四川省成都2024届高三下学期高考模拟(二)数学(理科)试题含答案

成都高2021级高考模拟试题（二）
数学（理科）（答案在最后）
本试卷满分150分，考试时间120分钟，
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{}{
}22,1,0,1,2,40
A B x x =--=-<，则A B = （
）
A.
{}1,0,1- B.
{}0,1,2 C.
{}1,1- D.
{}
2,1,0,1,2--【答案】A 【解析】
【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂.
【详解】因为{}
{}2
40{22},2,1,0,1,2B x x x x A =-<=-<<=--，
所以{}1,0,1A B =- .故选：A
2.已知复数z 满足()z 2+i =3-i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（）
A.
B.
1- C.1
D.
【答案】B 【解析】
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得1i z =-，结合复数的概念，即可求解.【详解】由复数()2i 3i z +=-，可得()()()()3i 2i 3i 55i
1i 2i 2i 2i 5
z ----====-++-，所以复数z 的虚部是1-．故选：B ．
3.已知平面向量(1,)a m = ，()2,4b =- ，且a b ∥ ，则m =（
）
A.2
B.
12
C.12
-
D.2
-【答案】D 【解析】
【分析】利用平面向量平行的坐标运算公式即可.
【详解】因为(1,)a m = ，(2,4)a =- ，且a b ∥ ，所以14(2)0m ⨯--⨯=，
解得2m =-，所以D 正确.故选：D.
4.已知函数()1221,0,
,0,
x x f x x x ⎧-≤⎪
=⎨⎪>⎩若()3f m =，则m 的值为（
）
A.
B.2
C.9
D.2或9
【答案】C 【解析】
【分析】由题可得2130m m ⎧-=⎨≤⎩或1
23
m m ⎧⎪=⎨⎪>⎩，即求.
【详解】∵函数()1221,0
,0
x x f x x x ⎧-≤⎪
=⎨⎪>⎩，()3f m =，
∴2130m m ⎧-=⎨≤⎩或1
230
m m ⎧⎪=⎨⎪>⎩，解得9m =.故选：C.
5.如下图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m ，n ，则图形Ω面积的估计值为（
）
A.
ma n B.
na m
C.
2ma n D.
2na m
【答案】C 【解析】
【分析】根据落到不规则图形Ω和正方形中的点的个数，得到概率，即得到两者的面积的比值，根据所给的正方形的边长，求出面积，根据比值得到要求的面积的估计值．
【详解】解：∵由题意知在正方形中随机投掷n 个点，则n 个点中有m 个点落入Ω中，∴不规则图形Ω的面积：正方形的面积:m n =，∴不规则图形Ω的面积m
n
=
⨯正方形的面积2
2m ma a n n
=⨯=
．故选：C ．
6.已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3
和p =（）
A.2
B.2或4
C.1或2
D.1
【答案】B 【解析】【分析】
由题意，得到3
2M M y p
x ⎧=⎪
⎨+=⎪⎩
，结合抛物线方程，即可求出结果.【详解】因为抛物线22(0)y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3
和
所以32M M y p x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
，即32M M y p
x ⎧=⎪⎨=-
⎪⎩
，代入抛物线方程可得8232p p ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，整理得2680p p -+=，解得2p =或4p =.故选：B.
7.设命题:R p m ∃∈，使()()2
43
1m
m f x m x -+=-是幂函数，且在()0,∞+上单调递减；命题()2:2,,2x q x x ∀∈+∞>，则下列命题为真的是（
）A.()p q ∧⌝ B.
()p q
⌝∧ C.p q
∧ D.
()p q
⌝∨【答案】A 【解析】
【分析】根据特称命题与全称命题判断命题,p q 的真假，从而可得“或”、“且”、“非”命题的真假得结论.
【详解】对于命题p ，当2m =时，函数()1
f x x -=，是幂函数，且在()0,∞+上单调递减，故命题p 为真
命题；
对于命题q ，当3x =时，3223<，不满足()2
2,,2x
x x ∞∀∈+>，故命题q 为假命题．
所以“()p q ∧⌝”为真命题，“()p q ⌝∧”为假命题，“p q ∧”为假命题，“()p q ⌝∨”为假命题．故选：A ．
8.已知数列{}n a 满足1122n n n a a a ++-=⋅，且13a =，则2023a =（）
A.3
B.
12
C.-2
D.
43
【答案】B 【解析】
【分析】由已知可得数列递推式12
2n n
a a +=
-，求出其前面几项，可得数列的周期，由此可求得答案.【详解】由题意数列{}n a 满足1122n n n a a a ++-=⋅，则12
2n n
a a +=-，故由13a =，得
23452222,,1142,3
4232223223
2a a a a =
===-+-=-===-
，由此可知数列{}n a 的周期为4，故20234505331
2
a a a ⨯+===，故选：B
9.设函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()cos x f x e x =-，则不等式(21)(2)0f x f x --->的解集为（
）
A.(1,1)-
B.(,3)-∞-
C.(3,)-+∞
D.(1,)(,1)
+∞⋃-∞-【答案】D 【解析】【分析】
利用导数判断函数在[)0,∞+的单调性，然后根据奇偶性判断()f x 在(],0-∞的单调性，再利用单调性与奇偶
性结合求解不等式.
【详解】当0x ≥时，()cos x f x e x =-，所以()sin x f x e x '=+，因为0x ≥，所以1x e ≥，即
()1sin 0f x x '≥+≥，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，又因为函数()f x 为R 上的偶函数，所以函数()f x 在
(],0-∞上单调递减，在[)0,∞+上单调递增，则不等式(21)(2)0f x f x --->，等价于212x x ->
-，
所以1x <-或1x >.故选：D
.
【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x f x -==．
10.将函数1
π()sin (0)2
6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变，得到函
数()g x 的图象．若()g x 在π0,3⎛⎫
⎪⎝⎭
上有且仅有3个极值点，则ω的取值范围为（
）
A.511,22⎛⎤
⎥⎝
⎦ B.5,42⎛⎤
⎥⎝⎦
C.114,
2⎛⎤
⎥⎝⎦
D.11,72⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】C 【解析】
【分析】先根据题意得出函数π()sin 26g x x ω⎛
⎫=-
⎪⎝
⎭，当π
03x <<时，ππ2ππ26636
x ωω-<-<-，要使()g x 在π0,3⎛⎫
⎪⎝⎭上有且仅有3个极值点，需满足5π2ππ7π2362
ω<-≤，解不等式即可.
【详解】由题可知，π()sin 26g x x ω⎛
⎫=-
⎪⎝
⎭，当π
03x <<时，ππ2ππ26636
x ωω-<-<-．因为()g x 在π0,3⎛⎫
⎪⎝⎭上有且仅有3个极值点，所以5π2ππ7π2362ω<-≤，解得1142
ω<≤，
所以ω的取值范围为：114,2⎛⎤
⎥⎝⎦
．故选：C .
11.设1F ，2F 是双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，以线段12F F 为直径的圆与直线
0bx ay -=在第一象限交于点A ，若2tan 2AF O ∠=，则双曲线C 的离心率为（
）
A.53
B.
32
C.
D.2
【答案】A 【解析】
【分析】首先推得2AOF △为等腰三角形，再由三角形的内角和定理和三角函数的诱导公式和二倍角的正切公式，结合渐近线的斜率和离心率公式，计算可得所求值．【详解】由题意可得2||||AO OF c ==，即有2AOF △为等腰三角形，设22OAF AF O α∠=∠=，则22AOF πα∠=-，
所以()22
2tan tan tan 2tan 2tan 1
AOF απααα∠=-=-=-2224
213⨯==-即为
43
b a =，
所以5
3
c e a ====，故选：A
【点睛】关键点点睛：由题意得出2AOF △为等腰三角形，在三角形中利用三角函数，建立关于,a b 的方程，是求出离心率的关键，属于中档题.
12.如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,5AB AD AA ===，点E 为棱1CC 上的一个动点，平面1BED 与棱1AA 交于F ，则下列说法正确的是（
）
（1）三棱锥11B BED -的体积为20
（2）直线1B E 与平面11BB D D 所成角正弦值的最大值为
35
（3）存在唯一的点E ，使得1B D ⊥平面1BED ，且5
CE =
（4）存在唯一的点E ，使截面四边形1BED F 的周长取得最小值A.（1）（2）（3） B.（2）
（3）（4） C.（2）
（3） D.（2）
（4）【答案】D 【解析】
【分析】对（1），根据三棱锥等体积转换可得1111B BED E BB D V V --=求解判断；对（2），点E 到平面11BB D D 的距离等于点C 到平面11BB D D 的距离，当1B E 最小时即当点E 与点1C 重合时，此时直线1B E 与平面11BB D D 所成角正弦值的最大，求解判断；对（3），若（3）正确，可知点E 与点1C 重合，已找出矛盾；对（4），四边形1BED F 为平行四边形，周长取得最小值即1BE ED +最小时，将平面11BCC B 与将平面11DCC D 放在同一平面内，求得结果.
【详解】对于（1），如图过点C 作BD 垂线，垂足为M ，易知12
5
MC =
，在长方体中，1BB ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，所以1BB CM ⊥，又CM BD ⊥，1BD BB B ⋂=，
1,BD BB ⊂平面11BDD B ，所以MC ⊥平面11BDD B ，
11//CC BB ，1CC ⊄平面11BDD B ，1BB ⊂平面11BDD B ，所以1//CC 平面11BDD B ，
所以点E 到平面平面11BDD B 的距离等于点C 到平面11BDD B 的距离，即为MC ，三棱锥11B BED -的体积为11111111112
55103325
B BED E BB D BB D V V S M
C --==⋅=⨯⨯⨯⨯= ，故（1）错误；
对于（2），1//CC 平面11BB D D ，所以点E 到平面11BB D D 的距离等于点C 到平面11BB D D 的距离，距离为12
5
MC =
，所以当1B E 最小时即当点E 与点1C 重合时，
此时直线1B E 与平面11BB D D 所成角的正弦值最大，最大值为12
3545
=，故（2）正确；对于（3），若5CE =，可知点E 与点1C 重合，又因为11DC D C ∥，易知1B D 与DC 不垂直，故1B D 与11D C 不垂直，1B D 与平面1BED 不垂直，故（3）错误；
对于（4），四边形1BED F 的周长()12BE ED =+，周长取得最小值即()1BE ED +最小，
将平面11BCC B 与将平面11DCC D 放在同一平面内，可知()1BE ED +=，
所以截面四边形1BED F 的周长取得最小值，故（4）正确.综上，说法正确的有（2）（4）.故选：D.
【点睛】思路点睛：对（1）利用三棱锥等体积转换求解判断，对（2）根据1//CC 平面11BB D D ，所以点E 到平面11BB D D 的距离等于点C 到平面11BB D D 的距离，当1B E 最小时，直线1B E 与平面11BB D D 所成角正弦值的最大，判断求解，对（3）利用反证法判断，对（4）四边形1BED F 的周长最小即1BE ED +最小时，
将平面11BCC B 与将平面11DCC D 放在同一平面内，求解即可.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.c c o os 515s 7= _______．【答案】1
4
##0.25【解析】
【分析】利用诱导公式和倍角公式求解.【详解】(
)11cos 75cos 9015
cos15sin15sin 3024
cos15cos15=-===
．故答案为：
14
14.若3n
x
⎛- ⎝
的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的含2
x 的项的系数为___________.
【答案】270【解析】
【分析】根据展开式的二项式系数之和为232n =，求得5n =，然后利用通项公式求解.
【详解】由3n
x
⎛ ⎝
展开式的二项式系数之和为232n
=，解得5n =，
所以5
3x
⎛ ⎝展开式的通项公式为()()3
5552155C 313C r
r r r r r r
r T x x ---+⎛=⋅⋅=-⋅⋅⋅ ⎝
，令3
522
r -
=，解得2r =，所以含2x 项的系数为3
2
53C 270⨯=.故答案为：270.15.若函数()3
2113
f x x ax x =
-++存在极值点，则实数a 的取值范围为________．【答案】()(),11,-∞-⋃+∞【解析】
【分析】求导，根据题意知方程()0f x '=有两个不等的实根，可得出0∆>，从而得解.【详解】因为()32113
f x x ax x =
-++，可得()2
21f x x ax '=-+，因为函数()f x 存在极值点，所以()0f x '=有两不等实根，
则2440a ∆=->，解得1a <-或1a >，所以a 的取值范围是()(),11,-∞-⋃+∞.故答案为：()(),11,-∞-⋃+∞.
16.高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数
()[]f x x =称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如][2.32, 1.92⎡⎤=-=-⎣⎦，已知数列{}n a 满
足121,5a a ==，2145n n n a a a +++=，若[]21log ,n n n b a S +=为数列18108n n b b +⎧⎫
⎨
⎬⋅⎩⎭
的前n 项和，则
[]2025S =_________．
【答案】2025【解析】
【分析】由2145n n n a a a +++=变形为()2114n n n n a a a a +++-=-，得到数列{}1n n a a +-是等比数列，从而得到
14n n n a a +-=，再利用累加法得到1n a +，从而[]21log 2n n b a n +==，再利用裂项相消法求解.
【详解】解：由2145n n n a a a +++=得()2114n n n n a a a a +++-=-，又21514a a -=-=，所以数列{}1n n a a +-是以4为首项和公比的等比数列，故14n
n n a a +-=，由累加法得()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+ 1141
44
413
n n
n +--=++++= 所以[]121241log log 3n n n b a ++⎡⎤
-==⎢⎥⎣
⎦，
()
111222241
log log 41log 3log 41213
n n n n +++-=--<-=+ ，
又()122241441
log log log 42,233
n
n n n
n b n +-->==∴=，令()118108810881081
1,20272221n n n n n n c c b b b b n n n n ++⎛⎫=
===- ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭
，
121111
11202712231n n n S c c c c n n -⎛⎫∴=++++=-+-++- ⎪+⎝⎭ ，
1202711n S n ⎛
⎫∴=- ⎪+⎝⎭
，
代入2025n =得[]202512027120252026S ⎡⎤
⎛⎫=⨯-
= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣
⎦
.故答案为：2025
三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答（一）必考题：共60分．
17.《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如茎叶图所示，但其中一个数字
被污损．
（1）若将被污损的数字视为0~9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；
（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情，现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间y （单位：小时）与年龄x （单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）；年龄x
20
30
40
50
每周学习诗词的平均时间y
3 3.5 3.54
由表中数据分析，x 与y 呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间．
附：回归方程y bx a =+$$$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
()()()
1
2
2
1
,ˆˆˆn n
i
i
i i
n i
i n
n
i i
n i
i x x y y x y nxy
b
a
y xb x x x
nx ====---==
=--∑∑∑∑．【答案】（1）
3
5
（2） 0.03 2.45y x =+；4.25小时【解析】
【分析】（1）求出两组数据的平均数，推出x 的范围，然后求解概率．
（2）求出样本中心坐标，求出回归直线的斜率以及截距，然后求解即可．【小问1详解】
设污损的数字为x ，由北方观众平均人数超过南方观众平均人数得
7879828180737778868055
x
+++++++++>
6,x ⇒<即0,1,2,3,4,5
x =63105
P ∴=
=；【小问2详解】
1(20304050)354x =+++=，1
(3 3.5 3.54) 3.54
y =+++=，
∴4490xy =，
又
4
1
20330 3.540 3.5504505i
i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，4
222221
203040505400i i x ==+++=∑，
∴2
505490
ˆ0.035400435
b
-==-⨯，∴ˆ 3.50.0335 2.45a =-⨯=，
∴ˆ0.03 2.45y
x =+，60x ∴=时，ˆ 4.25y
=．答：年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为4.25小时．
18.在①2sin cos (sin cos cos sin )c B A b A B A B =+；②222sin sin cos 1sin()sin()B C A A B A C ++-=++；
③
sin sin sin
csin b B c C a A A B +-=；这三个条件中任选一个，补充在下面对问题中，并解答问题.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足.
（1）求A ；
（2）若ABC 的面积为D 为AC 的中点，求BD 的最小值.【答案】（1）条件选择见解析，3
A π
=
（2）
【解析】
【分析】（1）选①：利用正弦定理边化角结合两角和的正弦化简求解；选②：利用平方关系结合正弦定理角化边，再利用余弦定理求解；选③：利用正弦定理角化边得cos
A A =即可求解；
（2）由面积得64bc =，结合余弦定理和基本不等式求最值.【小问1详解】
若选择①：()2sin cos sin cos cos sin c B A b A B A B =+，
由正弦定理可得()2sin sin cos sin sin sin sin C B A B A B B C =+=，因(0,π)C ∈，(0,π)B ∈,故sin 0C ≠，sin 0B ≠，则有1cos 2
A =
，因(0,π)A ∈,故π
3A =.
若选择②：222sin sin cos 1sin()sin()B C A A B A C ++-=++，则222sin sin sin sin()sin()sin sin B C A A B A C C B +-=++=，由正弦定理可得222b c a bc +-=，
故2221
cos 22
b c a A bc +-=
=，因(0,π)A ∈,故π
3
A =.
若选择③
sin sin sin
csin b B c C a A A B +-=；由正弦定理可得，
222
2b c a A bc +-=，
再由余弦定理得，cos
A A =
，即tan A =，
(0,π)A ∈ ，π3
A ∴=
．【小问2详解】
1
sin 2ABC S cb A =
= π,643
A bc =∴=，在三角形BCD 中，2222cosA BD BA AD BA AD =+-⋅⋅⋅2
2π2cos 223b b c c ⎛⎫=+-⋅⋅ ⎪⎝⎭
，
2
c =+
2111324222b cb cb cb -≥==，
当且仅当2
b
c =
=时取等号，BD ∴的最小值为
19.已知球内接正四棱锥P ABCD -的高为3,,AC BC 相交于O ，球的表面积为169π
9
，若E 为PC 中点.（1）求证：//OE 平面PAD ；（2）求二面角A BE C --的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）233
33
-
.【解析】
【分析】（1）由题意可得//OE AP ，利用线面平行的判断定理可得结论；
（2）结合题中的几何关系建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得二面角A BE C --的余弦值为
33
-
.【小问1详解】
证明：由,O E 分别是,CA CP 的中点，得//OE AP ，又OE ⊄平面,PAD AP ⊂平面PAD ，所以//OE 平面PAD .
【小问2详解】
由球的表面积公式24πS R =，得球的半径136
R =
，设球心为1O ，在正四棱锥P ABCD -中，高为PO ，则1O 必在PO 上，连1AO ，则11513,66
O O AO =
=，则在1Rt O OA △，则2
2
2
11OO OA O A +=，即2OA =,
在正四棱锥P ABCD -中，PO ⊥平面ABCD 于O ，且AC BD ⊥于O ，设,,OA OB OP 为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -
系，
得()()()()()0,0,3,2,0,0,0,2,0,2,0,0,0,2,0,P A B C D PC --中点31,0,
2E ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
，所以()()32,2,0,1,2,,2,2,02AB BE BC ⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝
⎭
，
设()(),,,,,m a b c n x y z ==
分别是平面ABE 和平面CBE 的法向量，
则2203202m AB a b m BE a b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ 和220
320
2n BC x y n BE x y z ⎧⋅=--=⎪
⎨⋅=--+=⎪⎩
，令1,3a x ==-，可得1,2,3,2b c y z ====，
可得()()1,1,2,3,3,2m n ==-
，则cos ,33m n m n m n
⋅〈〉==⋅，由图可知，二面角A BE C --的大小为钝角，所以二面角A BE C --
的余弦值为33
-
.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2
2
，且过点()2,1A ．
（1）求C 的方程：
（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．
【答案】（1）22
163
x y +=；（2）详见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.
（2）方法一：设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.
【详解】（1）由题意可得：222222
241
1c a
a b a b c ⎧=⎪
⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得：2226,3a b c ===，
故椭圆方程为：22
163
x y +
=.(2)［方法一］
：通性通法设点()()1122,,,M x y N x y ，
若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：(
)2
2
2124260k
x
kmx m +++-=，
可得122412km x x k +=-+，2122
26
12m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =
，即()()()()121222110x x y y --+--=，
根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：
()
()()()2
2
121212140x x km k x x k
m ++--++-+=，
所以(
)
()()222
22
264121401212m km
k km k m k k
-⎛⎫
++---+-+= ⎪++⎝⎭
，整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为21
33
y k x ⎛⎫=-
- ⎪⎝
⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫-
⎪⎝⎭
.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，
由·0AM AN =
得：()()()()111122110x x y y --+---=，得()1
2
21210x y -+-=，结合2211163
x y +=可得：2
113840x x -+=，
解得：12
3
x =或22x =（舍）.
此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故122
23
DQ AP =
=
，若D 与P 重合，则12DQ AP =
，故存在点41,33Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，使得DQ 为定值.［方法二］【最优解】：平移坐标系
将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为22
(2)(1)163
x y +++=，设
直线MN 的方程为4mx ny +=．将直线MN 方程与椭圆方程联立得224240x x y y +++=，即
22()2()0x mx ny x y mx ny y +++++=，化简得22(2)()(1)0n y m n xy m x +++++=，即
2
(2)()(1)0y y n m n m x x ⎛⎫⎛⎫
+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
设()()1122,,,M x y N x y ，因为AM AN ⊥则1212AM AN y y k k x x ⋅=
⋅1
12
m n +==-+，即3m n =--．代入直线MN 方程中得()340n y x x ---=．则在新坐标系下直线MN 过定点44,33⎛⎫
-
- ⎪⎝
⎭，则在原坐标系下直线MN 过定点21,33P ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点41,33⎛⎫
⎪⎝⎭
即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，使得1||||23DQ AP ==．
［方法三］：建立曲线系A 点处的切线方程为
21163
x y ⨯⨯+=，即30x y +-=．设直线MA 的方程为11210k x y k --+=，直线MB 的方程为22210k x y k --+=，直线MN 的方程为0kx y m -+=．由题意得121k k ×
=-．则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线,MA MB 可表示为
()()22112212121063x y k x y k k x y k λ⎛⎫
+
-+--+--+= ⎪⎝⎭
（其中λ为系数）．用直线MN 及点A 处的切线可表示为()(3)0kx y m x y μ-+⋅+-=（其中μ为系数）．
即()()22112212121()(3)63x y k x y k k x y k kx y m x y λμ⎛⎫
+-+--+--+=-++- ⎪⎝⎭
．对比xy 项、x 项及y 项系数得
()()()121212(1),4(3),21(3).k k k k k m k k k m λμλμλμ⎧+=-⎪
++=-⎨⎪+-=+⎩
①②③
将①代入②③，消去,λμ并化简得3210m k ++=，即21
33
m k =--．故直线MN 的方程为2133y k x ⎛
⎫=-
- ⎪⎝
⎭，直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径
的圆上．AP 中点41,33⎛⎫
⎪⎝⎭
即为圆心Q ．
经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，使得1||||23DQ AP ==．
［方法四］：
设()()1122,,,M x y N x y ．
若直线MN 的斜率不存在，则()()1111,,,M x y N x y -．因为AM AN ⊥，则0AM AN ⋅= ，即()12
21210x y -+-=．由22
11163
x y +=，解得123x =或12x =（舍）
．所以直线MN 的方程为2
3
x =
．若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，则
()()()222122()6120x kx m k x x x x ++-=+--=．
令2x =，则()()122
2(21)(21)
2212k m k m x x k +-++--=
+．
又()()2
2
1221262y m y y y y y k k -⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，令1y =，则()()122
(21)(21)
1112k m k m y y k +--+---=
+．
因为AM AN ⊥，所以()()()()12122211AM AN x x y y ⋅=--+-- 2
(21)(231)
12k m k m k
+-++=+0=，即21m k =-+或21
33
m k =--．
当21m k =-+时，直线MN 的方程为21(2)1y kx k k x =-+=-+．所以直线MN 恒过(2,1)A ，不合题意；当2133m k =-
-时，直线MN 的方程为21213333y kx k k x ⎛
⎫=--=-- ⎪⎝
⎭，所以直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．
综上，直线MN 恒过21,33P ⎛⎫
-
⎪⎝⎭，所以||3
AP =．又因为AD MN ⊥，即AD AP ⊥，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动．
取线段AP 的中点为41,33Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则1||||2DQ AP ==．
所以存在定点Q ，使得||DQ 为定值．
【整体点评】（2）方法一：设出直线MN 方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点P ，再根据平面几何知识可知定点Q 即为AP 的中点，该法也是本题的通性通法；
方法二：通过坐标系平移，将原来的O 点平移至点A 处，设直线MN 的方程为4mx ny +=，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出,m n 的关系，从而可知直线过定点P ，从而可知定点Q 即为AP 的中点，该法是本题的最优解；
方法三：设直线:MN y kx m =+，再利用过点,,A M N 的曲线系，根据比较对应项系数可求出,m k 的关系，从而求出直线过定点P ，故可知定点Q 即为AP 的中点；
方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解()()1222--x x 以及()()1211y y --的计算．
21.已知函数()()()ln 2,ln f x x ax x g x x x x a =+-=--，（1）若()f x 与()g x 有相同的单调区间，求实数a 的值；
（2）若方程()()331f x g x x a =++-有两个不同的实根12,x x ，证明：12e a x x >.
【答案】（1）1
2（2）证明见解析【解析】
【分析】（1）先分析()g x 的单调性，从而结合()f x 的导数得到a ，再进行检验即可得解；（2）将问题转化为22ln 10ax x x -+=有两个不同的实根12,x x ，构造函数()1
2ln h x ax x x
=-+，利用导数求得a 的取值范围，再利用零点的定义消去a 转化得()12122
1212211
ln ln x x x x x x x x x x x x ++-
=-，从而构造函数()1
ln 1
t t t t ω-=-
+，利用导数证得12e x x >，从而得证.【小问1详解】
函数()f x 与()g x 的定义域均为()0,∞+，由()ln g x x x x a =--得()ln g x x '=，当01x <<时，()()0,g x g x '<单调递减；当1x >时，()()0,g x g x '>单调递增，
由()()ln 2f x x ax x =+-得()2ln 1f x ax x =+-'，
因为()f x 与()g x 有相同的单调区间，
所以()1210f a =-='，解得12
a =
，当12a =时，()()21ln 2,ln 12f x x x x x f x x x =+-=+-'，因为()f x '在区间()0,∞+上单调递增，且()1f '=0，
所以当01x <<时，()()0,f x f x '<单调递减；
当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增，
此时()f x 与()g x 有相同的单调区间，符合题意，故12
a =.【小问2详解】
方程()()331f x g x x a =++-有两个不同的实根12,x x ，
等价于22ln 10ax x x -+=有两个不同的实根12,x x ，等价于12ln ax x x
=-有两个不同的实根12,x x ，令()12ln ,0h x ax x x x =-+>，则()2221221ax x h x a x x x
--=--='，当0a ≤时，()()0,h x h x '<单调递减，不符合题意，舍去；
当0a >时，方程()0h x '=必有一正根0x ，使得200210ax x --=，即00
12ax x =+，且当00x x <<时，()()0,h x h x '<单调递减；当0x x >时，()()0,h x h x '>单调递增，若方程12ln ax x x =-
有两个不同的实根，()000000122ln 22ln 0h x ax x x x x =-+=+-<，令()11ln x x x
ϕ=+-，则()x ϕ单调递减，因为()1e 0e
ϕ=>，所以0011e,0e x x ><<，所以2
220001212e 1111e a x x x ⎛⎫+=+=+-<< ⎪⎝⎭，
因为12,x x 是方程12ln ax x x =-
的两个不同的实根，所以11112ln ax x x =-，222
12ln ax x x =-，两式相加，得()()121212122ln x x a x x x x x x ++=-，即()121212
2ln 1x x a x x x x =-+，两式相减，得()221211122ln x x x a x x x x x --=+，即212112
2ln 1x x a x x x x =+-，所以()2121121221122ln
2ln 11x x x x x x x x x x x x -=++-，整理得()121221212211ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-，不妨设120x x <<，令()21121,ln ln 1,111
x t t t t t t x t t ω-=>=-=+->++，则()222
1210(1)(1)t t t t t t ω+=-=>++'，所以()t ω单调递增，()()10t ωω>=，所以221112ln x x x x x x ->+，所以()121221212211
ln 1x x x x x x x x x x x x ++-=>-，所以()121212
ln 11x x x x x x +>+>，所以12e x x >，又因为1a <，所以12e a x x >.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值）
，从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
[选修4-4，坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C
的参数方程为2x y αα
⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 的参数方程为
2x y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 22ρθ=．
（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）已知点P 的极坐标为()2,2π，直线l 与曲线1C 相交于E ，F 两点，直线l 与曲线2C 相交于A ，B 两点，且11m EF PA PB
+=，求实数m 的值．【答案】（1）()2223x y -+=，22
122
x y -=（2）12
m =
【解析】
【分析】（1）由消参法可得曲线1C 的普通方程，根据极坐标和直角坐标之间的转化公式可得曲线2C 的直角坐标方程；
（2）求得点P 直角坐标，判断点P 位置，结合曲线1C 方程，求得EF ，利用直线的参数方程中参数的几何意义求得11PA PB +的值，结合11m EF PA PB
+=，即可求得答案.【小问1详解】
曲线1C
的参数方程为2x y αα
⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），
则2222(2)))x y αα-+=+，
即曲线1C 的普通方程为()2223x y -+=．
因为2cos 22ρθ=，所以()22222cos sin 2,2x y ρθθ-=∴-=，
则曲线2C 的直角坐标方程为22
122
x y -=．【小问2详解】
因为点P 的极坐标为()2,2π，所以点P 的直角坐标为()2,0，则点P 在直线l 上，
且点P 为曲线1C ：()2
223x y -+=
的圆心，所以EF =．
因为直线l
的标准参数方程为2212x s y s ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（s 为参数），将其代入曲线2C
的直角坐标方程中，得240s ++=，320∆=>,
设A ，B 两点对应的参数分别为1s ，2s
，则1212
4s s s s ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩则10t <，20t <
，故121212
1111s s PA PB s s s s ++=+==．又11m EF PA PB +=
1,2
m =∴=．[选修4-5：不等式选讲]
23.已知函数()21f x x a x =+--，R a ∈．
（1）当2a =时，求不等式()0f x ≤的解集；
（2）当1a =-时，函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正数，且2224a b c m ++=，求2a b c ++的最大值．
【答案】（1）(][)
,04,-∞+∞U （2）3
【解析】
【分析】（1）将函数写成分段函数，再分类讨论分别得到不等式组，解得即可；
（2）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值，即可得到22243a b c ++=，再由柯西不等式计算可得.
【小问1详解】
当2a =时()4,12213,214,2x x f x x x x x x x -+≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩
，
所以不等式()0f x ≤等价于240x x ≤-⎧⎨-≤⎩或2130x x -<<⎧⎨≤⎩或140x x ≥⎧⎨-+≤⎩
，解得2x ≤-或20x -<≤或4x ≥，
综上可得不等式()0f x ≤的解集为(][
),04,∞∞-⋃+.
【小问2详解】
当1a =-时()()()21213f x x x x x =++-≥+--=，当且仅当()()210x x +-≤，即21x -≤≤时取等号，所以22243a b c ++=，
又a ，b ，c 均为正数，所以()()()2222222911142a b c a b c =++++≥++，
所以23a b c ++≤，当且仅当21a b c ===，即1a b ==、12c =
时取等号，所以2a b c ++的最大值为3.。