甘肃省天水市第一中学高三数学上学期第一次月考试题

天水一中2014级2016—2017学年度第一学期第一阶段考试试题
数 学（理）
第一卷：选择题共60分
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；在每个小题给出的四个选项中，有且只
有一个是符合题目要求的） 1．已知函数21i
z i
=
+,则z 的共轭复数z 是（ ） A ．1i - B ．1i + C ．i D ．i - 2．3
1
)2
cos(
=
-απ
，则=-)2cos(απ（ ） A ．92
4-
B ．9
24 C ．97- D ．97
3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0,1）上为增函数的是（ ）
A ．ln ||y x =
B ．2y x -=
C ．sin y x x =+
D ．cos()y x =-
4．若
sin cos 1
sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于（ ）
A ．34-
B ．34
C ．43-
D ．43
5．若向量2=a ，2=b ，()-⊥a b a ，则a 、b 的夹角是（ ）
A.
5
12
π B.3π C.16π D.14π
6．为得到函数)3
2cos(π
+=x y 的图像，只需将函数x y 2sin =的图像（ ）
A ．向左平移
125π个长度单位 B ．向右平移125π
个长度单位 C ．向左平移65π个长度单位 D ．向右平移6
5π
个长度单位
7．“1m >”是“函数()()2log 1f x m x x =+≥不存在零点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件
8．如图,在△ABC 中,13
AN NC −−→
−−
→=,P 是BN 上的一点,若
29
AP m AB AC −−→
−−→
−−
→=+,则实数m 的值为（ ）
A.19
B.3
1 C.1 D.3 9．同时具有性质①最小正周期是π；②图象关于直线3
x π
=对称；③在[,]63
ππ
-
上是增函数的一个函数为（ ） A ．sin()2
6
x y π
=+
B ．cos(2)3y x π
=+
C ．sin(2)6y x π=-
D ．cos()26
x y π
=- 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，若c a b +=2，则角B 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知b a ρρ,平面内两个互相垂直的单位向量，若向量,c ρ满足0)()(=-⋅-c b c a ρρρρ，则c ρ
最大值是
（ ）
A ．1
B ．2
C ． 2
D ．
2
2 12．已知函数)(x f 是定义在),0()0,(+∞-∞Y 上的偶函数，当0>x 时，⎪⎩⎪
⎨⎧>-≤<-=-,2),2(2
1
,20,12)(1x x f x x f x 则函数1)(2)(-=x f x g 的零点个数为____个.
A ．5
B ．6
C ．7 D.8
第二卷：非选择题共90分
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知a r
=(2,3),b r =(-4,7),则b r 在a r 方向上的投影为 ；
14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若1,4
a B π
==，ABC ∆的面积2S =，则
sin b B
的值为_____________；
15．已知b a ρρ,不共线向量，若向量,2b k a ρρ+=,b a ρρ+=,2b a ρ
ρ-=若D B A ,,三点共线，
则实数k 的值等于 ；
16．函数()sin f x x =在区间(0,10)π上可找到n 个不同数12,n x x x K K ，，，使得
1212()()()
n n
f x f x f x x x x ===
K K ，则n 的最大值等于 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）已知向量)sin ,1(x a =，b ＝)sin ),3
2(cos(x x π
+,函数x b a x f 2cos 2
1
)(-
⋅=ρρ． （1）求函数)(x f 的解析式及最小正周期；
（2）当x ∈⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡3,0π时，求函数)(x f 的值域．
18．（12分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且
（1）求角B 的大小； （2）若2=+c a ，4
3
=
∆ABC S ,求b 的值． 19（12分）如图，边长为2的正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂
直，AD 与CE 的交点为M ，BC AC ⊥，且BC AC =
（1）求证：⊥AM 平面EBC
（2）求二面角C EB A --的大小.
20. （12分）设n S 为各项不相等的等差数列{}n a 的前n 项和，已知3573a a a =,39S =． （1）求数列{}n a 通项公式； （2）设n T 为数列11n n a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和，求1n n T a +的最大值． 21．（12分）已知函数)2(sin )(2e a ax x e x f x -+-=，其中R a ∈，⋅⋅⋅=71828.2e 为自然对数的底数.
（1）当0=a 时，讨论函数)(x f 的单调性； （2）当
12
1
≤≤a 时，求证：对任意的),0[+∞∈x ，0)(<x f . 选做题（10分）（22、23、24只能选一道作答，否则不给分。

） 22、选修4—1平面几何证明
如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB =120°.以O 为圆
A
D
E
C
B
M
O
D
C
B
A
心,
1
2
OA 为半径作圆. （I ）证明：直线AB 与e O 相切；
（II ）点C ,D 在⊙O 上,且A ,B ,C ,D 四点共圆,证明：AB ∥CD . 23、选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos ()sin x y α
αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴
的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224
ρθπ
+=．
（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标. 24、选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+．
（I ）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集；
（II ）设函数()|21|g x x =-．当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．
数学理科答案
一 选择题
1—5 A C A B D 6—10A A A C D 11—12C B 二 填空题
13 、13 14、25 15、 -4 16、10 三、解答题 17.试题解析：
（1）利用二倍角公式、两角和公式和辅助角公式将函数化简1
()sin(2)6
2
π
=-++
f x x ，π=T ； （2）656
26
ππ
π
≤
+
≤x Θ
1)6
2sin(21≤+≤∴π
x
)(21≤≤-
∴x f
∴函数f （x ）的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21 18.【答案】（1）23
B π
=
；（2）3b = 19．试题解析：（1）略；(2)ο60．
20.试题解析：（1）设{}n a 的公差为d ，则由题意知1111(2)(4)3(6),
32
39,2a d a d a d a d ++=+⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩ 解得10,3d a =⎧⎨=⎩（舍去）或1
1,
2d a =⎧⎨=⎩，
∴2(1)11n a n n =+-⨯=+． （2）∵
11111
(1)(2)12
n n a a n n n n +==-++++， ∴12231111n n n T a a a a a a +=
+++…111111()()()233512
n n =-+-++-++11222(2)n n n =-=++． ∴
22111
42(2)2(44)164
2(4)2(42)n n T n n a n n n n n n n
+===≤=
++++++⋅， 当且仅当4
n n
=
，即2n =时“=”成立，
即当2n =时，
1n n T a +取得最大值116
． 21．试题解析：解：（1）当0=a 时，)(sin )(e x e x f x
-=，R x ∈，
])4
sin(2[)cos (sin )(e x e e x x e x f x x -+=-+='π
，
∵当R x ∈时，2)4
sin(2≤+
π
x ，∴0)(<'x f .
∴)(x f 在R 上为减函数.
（2）设e a ax x x g -+-=2sin )(2
，),0[+∞∈x ，ax x x g 2cos )(-='， 令ax x x g x h 2cos )()(-='=，),0[+∞∈x ，则a x x h 2sin )(--='， 当
12
1
≤≤a 时，),0[+∞∈x ，有0)(≤'x h ， ∴)(x h 在),0[+∞上是减函数，即)(x g '在),0[+∞上是减函数，
又∵01)0(>='g ，02
222
2)4
(<-≤-=
'π
π
ax
g ，
∴)(x g '存在唯一的)4
,
0(0π
∈x ，使得02cos )(000=-='ax x x g ，
∴当),0(00x x ∈时，0)(>'x g ，)(x g 在区间),0(0x 单调递增； 当),(00+∞∈x x 时，0)(<'x g ，)(x g 在区间),(0+∞x 单调递减，
因此在区间),0[+∞上e a ax x x g x g -+-==2sin )()(2
000max ，
∵02cos 00=-ax x ，∴00cos 21
x a
x =
，将其代入上式得 e a a
x x a e a x a x x g -+-+=-+-=241
sin sin 412cos 41sin )(002020max ，
令0sin x t =，)4
,
0(0π
∈x ，则)22,
0(∈t ，即有e a a
t t a t p -+-+=241
41)(2，)22,0(∈t ， ∵)(t p 的对称轴02<-=a t ，∴函数)(t p 在区间)22,
0(上是增函数，且12
1
≤≤a ， ∴)12
1
(,08152228122)22(
)(≤≤<-+<-+-=<a e e a a p t p ， 即任意),0[+∞∈x ，0)(<x g ，
∴0)()(<=x g e x f x
，因此任意),0[+∞∈x ，0)(<x f . 22、
试题解析：（Ⅰ）设E 是AB 的中点,连结OE ,
因为,120OA OB AOB =∠=︒,所以OE AB ⊥,60AOE ∠=︒．
在Rt AOE ∆中,1
2
OE AO =
,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切． E
O'D
C
O B
A
（Ⅱ）因为2OA OD =,所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO ．
由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又'O 在线段AB 的垂直平分线上,所以'OO AB ⊥． 同理可证,'OO CD ⊥．所以//AB CD ．
23、试题解析：（Ⅰ）1C 的普通方程为2
213
x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. ……5分 （Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos ,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，|3cos sin 4|()2|sin()2|32
d ααπ
αα+-==+-.
………………8分 当且仅当2()6
k k Z π
απ=+
∈时，()d α取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为
31
(,)22
. ………………10分 24、试题解析：（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤，
因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤. ………………5分 （Ⅱ）当x ∈R 时，
()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，
当1
2
x =
时等号成立， 所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① ……7分 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解； 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥， 所以a 的取值范围是[2,)+∞. ………………10分。