2019高考数学二轮复习“12+4”小题提速练(四)理

“12＋4”小题提速练(四)

一、选择题

1．(2018·湖州模拟)已知复数z 满足(3－4i)z ＝25，则z ＝( ) A ．－3－4i B ．－3＋4i C ．3－4i

D ．3＋4i 解析：选D 由已知可得z ＝

25

3－4i

＝＋

－

＋

＝3＋4i ，故选D.

2．(2018·贵阳模拟)设集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}，B ＝⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

x ＋1

x －3<0，则A ∪B ＝( ) A ．(－2,1) B ．(－2,3) C ．(－1,3)

D ．(－1,1)

解析：选B A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |－1<x <3}，A ∪B ＝{x |－2<x <3}，故选B.

3．(2018·张掖模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝( ) A ．－4 B ．－6 C ．－8

D ．－10

解析：选B ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 2

3＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2

＝a 1(a 1＋6)，∴a 1＝－8，∴a 2＝－8＋2＝－6. 4．(2018·唐山模拟)执行如图所示的程序框图，当输入的n 为7时，输出的S 的值是( )

A ．14

B ．210

C ．42

D ．840

解析：选B n ＝7，S ＝1,7<5？，否，S ＝7×1＝7，n ＝6,6<5？，否，S ＝6×7＝42，n ＝5,5<5？，否，S ＝5×42＝210，n ＝4,4<5？，是，退出循环，输出的S 的值为210，选B.

5．(2018·河北五个一名校联考)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落在

阴影部分(曲线C 的方程为x 2

－y ＝0)的点的个数约为( )

A ．3 333

B ．6 667

C ．7 500

D ．7 854

解析：选B 题图中阴影部分的面积为⎠

⎛0

1(1－x 2

)dx ＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫x －x 33⎪⎪

⎪

1

0＝2

3

，正方形的面积为1，设落在阴影部分

的点的个数为n ，由几何概型的概率计算公式可知，231＝n

10 000

，n ≈6 667，故选B.

6．已知函数f (x )＝

2

x －1

，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的图象关于点(1,0)中心对称 B ．函数f (x )在(－∞，1)上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称

D ．函数f (x )的图象上至少存在两点A ，B ，使得直线AB∥x 轴 解析：选A 由题知，函数f (x )＝

2x －1的图象是由函数y ＝2

x

的图象向右平移1个单位长度得到的，可得函数f (x )的图象关于点(1,0)中心对称，选项A 正确；函数f (x )在(－∞，1)上是减函数，选项B 错误；易知函数f (x )

＝

2

x －1

的图象不关于直线x ＝1对称，选项C 错误；由函数f (x )的单调性及函数f (x )的图象，可知函数f (x )的图象上不存在两点A ，B ，使得直线AB∥x 轴，选项D 错误．故选A.

7．已知双曲线C ：x 2m －y 2m 2＋4

＝1的离心率为5，左、右焦点分别为F 1，F 2，则双曲线C 上满足MF 1―→·MF 2―→

＝0

的点M 构成的图形的面积为( )

A.285 B ．565

C.745

D.965

解析：选D 由题意得m >0，m ＋m 2＋4m

＝5，解得m ＝2，所以双曲线C ：x 22－y 28＝1，设M(x 0，y 0)，则x 202－

y 20

8＝1，因为MF 1―→·MF 2―→＝0，所以x 20＋y 2

0＝10，故y 0＝±4105，x 0＝±3105，所以满足条件的点M 共有四个，构成

一个矩形，长为8105，宽为6105，故面积为96

5

.

8．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形，则双

曲线C 的离心率为( )

A.52

B ．

62

C. 3

D. 5

解析：选B 设双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，虚轴的一个端点为A ，则∠F 1A F 2＝120°，得c

b

＝t an 60°，

即c ＝3b ，a ＝2b ，所以双曲线C 的离心率e ＝

6

2

. 9．我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”

是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )

A ．4－π

2

B ．8－4π3

C ．8－π

D ．8－2π

解析：选C 由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等．根据题设所给的三视图，可知图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为23

＝8，半圆柱的体积为12

×(π×12

)×2＝π，因此该不规则几何体的体积为8－π，故选C.

10．(2018·西安三模)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP ―→＝OA ―→

＋λ(AB ―→＋AC ―→

)，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

解析：选C 设BC 的中点为D ，则由OP ―→＝OA ―→＋λ(AB ―→＋AC ―→)，可得AP ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)＝2λAD ―→

，所以

点P 在△ABC 的中线AD 所在的射线上，所以动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．故选C.

11．已知三棱锥S­ABC 的每个顶点都在球O 的表面上，SA ⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝215，且二面角S­BC­A 的正切值为4，则球O 的表面积为( )

A ．240π

B ．248π

C ．252π

D ．272π

解析：选D 取BC 的中点D ，连接SD ，AD ，易知AD ⊥BC ，SD ⊥BC ，所以∠SDA 是二面

角S­BC­A 的平面角，于是有t an ∠SDA＝4，即SA ＝4AD ＝442

－

15

2

＝4.在△ABC 中，sin∠ABC ＝AD AB ＝14，由正弦定理得△ABC 的外接圆半径r ＝AC 2si n ∠ABC ＝

8. 可将三棱锥

S­ABC 补形成一个直三棱柱ABC­SB′C′，其中该直三棱柱的底面为△

ABC ，高为SA ＝4，

因此三棱锥S­ABC 的外接球的半径R ＝22

＋82

＝68，因此三棱锥S­ABC 的外接球的表面积为4πR 2

＝272π，选D.

12．(2018·武昌模拟)已知函数f (x )＝l n x x

－kx 在区间[e 41

，e]上有两个不同的零点，则实数k 的取值范围

为( )