语法知识—有理数的易错题汇编及答案解析

一、填空题
1．如图，数轴上的单位长度为1，有三个点A 、B 、C ，若点A 、B 表示的数互为相反数，则图中点C 对应的数是_________．
2．|x |＜3，且x 为整数，则x 的最小值是_____
3．数轴上点A ，B 分别表示实数5－1与5＋10，则点A 距点B 的距离为_________． 4．绝对值不大于3的非负整数有__________个.
5．已知4x =，1
2
y =
，且x y <，则x y ÷的值为______. 6．相反数仍是它本身的数是__________________
7．数轴上点A 所表示数的数是－18，点B 到点A 的距离是17，则点B 所表示的数是________．
8．数轴上到表示数2的点距离为3的点表示的数是_____．
二、解答题
9．某公路检修小组从A 地出发，在东西方向的公路上检修路面，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天行驶记录如下（单位：千米）：-5，-3，+6，-7，+9，+8，+4，-2.
(1)求收工时距A 地多远； (2)距A 地最远的距离是多少千米？
(3)若每千米耗油0.2升，问这个小组从出发到收工共耗油多少升？
10．已知 a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值为1，求2a b x cdx ++- 11．点A ，O ，B 是数轴上从左至右的三个点，其中O 与原点重合，点A 表示的数为﹣4，且AO +AB ＝11．
（1）求出点B 所表示的数，并在数轴上把点B 表示出来．
（2）点C 是数轴上的一个点，且CA ：CB ＝1：2，求点C 表示的数．
12．某巡警骑摩托车在一条东西大道上巡逻，某天他从岗亭出发，晚上停留在A 处，规定向东方向为正，向西方向为负，当天行驶情况记录如下（单位：千米）： +10，—8，+6，—14，+4，—2 （1）A 处在岗亭何方？距离岗亭多远？
（2）若摩托车每行驶1千米耗油0.5升，这一天共耗油多少升？
13．有8袋大米，以每袋25kg 标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后记录如下：
1.2+，0.1-， 1.0+，0.6-，0.5-，0.3+，0.4-，0.2+.
(1)这8袋大米中，最轻和最重的这两袋分别是多少千克？ (2)这8袋大米一共多少千克？
14．旭东中学附近某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况：
星期一二三四五六日
每斤价格相对于标准价
格（元）+1﹣2+3﹣1+2+5
﹣
4
售出斤数2035103015550
（1）这一周超市售出的百香果单价最高的是星期，最高单价是元．
（2）这一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）
（3）超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式：
方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打8折；
方式二：每斤售价10元．
于老师决定买35斤百香果，通过计算说明用哪种方式购买更省钱．
15．已知：a是最大的负整数，b是最小的正整数，且c＝a+b，请回答下列问题：
（1）请直接写出a，b，c的值：a＝；b＝；c＝；
（2）a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，请在如图的数轴上表示出A，B，C 三点；
（3）在（2）的情况下．点A，B，C开始在数轴上运动，若点A，点C以每秒1个单位的速度向左运动，同时，点B以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，请问：AB﹣BC的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出AB﹣BC的值．三、13
16．下列说法：①两个数互为倒数，则它们乘积为1；②若a、b互为相反数，则b
a
＝﹣
1；③两个四次单项式的和一定是四次多项式；④两个有理数比较，绝对值大的反而小；⑤若a为任意有理数，则a﹣|a|≤0；⑥﹣5πR2的系数是﹣5．其中正确的有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
17．生产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的篮球是()
A．+2.4B．−0.5C．+0.6D．−3.4
18．学校、家、书店座落在一条南北走向的大街上，学校在家南边20米，书店在家北边10米，张明从家里出发，向北走了50米，又向南走了70米，此时张明的位置在（）
A ．在家
B ．在学校
C ．在书店
D ．不在上述地方
19．若数轴上A ，B 两点之间的距离为8个单位长度，点A 表示的有理数是﹣10，并且A ，B 两点经折叠后重合，此时折线与数轴的交点表示的有理数是（ ）
A ．﹣6
B ．﹣9
C ．﹣6或﹣14
D ．﹣1或﹣9
20．已知3m +与2(2)n -互为相反数，则2m 等于（ ） A ．6
B ．6-
C ．9
D ．9-
21．下列说法正确的是（ ）
A ．0是最小的整数
B ．若a b =，则a b =
C ．互为相反数的两数之和为零
D ．数轴上两个有理数，较大的数离原点较远
22．若x 的相反数是3，||6y =，且0x y +<，则x y -的值是（ ） A ．3
B ．3或-9
C ．-3或-9
D ．-9
23．实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录(用A －C 表示观测点A 相对观测点C 的高度)，根据这次测量的数据，可得观测点A 相对观测点B 的高度是( )米． A －C C －D E －D F －E G －F B －G 90米
80米
－60米
50米
－70米
40米
A ．210
B ．170
C ．130
D ．50
24．有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列代数式值是负数的是（ ）
A ．+a b
B ．ab -
C ．-a b
D ．a b -+
25．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四点，其中表示互为相反数的点是（ ）
A ．点A 和B
B ．点B 和C
C ．点C 和D
D ．点A 和D
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、填空题
1．1【分析】首先确定原点位置可得B点对应的数进而可得C点对应的数【详解】解：∵点AB对应的数互为相反数∴线段AB的中点为数轴的原点∵AB=6∴B点对应的数为3∵BC=2且C 点在B点左侧∴点C对应的数为
解析：1
【分析】
首先确定原点位置，可得B点对应的数，进而可得C点对应的数．
【详解】
解：∵点A、B对应的数互为相反数，
∴线段AB的中点为数轴的原点，
∵AB=6,
∴B点对应的数为3，
∵BC=2，且C点在B点左侧，
∴点C对应的数为1.
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查了数轴，正确确定原点位置是解答此题的关键.
2．-
2【分析】由题意|x|＜3得﹣3＜x＜3再根据x为整数和x的最小值进行求解【详解】解：因为|x|＜3所以﹣3＜x＜3因为x为整数所以x取值为﹣2﹣1012所以x的最小值是﹣2故答案为：﹣2【点睛】
解析：-2
【分析】
由题意|x|＜3，得﹣3＜x＜3，再根据x为整数和x的最小值进行求解．
【详解】
解：因为|x|＜3，
所以﹣3＜x＜3，
因为x为整数，
所以x取值为﹣2，﹣1，0，1，2，
所以x的最小值是﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】
本题主要考查绝对值的几何意义，解决本题的关键是要能够理解绝对值的几何意义. 3．11【分析】求数轴上两点之间的距离将两点表示的数进行相减求出它们差的绝对值此时二者差的绝对值就是两点之间的距离【详解】==11所以答案为11【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间距离的求取熟练掌握相关
解析：11
【分析】
求数轴上两点之间的距离，将两点表示的数进行相减，求出它们差的绝对值，此时二者差
的绝对值就是两点之间的距离. 【详解】
)
110-
110=11.
所以答案为11. 【点睛】
本题主要考查了数轴上两点之间距离的求取，熟练掌握相关概念是解题关键.
4．4【分析】根据绝对值的意义即可求解【详解】根据绝对值的意义绝对值不大于3的非负整数有0123故答案为4【点睛】此题主要考查了绝对值关键是正确确定出符合条件的数
解析：4 【分析】
根据绝对值的意义即可求解． 【详解】
根据绝对值的意义，绝对值不大于3的非负整数有0，1，2，3． 故答案为4 【点睛】
此题主要考查了绝对值，关键是正确确定出符合条件的数.
5．±8【分析】根据绝对值的意义求出x 与y 的值然后因为所以判别出符号题意的x 与y 的值代入计算即可【详解】∵∴又∵∴当时=当时=所以答案为±8【点睛】本题主要考查了绝对值的性质以及有理数的运算熟练掌握相关
解析：±8 【分析】
根据绝对值的意义求出x 与y 的值，然后因为x y <，所以判别出符号题意的x 与y 的值代入计算即可 【详解】 ∵4x =，12
y =
∴4x =±，12
y =± 又∵x y < ∴当4x =-，1
2
y =时，x y ÷=8- 当4x =-，1
2
y =-时，x y ÷=8 所以答案为±8 【点睛】
本题主要考查了绝对值的性质以及有理数的运算，熟练掌握相关概念是解题关键
6．0【分析】根据相反数的定义0的相反数仍是0【详解】0的相反数是其本身
故答案为0【点睛】主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数0的相反数是其本身
解析：0
【分析】
根据相反数的定义，0的相反数仍是0．
【详解】
0的相反数是其本身．
故答案为0．
【点睛】
主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．0的相反数是其本身．7．－35或－1【分析】考虑两种情况：当点在已知点的左侧；当点在已知点的右侧根据题意先画出数轴便可直观解答【详解】如图：由图可知在左侧时：点B所表示的数是−18−17=−35在右侧时：点B所表示的数是−
解析：－35或－1
【分析】
考虑两种情况：当点在已知点的左侧；当点在已知点的右侧．根据题意先画出数轴，便可直观解答．
【详解】
如图：
由图可知，在左侧时：点B所表示的数是−18−17=−35.
在右侧时：点B所表示的数是−18+(−17)=−1.
故答案为：−1或−35.
【点睛】
此题考查数轴，解题关键在于画出数轴.
8．5或-
1【分析】本题只需明确平移和点所对应的数的变化规律：左减右加；该数在点2的基础上进行变化【详解】数轴上到点2的距离为3的点有2个：2﹣3=﹣12+3=5；所以他们分别表示数是5或﹣1故答案为5
解析：5或-1
【分析】
本题只需明确平移和点所对应的数的变化规律：左减右加；该数在点2的基础上进行变化．
【详解】
数轴上到点2的距离为3的点有2个：2﹣3=﹣1，2+3=5；
所以他们分别表示数是5或﹣1．
故答案为5或﹣1．
【点睛】
由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
二、解答题
9．（1）收工时在A地的东面10千米的地方；（2）距A地的距离最远为12千米；（3）8.8升．
【分析】
（1）计算所有行驶记录的有理数的和，再根据正数和负数的意义解答；
（2）逐次计算结果，当达到绝对值最大时即可；
（3）求出各个数的绝对值的和，进而求出用汽油的升数．
【详解】
解：（1）（-5）+（-3）+6+（-7）+9+8+4+（-2）=10（千米）
答：收工时在A地的东面10千米的地方；
（2）第一次距A地|-5|=5千米；
第二次：|-5-3|=8千米；
第三次：|-5-3+6|=2千米；
第四次：|-5-3+6-7|=9千米；
第五次：|-5-3+6-7+9|=0千米；
第六次：|-5-3+6-7+9+8|=8千米；
第七次：|-5-3+6-7+9+8+4|=12千米；
第八次：|-5-3+6-7+9+8+4-2|=10千米．
答：距A地的距离最远为12千米；
（3）|-5|+|-3|+|+6|+|-7|+|+9|+|+8|+|+4|+|-2|=44（千米），
44×0.2=8.8（升），
答：收工时一共需要行驶44千米，共用汽油8.8升．
【点睛】
本题考查正负数的意义，有理数的加法、绝对值的意义，理解正负数和绝对值的意义是解题的关键．
10．0或2．
【分析】
根据相反数，绝对值，倒数的概念和性质求得a与b，c与d及x的关系或值后，代入代数式求值．
【详解】
∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，
∴a+b=0，cd=1，
∵|x|=1，
∴x=±1，
当x=1时，a+b+x2-cdx=0+12-1×1=0；
当x=-1时，a+b+x2+cdx=0+（-1）2-1×（-1）=2．
【点睛】
本题主要考查相反数，绝对值，倒数的概念及性质．（1）相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；（2）倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数；（3）绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
11．（1）点B所表示的数是3；（2）点C表示的数是﹣11或﹣5
3
．
【分析】
（1）先求出AB的长度，再根据两点间的距离公式即可在数轴上把点B表示出来．（2）分两种情况：①点C在点A的左边；②点C在点A和点B的中间；进行讨论即可求解．
【详解】
解：（1）∵O与原点重合，点A表示的数为﹣4，
∴AO＝4，
∵AO+AB＝11，
∴AB＝7，
∵点A，O，B是数轴上从左至右的三个点，
∴点B所表示的数是﹣4+7＝3，
如图所示：
（2）①点C在点A的左边，
7×
1
2-1
＝7，
点C表示的数是﹣4﹣7＝﹣11；
②点C在点A和点B的中间，
7×
1
1+2
＝
7
3
，
点C表示的数是﹣4+7
3
＝﹣
5
3
．
故点C表示的数是﹣11或﹣5
3
．
【点睛】
本题考查了分类思想的应用以及数轴，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．12．(1)A处在岗亭西方，距离岗亭4千米；（2）22升.
【分析】
（1）把所有行驶记录相加，再根据正负数的意义解答；
（2）求出所有行驶记录的绝对值的和，然后乘以0.5计算即可得解．
解：（1）10-8+6-14+4-2=-4（千米）
答：A处在岗亭西方，距离岗亭4千米；
++（千米）
（2）10+-8+6+-14++4+-2=44
∴44×0.5=22（升）．
答：这一天共耗油22升．
【点睛】
本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
13．（1）最轻和最重的这两袋分别是24.4千克，26.2千克；（2）这8袋大米一共201.1千克.
【分析】
（1）根据题意可知超过的千克数最大的即为最终，不足的千克数最大的即为最轻；
（2）求8袋大米的总重量，可以用8×25加上正负数的和即可．
【详解】
解：(1)这8袋大米中，最轻和最重的这两袋分别是24.4千克，26.2千克；
⨯+++-+++-+-+++-+
(2)258( 1.2)(0.1)( 1.0)(0.6)(0.5)(0.3)(0.4)(0.2)
=.
201.1
答：这8袋大米一共201.1千克.
【点睛】
本题考查了正数与负数，有理数的运算在实际中的应用．理解题意，正确列出算式是解决问题的关键．
14．（1）六，15；（2）盈利135元；（3）选择方式一购买更省钱．
【分析】
（1）通过看图表的每斤价格相对于标准价格，可直接得结论；
（2）计算总进价和总售价，比较即可；
（3）计算两种购买方式，比较得结论．
【详解】
解：（1）这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六，最高单价是15元．
故答案为六，15；
（2）1×20﹣2×35+3×10﹣1×30+2×15+5×5﹣4×50＝﹣195（元），
（10﹣8）×（20+35+10+30+15+5+50）＝2×165＝330（元），
﹣195+330＝135（元）；
所以这一周超市出售此种百香果盈利135元；
（3）方式一：（35﹣5）×12×0.8+12×5＝348（元），
方式二：35×10＝350（元），
∵348＜350，
∴选择方式一购买更省钱．
本题考查了正负数的应用及有理数的计算．计算本题的关键是看懂图表了理解图表．盈利就是总售价大于总进价，亏损就是总售价小于总进价．
15．（1）﹣1，1，0；（2）见解析；（3）AB﹣BC的值为1．
【分析】
（1）根据题意可得（2）在数轴上直接标出．（3）先求出AB，BC的值，再计算AB-BC 的值，可得AB-BC的值是定值．
【详解】
（1）由题意可得a＝﹣1，b＝1，c＝﹣1+1＝0
（2）
（3）∵BC＝（1+5t）﹣（0﹣t）＝1+6t,
AB＝（1+5t）﹣（﹣1﹣t）＝2+6t
∴AB﹣BC＝2+6t﹣（1+6t）＝1,
∴AB﹣BC的值不会随着时间的变化而改变，AB﹣BC的值为1．
【点睛】
本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，解决本题的关键是要数形结合.
三、13
16．A
解析：A
【分析】
根据多项式、相反数、绝对值、倒数、有理数的大小比较、有理数的乘法、单项式逐个判断即可．
【详解】
解：如果两个数互为倒数，那么它们乘积为1，故①正确；
若a、b互为相反数且a、b都不为0时，b
a
＝﹣1，故②错误；
两个四次单项式的和是次数不高于四次的多项式，如x4+（﹣x4）＝0等，故③错误；
两个负有理数比较，绝对值大的反而小，故④错误；
若a为任意有理数，则a﹣|a|≤0，故⑤正确；
﹣5πR2的系数是﹣5π，故⑥错误；
即正确的有①⑤，共2个，
故选：A．
【点睛】
本题考查了多项式、相反数、绝对值、倒数、有理数的大小比较、有理数的乘法,属于简单题,熟悉有理数的相关概念是解题关键.
17．B
解析：B
【分析】
根据绝对值的意义，求得绝对值最小的即可得答案．
【详解】
|+2.5|=2.5，|-0.5|=0.5，|+0.6|=0.6，|-3.4|=3.4，
3.4＞2.5＞0.6＞0.5，
故选B．
【点睛】
本题考查了正数和负数，利用绝对值的意义是解题关键．
18．B
解析：B
【分析】
可规定家的位置为0，向北走为正，向南走为负，把所得数相加即可得到相应位置．【详解】
解：规定家的位置为0，向北走为正，向南走为负，
则0-50+70=20米，张明的位置在家南边20米处．即在学校，
故选：B．
【点睛】
本题考查了数轴的性质，解决本题的关键是确定原点和正负方向．
19．C
解析：C
【分析】
分点B在点A的左侧和点B在点A的右侧两种情况找出点B表示的有理数，结合折线与数轴的交点表示的有理数为点A，B表示的有理数的平均数，即可求出结论．
【详解】
解：当点B在点A的左侧时，点B表示的有理数是﹣10﹣8＝﹣18，
∴折线与数轴的交点表示的有理数是
1018
2
--
＝﹣14；
当点B在点A的右侧时，点B表示的有理数是﹣10+8＝﹣2，
∴折线与数轴的交点表示的有理数是
102
2
--
＝﹣6．
故选：C．
【点睛】
此题综合考查了数轴上的点和数之间的对应关系以及数轴上中点的求法．注意数轴上的点和数之间的对应关系．
20．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出m、n的
值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
∵|m+3|与(n−2)2互为相反数，
∴|m+3|+(n−2)2=0，
∴m+3=0，n−2=0，
解得m=−3，n=2，
所以,m 2=(−3)2=9.
故选C.
【点睛】
此题考查非负数的性质：绝对值，非负数的性质：偶次方，解题关键在于掌握运算法则.
21．C
解析：C
【分析】
根据各个选项中的说法可以判断其是否正确，从而可以解答本题.
【详解】
解：0不是最小的整数，故选项A 错误， 若a b =，则a b =±，故选项B 错误，
互为相反数的两个数的和为零，故选项C 正确，
数轴上两个有理数，绝对值较大的数离原点较远，故选项D 错误，
故选C.
【点睛】
本题考查了数轴、有理数，解题的关键是明确题意，可以判断题目中的各种说法是否正确.
22．A
解析：A
【分析】
根据题意，结合0x y +<，求出x 、y 的值，然后求出答案.
【详解】
解：∵x 的相反数是3，
∴=3x -，
∵||6y =，
∴6y =±，
∵0x y +<，
∴=3x -，6y =-，
∴3(6)3x y -=---=，
故选择：A.
【点睛】
本题考查了求代数式的值，绝对值的意义，以及相反数的定义，解题的关键是确定x 、y 的值.
23．A
解析：A
【分析】
观察表格可得：A比C高90米，C比D高80米，D比E高60米，F比E高50米，F比G 高70米，B比G高40米，利用以上信息转化为算式，通过变形得出A-B的关系即可.【详解】
由题意得：
A-C=90 ①；
C-D=80 ②；
D-E=60 ③；
E-F=-50 ④；
F-G=70 ⑤；
G-B=-40 ⑥；
∴①+②+③+④+⑤+⑥= A-C+C-D+D-E+E-F+F-G+G-B =90+80+60-50+70-40=210（米）.
所以答案为A选项.
【点睛】
本题主要考查了正负数的意义以及有理数的加减混合运算，根据题意得出A-B的算式关系是解题关键.
24．C
解析：C
【分析】
根据a，b在数轴的位置，即可得出a，b的符号，进而得出选项中的符号．
【详解】
根据数轴可知-1＜a＜0，1＜b＜2，
a b＞0，故此选项是正数，不符合要求，故此选项错误；
∴A．+
-＞0，故此选项是正数，不符合要求，故此选项错误；
B．ab
a b＜0，故此选项不是正数，符合要求，故此选项正确；
C．-
-+＞0，故此选项是正数，不符合要求，故此选项错误．
D．a b
故选：C．
【点睛】
此题考查有理数的大小比较以及数轴性质，根据已知得出a，b取值范围是解题关键．25．B
解析：B
【解析】
【分析】
观察数轴，利用相反数的定义判断即可．
【详解】
如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示互为相反数的点是点B和点C，
故选B．
【点睛】
此题考查了相反数，以及数轴，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．。