z BCA=45 : Z BMN=Z BNM,，BM=BN.
又,. BA=BC, .1. AM=CN.
又.. OA=OC, /OAM=/OCN, • . △ OAM^ △ OCN.
Z AOM=ZCON=- (/AOC-/ MON) =- (90 -45°) =22.5 .
2 2
，旋转过程中，当 MN 和AC 平行时，正方形 OABC 旋转的度数为45 -22.5 =22.5 .
(3)在旋转正方形 OABC 的过程中，p 值无变化.
证明：延长BA 交y 轴于E 点，
贝U / AOE=45 -/ AOM , / CON=90 -45 °-Z AOM=45 -/ AOM ,
/ AOE=Z CON.
又••• OA=OC, / OAE=180 -90 =90° = / OCN.
••.△OAE^AOCNI.
・•・ OA 在旋转过程中所扫过的面积为
45 22
360
，OE=ON, AE=CN
又「 / MOE=Z MON=45 , OM=OM , ••.△OME^AOMN. .. MN=ME=AM+AE.
MN=AM+CN ,
.•尸MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.
，在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化.
考点：旋转的性质.
2.如图，A、B两点的坐标分别为(0, 6) , (0, 3),点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q,连接PQ, M为线段PQ的中点.
(1)求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；
(2)当。

M与x轴相切时，求点Q的坐标；
(3)当点P从点(2, 0)运动到点(3, 0)时，请直接写出线段QM扫过图形的面积.
【答案】⑴见解析；(2) Q的坐标为(3J2, 9) ；(3)日.
8
【解析】(1)解：连接AM、BM,
•. AQXAP, BQ，BP「4APQ和4BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点.-.AM = BM = PM=QM= 1 PQ,
・•・A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。

(2)解：作MG，y轴于G, MC，x轴于C,
••.G 是AB 的中点，由A (0, 6) , B (0, 3)可得MC= OG= 4.5
，在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为4.5
则点Q到x轴的距离始终为9,即点Q的纵坐标始终为9,
当。

M与x轴相切时则PQ^x轴，作QH^y轴于H,
HB= 9-3=6,设OP= HQ= x
由△BO'^QHB,彳导 x2=3XQ 8, x= 3 72
•••点Q的坐标为(3 J2 , 9)
(3)解：由相似可得：当点P在P i (2, 0)时，Q i (4, 9)则M i (3, 4.5) 当点P在P2 (3, 0)时，Q2 (6, 9),则M2 (4.5, 4.5)
••.MiM2= 9 -3= - , QiQ2=6-4= 2
2 2
线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1
其面积为：1x3 + 2) X 4.5 63.
【解析】
【分析】
根据已知可得出三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，再根据这个条件结合题意直接解答此题. 【详解】
(1)解：连接AM、BM,
•. AQXAP, BQ，BP「4APQ和4BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点
AM = BM = PM=QM= 5 PQ, ・•・A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。

(2)解：作MG^y轴于G, MC^x轴于C,
. AM = BM
・•.G 是AB 的中点，由A (0, 6) , B (0, 3)可得MC= OG= 4.5
，在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为4.5
则点Q到x轴的距离始终为9,即点Q的纵坐标始终为9,
当。

M与x轴相切时则PQ^x轴，作QH^y轴于H,
HB= 9-3=6,设OP= HQ= x
由△BO'^QHB,彳# x2= 3X^ 8, x= 3
.••点Q的坐标为(3区9)
(3)解：由相似可得：当点P在P i (2, 0)时，Q i (4, 9)则M i (3, 4.5) 当点P在P2 (3, 0)时，Q2 (6, 9),则M2 (4.5, 4.5)
9 c 3 - -,-
• . M iM 2= 7 —3=), QiQ2= 6—4=2
线段QM扫过的图形为梯形M i M2Q2Q i
其面积为：4 +2)X4当萼. 上二O
【点睛】
本题主要考查学生根据题意能找到三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，而且考验学生对相似三角形性质的运用，掌握探索题目隐含条件是解决此题的关键^
3.如图，AB为。

的直径，点E在。

上，过点E的切线与AB的延长线交于点D,连接BE,过点。

作BE的平行线，交。

于点F,交切线于点C,连接AC
(1)求证：AC是。

的切线；
【答案】(1)见解析；(2) 30.
【解析】
(2)连接EF,当/D= 。

时，四边形FOBE是菱形.
【分析】
(1)由等角的转换证明出OCA二OCE ,根据圆的位置关系证得AC是。

的切线.
(2)根据四边形FOBE是菱形，得到OF=OB=BF=EF得证OBE为等边三角形，而得出
BOE 60 ,根据三角形内角和即可求出答案.
【详解】
(1)证明：.「CD与。

相切于点E,
OE CD ,
CEO 90 ,
又.OC PBE ,
COE OEB, /OBE=/ COA
•.OE=OB,
OEB OBE ,
COE COA,
又.OC M OC OA=OE
••• OCA0 OCE（SAS ,
••• CAO CEO 90 ,
又「AB为。

O的直径，
・•.AC为。

O的切线；
（2）解：二•四边形FOBE是菱形，
，OF=OB=BF=EF
.•.OE=OB=BE
OBE为等边三角形，
BOE 60 ,
而OE CD,
D 30 .
故答案为30.
【点睛】
本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关Ir
4.如图，AB为eO的直径，弦CD//AB, E是AB延长线上一点，CDB
1 DE是e O的切线吗？请说明理由；
【答案】（1）结论：DE是e O的切线，理由见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OD ,只要证明OD DE即可；
（2）只要证明：AC BD, VCDBsVDBE即可解决问题.
【详解】
1解：结论：DE是e O的切线.
理由：连接OD.
Q CDB ADE ,
ADC EDB,
QCD//AB,
CDA DAB , QOA OD ,
OAD ODA,
ADO EDB, Q AB是直径，
ADB 900,
ADB ODE 900,
DE OD , DE是e O的切线.
2 QCD//AB,
ADC DAB , CDB DBE, n n AC BD，
AC BD ,
Q DCB DAB , EDB DAB , EDB DCB ,
VCDBs VDBE , CD DB ，BD BE BD2 CD BE ,
AC2 CD BE . 【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型^
5.如图，4ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，/PAC4 B, AD为。

的直径, 过C作CG，AD 于E,交AB于F,交。

O于G.
(1)判断直线PA与。

O的位置关系，并说明理由；(2)求证：AG2=AFAB；
（3）若。

的直径为10, AC=2j5, AB=4j5,求4AFG的面积.
【答案】（1） PA与。

O相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3） 3.
【解析】
试题分析：（1）连接CD,由AD为。

的直径，可得/ACD=90,由圆周角定理，证得
/B=/D,由已知/PAC玄B,可证得DA，PA,继而可证得PA与。

O相切.
（2）连接BG,易证得△AF8 4AGB,由相似三角形的对应边成比例，证得结论^
（3）连接BD,由AG2=AF?AB,可求得AF的长，易证得△AEF^^ABD,即可求得AE的长，继而可求
得EF与EG的长，则可求得答案.
试题解析：解：（1） PA与。

O相切.理由如下：
如答图1 ,连接CD,
.「AD 为。

的直径,/ACD=90.°
/ D+/CAD=90 :
•. /B=/D, /PAC玄B,，/PAC=/D.
••• / PAC吆CAD=90 ；即DA± PA.
•・•点A在圆上，
••.PA与。

O相切.
答图1
(2)证明：如答图2,连接BG,
. AD 为。

的直径，CG± AD, . . A C A D . •• /AGF=Z ABG. ・. /GAF=/ BAG, AAGF^AABG.
••.AG ： AB=AF ： AG. .. AG 2
=AF?AB.
3.相切的判定；
4.垂径定理；
5.相似三
6.如图，已知。

的半径为1, PQ 是。

的
直径，n 个相同的正三角形沿 PQ 排成一列, 所有正三角形都关于 PQ 对称，其中第一个
△A 1B 1C 1的顶点A 1与点P 重合，第二个
(3)如答图3,连接BD, . AD 是直径，/ ABD=90.
•. AG 2=AF?AB, AG=AC=2而，AB=4y/5 , ：.AF=而. -. CG± AD, / AEF=/ ABD=90 .
一 ，一 一 一 AE
・. /EAF=/ BAD, .-.AAEF^AABD. ——
AB
AF AD '
即4
A
l
—,解得:
10
AE=2.
EF .AF 2 AE 2
v
EG . AG 2 AE 2
1
S AFG
— FG AE
2
1 .
4
, FG EG
1
- 3 2 3. 2
EF 4 1 3.
考点：1.圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系; 角形的判定和性质；6.勾股定理；7.三角形的面积
△ A 2B 2。

的顶点A 2是B 1C 1与PQ 的交点，…，最后一个△A n B n C n 的顶点B n 、O 在圆上.如
图1,当n=1时，正三角形的边长 a i =；如图2,当n=2时，正三角形的边长
a 2=;如图3,正三角形的边长 a n = （用含n 的代数式表示）.
图1
图2 国3
【答案】.3
8
:3 4n-3-
1
13 1 3n 2
【解析】
分析：（1）设PQ 与B 1C 1交于点D,连接BQ ,得出OD=AQ -OA,用含a 1的代数式表 示OD,在AOB D
中，根据勾股定理求出正三角形的边长 a [ ； （2）设PQ 与
B
2 c 2交于 点
E,连接B 2O,得出OE=AE-
O A 1,用含a 2的代数式表示OE,在^O B z E 中，根据勾股 定理求出正三角形的边长 32； （3）设PQ 与B n C n
交于点F,连接B n O,得出OF=A F-
O A 1,用含an 的代数式表示 OF,在4 08口5中，根据勾股定理求出正三角形的边长
an.
本题解析：
3 1 ................ —
⑴易知△A 1B 1C 1的高为-,则边长为 甚,
a 1 = 33 .
(2)设△A 1B 1C 1的高为h,则A 2O= 1-h,连结 B 2O,设B 2c 2与PQ 交于点F,则有 OF= 2h — 1.
2
c c c
c 1 。

•. B 2O 2=OF 2+ B 2F 2
,
1= (2h-1)2
+ -a 2
2
h= —3a 2,
1= ( 73a 2— 1)2
+
a 22
,
解得32= 8
立
13
B n
C n 与 PQ 交于点 F,则有 B n O 2
=OF 2
+B n F 2, 2
(3)同(2),连结B n O,设
即 1 = (nh — 1)2
+ 1a
2 n
•••h =^a n,
2
1 = —
a n 2
+
、、3na n
彳
---- 1
解得an= 4P l .
3n 1
7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧A B .
1用直尺和圆规作出A B所在圆的圆心o；(要求保留作图痕迹，不写作法)
2若A B的中点C到弦AB的距离为20m, AB 80m ,求AB所在圆的半径.
分析：1连结AC、BC,分另1J作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O,如图1;
2连接OA, OC, OC交AB于D,如图2,根据垂径定理的推论，由C为A B的中点得
i _ 1 一............
到OC AB , AD BD -AB 40，则CD 20,设e O 的半径为r,在RtVOAD 2
中利用勾股定理得到r2 (r 20)2 402,然后解方程即可.
详解：1如图1,
点O为所求;
QC为A B的中点，
OC AB ,
1
AD BD —AB 40, 2
设e O的半径为r,则OA r, OD OD CD r 20,
在RtVOAD 中，QOA2 OD2 AD2,
2 2 2
r (r 20) 40 ,解得r 50,
即A B所在圆的半径是50m.
点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题.
8.如图，A是以BC为直径的。

上一点，AD± BC于点D,过点B作。

的切线，与CA 的延长线相交于点E, G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交于点P.
(1)求证：BF=EF:
(2)求证：PA是。

的切线；
(3)若FG=BF,且。

O的半径长为3J2,求BD的长度.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 2J2
【解析】
分析：(1)利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFg△DGC且△FEg△GAC,得到
对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；
(2)利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到/FAO=/EBQ结合BE是
圆的切线，得到PA! OA,从而得到PA是圆。

的切线；
(3)点F作FHI± AD于点H,根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD
的长度.
详解：证明：(1).「BC是圆。

的直径，BE是圆。

的切线，
•••EBXBC；
又 ; AD± BC,
••.AD// BE
・•.△BFC^DGC AFEC^AGAC,
BF CF EF CF
.. —— DG CG ' AG CG '
BF EF
--- = --- ，
DG AG
••・G是AD的中点, DG=AG,
BF=EF;
(2)连接AO, AB.
,. BC是圆O的直径，
••• / BAO90 ；
由(1)得：在Rt^BAE中，F是斜边BE的中点, •.AF=FB=EF,可得 / FBA=ZFAB,
又「OA=OB,
/ ABO=Z BAO,
. BE是圆O的切线，
/ EBO=90 ；
••• / FBA+ZABO=90 ；
••• / FA9/ BAO=90 ;
即 / FAO=90°,
••• PAX OA,
••.PA是圆O的切线；
(3)过点F作FH,AD于点H,
•. BDXAD, FHXAD,
••.FH// BC,
由(2),知 / FBA=Z BAF
BF=AF.
••• BF=FG, .•.AF=FG,
• •.△AFG 是等腰三角形. • .FHXAD, • .AH=GH,
• ・ DG=AG, • . DG=2HG.
日口 HG 1 DG 2
. FH//BD, BF// AD, / FBD=90 ；
••・四边形BDHF 是矩形,
• .BD=FH, 1. FH// BC
.,.△HFG^ADCG, HG 1 DG 2
1
2.15, 3
• ••O 的半径长为3J 2, • •BC=6V 2 ，
• .BD=1
BC =2 J 2. 3 '
点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质 .结合已
知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键
^
9.如图，正三角形 ABC 内接于。

O, P 是BC 上的一点，且 PB< PC, PA 交BC 于E,点F 是PC 延长线
上的点，CF=PB AB=&3, PA=4.
(1)求证：△ABP^^ACF; (2)求证：AC 2=PA?AE ； (3)求PB 和PC 的长.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) PB=1, PC=3. 【解析】试题分析：(1)先根据等边三角形的性质得到 AB=AC,再利用圆的内接四边形的
性质得/ACF=Z ABP,于是可根据 “SA 第J 断△ABP^^ACF;
(2)先根据等边三角形的性质得到 /ABC=/ ACB=60,再根据圆周角定理得
/APC=/ ABB=60 力口上/ CAE=/ PAQ 于是可判断 △AC 上^APC,然后利用相似比即可得 到结论；
13
3
(3)先利用 AC 2
=PA?AE 计算出 AE=—,则PE=AP-AE=,再证4APF 为等边三角形，得
4
4
至I] PF=PA=4贝U 有PC+PB=4接着证明 AABP^ACEF^得至U PB?PC=PE?A=3然后根据根与 系数的关系，可把 PB 和PC 看作方程x 2
-4x+3=0的两实数解，再解此方程即可得到
PB 和PC
的长.
FH CD 即见
CD
,2 .3
试题解析：
(1).. /ACP+/ ABP=180 ,
又/ ACP+/ACF=180 , / ABP=Z ACF
在ABP和ACF中，
•. AB=AC, /ABP=/ACF, CF PB
ABP 9 ACF .
(2)在AEC和ACP 中，
••• Z APC=Z ABC,
而ABC是等边三角形，故/ ACB=/ABC=60o,
••• / ACE "PC .
又 / CAE 之PAC,
AEC" ACP
.•・处王，即AC2PA AE .
AP AC
由(1)知ABP 9 ACF ,
・ . / BAP=/CAF, CF PB
Z BAP+Z PAC=Z CAF+Z PAC
••• / PAU BAC=60 ,° 又ZAPC= / ABC= 60 :
APF是等边三角形
.•.AP=PF
••• PB PC PC CF PF PA 4
在PAB与CEP中，
••• / BAP=Z ECP ,
又 / APB=Z EPC=60,
••• PAB s CEP
PB PA
PB -PA，即PB PC PA PE
PE PC
由(2) AC2PA AE , _2 ___ _ ______ ______ ________ _______ _ 2 AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA
2 2 ••• AC2P B PC PA AE PA PE PA AE PE PA2
o o o o o _ 2
PB PC PA AC PA AB 4 .13 3
因此PB和PC的长是方程x2 4x 3 0的解.
解这个方程，得为1 , x2 3 .
•. PB<PB, PB=x1 1 , PC=X2 3 ,
••・PB和PC的长分别是1和3。

【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质和等边三角形的判定与性质；会利用相似三角形证明等积式；会运用根与系数的关系构造一元二次方程。

10.如图，已知BC是。

的弦，A是。

外一点，4ABC为正三角形，D为BC的中点，M 为。

上一点，并且/BMC=60 .
(1)求证：AB是。

的切线；
(2)若E, F分别是边AB, AC上的两个动点，且/EDF=120,。

的半径为2,试问
BE+CF勺值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）证明见试题解析；（2） BE+CF的值是定值，为等边△ ABC边长的一半. 【解析】试题分析：（1）连结OB、OD,如图1,由于D为BC的中点，由垂径定理的推理得
ODXBC, /BOD=/ COD,即可得到Z BOD=Z M=60° ,贝U / OBD=30°,所以/ABO=90°,于是得到AB 是。

的切线；
（2）作DMXABT M , DNXACT N,连结AD,如图2,由4ABC为正三角形，D为BC 的中点，得到AD
平分/BAC, /BAC=60 ,利用角平分线性质得DM=DN,得
ZMDN=120 °,由 / EDF=120 , °得到/MDE=/NDF,于是有△ DME^ △ DNF,得到ME=NF,
得至ij BE+CF=BM+CN 由BM=I BD, CN=1 OC,得至U BE+CF=1 BC,即可判断BE+CF的值是2 2 2 定值，为等边△ ABC边长的一半.
试题解析：（1）连结OB、OD,如图1,〈D为BC的中点，.-.OD± BC, / BOD=/ COD,
・・./ODB=90；••• Z BMC=1 ZBOC, • . / BOD=/M=60 °, . . / OBD=30 ；. △ABC为
正三2
角形，，/ABC=60, . ABO=60+30 =90°, ABXOB, • . AB 是。

的切线；
（2） BE+CF的值是为定值.
作口“，人8于”，DNLAC于N,连结AD,如图2, 丁4ABC为正三角形，D为BC的中点，AD 平分
/BAC, /BAC=60, •. DM=DN , / MDN=120 , / Z EDF=120,
・ . / MDE=/NDF,在ADME 和4DNF 中，「/ DME=/ DNF. DM=DN, /MDE=/NDF, ••.△DME^ADNF, • . ME=NF, . . BE+CF=BM- EM+CN+NF=BM+CN,在R「DMB 中，
・・•/DBM=60；♦ .BM=1BD,同理可得CN=1OC, BE+CF=1 OB+1 OC=- BC, 'BE+CF
2 2 2 2 2
的值是定值，为等边△ ABC边长的一半.
S1 图2
考点：1.切线的判定；2.等边三角形的性质；3.定值问题；4.探究型；5.综合题;
6.压轴题.
11 .如图，AB是。

的直径，弦BC= OB,点D是AC上一动点，点E是CD中点，连接
BD分别交OC, OE于点F, G.
（1）求/ DGE的度数；
c 什CF 1 - BF …
(2)右----- =-，求的值；
OF 2 GF
.... CF S i
(3)记^CFB ADGO的面积分别为Si,瞋，若C—=k，求——的值.(用含k的式子表
OF S2
示)
_ c 7 S1k2 k 1
【答案】(1)/DG$ 60。

；(2)—； (3)—=___k_J .
2 S2 k 1
【解析】
【分析】
(1)根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得/DGE的度
数；
(2)过点F作FHI±AB于点H设CF= 1,则OF=2, OC= OB= 3,根据勾股定理求出BF的
.............................. BF
长度，再证得△FG8 4FCB进而求得——的值；
GF
(3)根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表
不出——的值.
S2
【详解】
解：(1)「BC= OB=OC,
/ COB= 60 ；
“ 1 —
/ CDB= — ZCOB= 30 ,
2
. OC= OD,点E为CD中点,
•••OEXCD,
/ GED= 90 ；
/ DGE= 60 -
(2)过点F作FH^AB于点H
设CF= 1 ,贝U OF= 2, OC= OB= 3
••• / COB= 60 °
.•.OH= 1OF=1, 2
• .HF= OH= 33 , HB= OB- OH= 2,
在Rt^BHF 中，BF J H B2 HF2J7，
由OC= OB, /COB= 60°得：/OCB= 60°, 又「ZOGB= / DGE= 60°, / OGB= / OCB,
••• / OFG= / CFB, .-.△FGO^AFCB,
OF GF
B F CF，
BF 7
= .
GF 2
⑶过点F作FH^AB于点H,
设OF= 1,则CF= k, OB= OC= k+1, ••• / COB= 60 ；
.八1 1
• - OH= - OF= —
2 2
- 11
HB=OB-OH=k+-,
2
在Rt^BHF 中,
BF= HB2 HF2
••HF= ,30H
由(2)得: △ FGO^AFCB,
GO CB OF GO
——，即；―
BF k -
k2
••.GO k 1
"k1=k=1,
过点C作CP，BD于点••• / CDB= 30 °
…1…
PC= - CD,
2
•・・点E是CD中点,
1… .
•.DE= - CD,
2
PC= DE,
•.DEXOE,
& BF
S2 - GO
k2k 1
__ k_1_
. k2k 1
k2
圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和 勾股定理、数形结合的思想解答.
12.如图，。

的直径 AB=26, P 是AB 上述与点 A 、B 重合)的任一点，点 C 、D 为。

上 的两点，若/APD=/BPQ 则称/CPD 为直径AB 的回旋角
⑴若/BPC=/DPC= 60°,则/CPD 是直径AB 的 回旋角”吗？并说明理由；
13
(2)若C D 的长为一兀，求 回旋角/ CPD 的度数；
4
(3)若直径AB 的回旋角”为120°,且4PCD 的周长为24+13J3,直接写出AP 的长.
【答案】(1)/CPD 是直径AB 的回旋角”，理由见解析；(2)回旋角”/CPD 的度数为45°;
(3)满足条件的AP 的长为3或23.
【解析】 【分析】
(1)由/CPD / BPC 得至ij / APD,得到/BPC=/APD,所以/ CPD 是直径 AB 的 回旋 角”；(2)利用CD 弧长公式求出ZCOD= 45。

，作CE! AB 交。

于E,连接PE,利用 /CPD 为直径AB 的 回旋角"，得
到/APD=/BPC, Z OPE= / APD,得到
/OPE+/ CPD+Z BPC= 180 ；即点 D, P, E 三点共线,
得到 / OP 『90 - 22.5 = 67.5 °,贝U / APD= / BPC=
67.5
况P 在OA 上或者OB 上的情况，在 OA 上时，同理(2) 直线上，得到 4PCF 是等边三角形，连接 OC, OD,过点
利用sin/DOG,求得CD,利用周长求得 DF,过O 作OHLDF 于H,利用勾股定理求得
OP,进而得到 AP;在OB 上时，同理 OA 计算方法即可
【详解】
___ 1 ______ 。

/ CED= — ZCOD= 22.5 : 2 0,所以ZCPD= 45°; (3)分出情 的
方法得到点 D, P, F 在同一条 。

作
OG± CD 于 G,
疗
/CPD是直径AB的回旋角”,
理由：••• Z CPA / BPC= 60°,
/ APD= 180 - / CPD- ZBPC= 180 - 60 - 60 = 60 °,
/ BPC= / APD,
••• / CPD是直径AB的回旋角”；
(2)如图1 , ••• AB= 26,
.•.OC= OD= OA= 13,
设/ COD= n°,
13
C D的长为一兀，
4
n n13 13
------ ----
180 4
n = 45,
/ COD= 45 :
作CH AB交。

于E,连接PE
/ BPC= / OPE,
/ CPD为直径AB的回旋角”，
/ APD= / BPC,
/ OPE= / APD,
••• / APD+Z CPD+Z BPC= 180 :
••• / OPE+Z CPD+Z BPC= 180 ；
•・•点D, P, E三点共线，
“ 1 —
/ CED= — /COD= 22.5 ,
2
/ OPE= 90 - 22.5 = 67.5 ,°
/ APD= / BPC= 67.5 ,°
/ CPD= 45 ；
即：回旋角”/CPD的度数为45°,
⑶ ①当点P在半径OA上时，如图2,过点C作C。

AB交。

于F,连接PF,
PF= PC,
同(2)的方法得，点D,巳F在同一条直线上，
•••直径AB的回旋角”为120 ；
/ APD= / BPC= 30 °,
/ CPF= 60 ;
・•.△PCF是等边三角形，
/ CFD= 60 ；
连接OC, OD,
/ COD= 120 :
过点O作OGL CD于G,
- -~ 1 - 。

，CD=2DG, Z DOG= — Z COD= 60 ,
2
13 3
.•.DG=ODsinZ DOG= 13 x sin60 ——
2
•••CD=13 3，
.「△PCD的周长为24+13 3，
•.PD+PC= 24,
••• PC= PF,
••.PD+P曰DF= 24,
过。

作OH^DF于H,
•-DH= -DF= 12, 2
在Rt/xoHD 中，OH=O DD2 DH2/
在Rt^OHP中，/ OPH= 30°,
.•.DP= 10,
.•.AP=OA- OP= 3；
②当点P在半径OB上时，
同①的方法得，BP= 3,
.•.AP = AB- BP=23,
即：满足条件的AP的长为3或23.
【点睛】
本题是新定义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角形性质等知识点，综合程
度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关键在于P点的分类讨论13. AB是。

O直径，在AB的异侧分别有定点C和动点P,如图所示，点P在半圆弧AB上运动(不与
A、B重合)，过C作CP的垂线CD ,交PB的延长线于D ,已知AB 5, BC ： CA = 4 ： 3.
(1)求证：AC CD = PC BC ;
(2)当点P运动到AB弧的中点时，求CD的长；
(3)当点P运动到什么位置时，PCD的面积最大？请直接写出这个最大面积.
X
【答案】(1)证明见解析；(2) CD=14X2；( 3)当PC为。

直径时，4PCD的最大面积
50
=—.
3
【解析】
【分析】
AC BC
(1)由圆周角定理可得/ PCD=Z ACB=90,可证△ABJ^PCD,可得——即可得
CP CD '
证.
(2)由题意可求BC=4, AC=3,由勾股定理可求CE的长，由锐角三角函数可求PE的长，即可得PC的长，由AC?CD=PC?BCT求CD的值；
1 4
(3)当点P在A B上运动时，S VPCD— PC CD ,由(1)可得：CD -PC ,可得
2 3
_ 1 4 2 2
S VPCD一PC —PC — PC ,当PC最大时，△ PCD的面积最大，而PC为直径时最
2 3 3
大，故可求解.
【详解】
证明：(1)
C
D
,. AB为直径，
/ ACB=90 °
••• PCX CD,
/ PCD=90 °
/ PCD=/ ACB,且 / CAB=Z CPB
••.△ABC^APCD
.AC BC
CP CD
••.AC?CD=PC?BC
(2) AB=5, BC： CA=4：3, ZACB=90°
/ PCB=45 ；且 BC=4
.-.CE=BE=—2 BC=2 2 2 ••• / CAB=Z CPB
•.AC?CD=PC?BC
.-.CD =1
41
3
1
(3)当点P 在A B 上运动时，S APCD =- >PC>CD,
2
由（1）可得：CD=4
PC 3
一 1
4 2 2
S A PCD = PC PC = —P C,
2 3 3
・•・当PC 最大时，APCD 的面积最大，
2 2 50 ・•・当PC 为。

直径时，4PCD 的最大面积=-X2=——
3
3
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，求 出PC 的长是本题的关键.
B 作BE, P
C 于点E
BC •••tanZ
CAB=—— AC
—=tan / CAB=—
—
PE=
.•.PC=PE+CE=3—2+2、2 =
2 7、、2
.•.BC=4, AC=3,
当点P 运动到A B 的中点时，过点
•・•点P 是A B 的中点，
14.如图所示，ABC内接于圆O, CD AB于D；
(1)如图1,当AB为直径，求证：OBC ACD;
(2)如图2,当AB为非直径的弦，连接OB,则(1)的结论是否成立？若成立请证明, 不成立说明由；
(3)如图3,在(2)的条件下，作AE BC于E,交CD于点F,连接ED,且
AD BD 2ED,若DE 3, OB 5,求CF的长度.
(14)
1)见解析；(2)成立；(3)—
5
(1)根据圆周角定理求出/ACB=90,求出/ADC=90,再根据三角形内角和定理求出即可；
(2)根据圆周角定理求出/BOC=2Z A,求出Z OBC=9 0-/A和/ ACD=90-/ A即可；
(3)分别延长AE、CD交。

于H、K,连接HK、CH、AK,在AD上取DG=BD,延长CG 交AK于M,延长KO交。

O于N,连接CN、AN,求出关于a的方程，再求出a即可.
【详解】
(1)证明：.「AB为直径，
ACB 90 ,
••• CD AB 于D,
ADC 90 ,
OBC A 90 , A ACD 90 ,
OBC ACD ;
(2)成立，
由圆周角定理得:
OC OB ,
_ 1 “ 1
OBC — 180 BOC — 180 2 A 90 A ,
2 2
ADC 90 ,
ACD 90 A ,
OBC ACD ;
(3)分别延长AE、CD交。

于H、K,连接HK、CH、AK,
AEC ADC 90 ,
BCD CFE 90 , BAH DFA 90 ,
CFE DFA , BCD BAH ,
•••根据圆周角定理得：BAH BCH , BCD BAH BCH,
，由三角形内角和定理得：CHE CFE,
CH CF,
EH EF,
同理DF DK ,
DE 3,
HK 2DE 6 ,
在AD上取DG BD ,延长CG交AK于M,则AG AD BD 2DE BC GC, MCK BCK BAK ,
CMK 90 ,
延长KO交。

O于N,连接CN、AN,
则NAK 90 CMK ,
••• CM / /AN ,
NCK ADK 90 ,
••• CN //AG ,
，四边形CGAN是平行四边形，
AG CN 6, 6,
AE BC, CD BA ,
作OT CK 于T, 则T 为CK 的中点，
- O 为KN 的中点，
八 1 一
. OT -CN 3, 2
OTC 90 , OC 5, ，由勾股定理得：CT 4, CK 2CT 8,
作直径HS,连接KG
HK 6, HS 10,
，由勾股定理得：KS 8,
__ 3 ___
，tan HSK - tan HAK , 4 1
，tan EAB — tan BCD , 3
设 BD a, CD 3a,
CD DK CK ,
C 1
3a -a 2 8, 3
, 一 9
斛得：a —,
5
1
. DK -a 2
3
本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识 点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大.
15.如图，已知 AB 是。

的直径，直线 CD 与。

相切于 CM AC 平分/DAB. (1)求证：AD± CD;
(2)若AD=2, AC=J6,求。

的半径R 的长.
【答案】（1）证明见解析
(2)
••• AD BD 2ED a 6, DK
1 -AD
2,
13 5
CF CK 2DK 8 ——
5 14 5
【解析】试题分析：（1）连接OC,由题意得OCa CD,又因为AC平分/DAB,则Z 1 = Z 2=1z DAB,即可得出AD//OC,则ADL CD；
2
AD AC
（2）连接BC,则/ACB=90 ,可证明△AD8 4ACB.则———,从而求得R
AC 2R
试题解析：（1）证明：连接OC,
••・直线CD与。

O相切于C点，AB是。

的直径,
•••OCX CD.
又「AC平分/ DAB,
/ 1 = 7 2」/ DAB.
2
又/ COB=2 / 1 = Z DAB,
••.AD// OC,
•••ADXCD.
(2)连接BC,则/ ACB=90°, 在△ ADC和AACB中
•・ / 1 = /2, /3=/ACB=90 :
••.△ADC^AACB.
,AD AC
AC 2R
2
c AC2 3
2AD 2。