八年级数学勾股定理应用之整体代换、折叠、等积变换(勾股定理)基础练习(含答案)

八年级数学勾股定理应用之整体代换、折叠、等积变换（勾股定理）基础练习
总分120分
一、单选题(共4道，每道8分)
1.如果直角三角形两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（）
A.60∶13
B.5∶12
C.12∶13
D.60∶169
答案：D
解题思路：此题应用的是等积变换思想：可设直角三角形两直角边分别为5n、12n，由勾股定理可求得斜边长为13n；由等积变换——直角三角形的面积等于两直角边长乘积除以2，
也等于斜边长与斜边上的高的乘积除以2，由此可求得斜边上的高为n，故答案为D.
易错点：不会灵活应用等积变换思想
试题难度：三颗星知识点：直角三角形的性质
2.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）
A.24cm2
B.36cm2
C.48cm2
D.60cm2
答案：A
解题思路：此题应用的是整体代换思想：由题意知，a2+b2=102，a+b=14.由整体代换，
ab=[(a+b)2-(a2+b2)]=48.故S△=ab=24(cm2)，故选A.
易错点：不会应用整体代换思想解决问题
试题难度：四颗星知识点：直角三角形的性质
3.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）cm2
A.6
B.8
C.10
D.12
答案：A
解题思路：此题是勾股定理应用之折叠问题：设AE=x，则DE=9-x.由于沿EF折叠后，点B 与点D重合，故DE=BE=9-x.在△ABE中应用勾股定理，有x2+32=（9-x）2，解得x=4，即AE=4，
故S△=AB×AE=6（cm2），故选A.
易错点：不熟悉折叠问题，列不出相应的等式关系解决问题
试题难度：四颗星知识点：勾股定理的应用
4.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b=17cm，c=13 cm，则Rt△ABC的面积为（）
A.24cm2
B.30cm2
C.48cm2
D.60cm2
答案：B
解题思路：此题应用的是整体代换思想：由题意知，a2+b2=132，a+b=17.由整体代换，
ab=[（a+b）2-（a2+b2）]=60.故S△ABC=ab=30（cm2），故选B.
易错点：应用勾股定理时，其中一直角边为底边的一半，而不是整个底边长
试题难度：四颗星知识点：直角三角形的性质
二、填空题(共3道，每道6分)
1.底边长为16cm，底边上的高为6cm的等腰三角形的腰长为______cm．
答案：10
解题思路：根据等腰三角形的三线合一的性质，得底边上的高也是底边上的中线．则该等腰三角形的腰长的平方是62+82=100，故腰长为10（cm）.
易错点：应用勾股定理时，其中一直角边为底边的一半，而不是整个底边长
试题难度：二颗星知识点：勾股定理
2.在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高______米.
答案：15
解题思路：由题意知AD+DB=BC+CA，且CA=20米，BC=10米，设BD=x，则AD=30-x，且在Rt△ACD中CD2+CA2=AD2，即（30-x）2=（10+x）2+202，解得x=5米，故树高为CD=10+x=15米.
易错点：列不出等式关系来求解问题
试题难度：四颗星知识点：勾股定理的应用
3.直角三角形两直角边长分别为5cm，12cm，则斜边上的高为______.
答案：cm
解题思路：此题应用的是等积变换思想：由勾股定理可求得斜边长为13cm，由等积变换——直角三角形的面积等于两直角边长乘积除以2，也等于斜边长与斜边上的高的乘积除以2，
故可求得斜边上的高为cm.
易错点：不会灵活应用等积变换思想
试题难度：三颗星知识点：勾股定理
三、解答题(共7道，每道10分)
1.要登上9m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子固定在一个高1m的固定架上，并且底端离建筑物最少是6m，梯子至少需要多长？
答案：10m
解题思路：根据题意，画出图形，AD表示建筑物，则由题意知：BD=1m、AB=8m，BC表示梯子底端到建筑物的距离，AC为梯子的长度.在Rt△ABC中，有AC2=AB2+BC2=64+BC2.要使梯子最短，只需使BC最小即可，由条件知，BC最小取6，此时AC2=100，又AC>0，故AC=10（m），即梯子至少要10m．
易错点：不会应用勾股定理解决实际问题
试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用
2.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长.
答案：3cm
解题思路：此题是勾股定理应用之折叠问题：设CD=x，则BD=8-x.由于△ACD沿AD折叠后与△AED重合，故DE=x，且DE⊥AB、AE=AC=6.由勾股定理可求得AB=10，所以BE=4，故在Rt△BDE
中应用勾股定理，即x2+42=（8-x）2，求得x=3，即CD=3（cm）.
易错点：不理解折叠问题的含义，列不出等式关系求解问题
试题难度：四颗星知识点：勾股定理的应用
3.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
答案：10
解题思路：设AE=x，则BE=25-x，在Rt△ADE和Rt△BCE中分别应用勾股定理，即DE2=152+x2，CE2=102+（25-x）2.又DE=CE，可解得x=10km，即AE=10km．
易错点：列不出等式关系求解问题
试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用
4.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出BD的长吗？
答案：5cm
解题思路：此题是勾股定理应用之折叠问题：设BD=x，则CD=8-x.由于△ACD沿AD折叠后与△AED重合，故DE=8-x，且DE⊥AB、AE=AC=6.由勾股定理可求得AB=10，所以BE=4，故在Rt△BDE 中应用勾股定理，有（8-x）2+42=x2，求得x=5，即BD=5（cm）.
易错点：没有注意到折叠前后的图形是全等的，所以列不出相应的等式来解决问题
试题难度：四颗星知识点：勾股定理的证明
5.小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？
答案：28m
解题思路：此题应用的是整体代换思想：设两直角边长分别为a、b，则a2+b2=102，ab=48.有整体代换可知，（a+b）2=a2+b2+2ab =196，而a+b>0，所以a+b=14.故可求得矩形鱼池的周长等于2（a+b）=28（m）.
易错点：不会应用整体代换思想解决问题
试题难度：四颗星知识点：勾股定理的应用
6.已知一直角三角形的三边长都是正整数，其中斜边长13，并且周长为30，求其面积．
答案：30
解题思路：此题应用的是整体代换思想：设两直角边长分别为a、b，则a2+b2=132，
a+b=30-13=17.由整体代换，ab=[（a+b）2-（a2+b2）]=60.故S△=ab=30.
易错点：不会应用整体代换思想解决问题
试题难度：四颗星知识点：勾股定理的应用
7.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．
答案：12米
解题思路：设旗杆的高为x米，则绳子的长为（x+1）米.应用勾股定理，可得x2+52=（x+1）2，解得x=12，即旗杆的高为12米．
易错点：不会应用勾股定理解决实际问题
试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用。