定积分的简单应用 课件

定积分的简单应用
1．利用定积分求平面图形的面积的步骤 (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图 象． (2)将平面图形分割成曲边梯形，并分清在 x 轴上方与下方 的部分． (3)借助图形确定出被积函数． (4)求出交点坐标，确定积分的上、下限． (5)求出各部分的定积分，并将面积表达为定积分的代数 和，求出面积．
bF(x)dx
＝a移动到x＝b.则变力F(x)作的功W＝
a
.
不分割型平面图形的面积的求解 如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面积S.
[分析] 从图形上可以看出，所求图形的面积可以转化为 一个三角形与一个曲边三角形面积的差，进而可以用定积分 求出面积．为了确定出积分的上、下限，我们需要求出直线 和抛物线的交点的横坐标．
2．变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v
bv(t)dt
＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即 s＝
a
.
3．变力做功 一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体
沿着与F相同的方向移动了sm，则力F所作的功为W＝Fs.
如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从x
[解析] 解方程组yy＝ ＝x2x2，， 得x1＝0，x2＝2. 故所求图形的面积为
S＝22xdx－2x2dx＝x202
－13x3 20
＝43.
0
0
分割型平面图形面积的求解
求由曲线y＝
x
，y＝2－x，y＝－
1 3
x所围成图形
的面积．
[分析] 画出三条曲(直)线，求出交点坐标，将平面图形按
交点分割成可求积分的几部分再求解．
当t>4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝6时，点P离开原点后运动的路程
s1＝4(8t－2t2)dt－6(8t－2t2)dt
0
4
＝(4t2－23t3)|40－(4t2－23t3)|64＝1238.
当t＝6时，点P的位移为6(8t－2t2)dt 0
＝(4t2－23t3)|60＝0.
(2)依题意t (8t－2t2)dt＝0， 0
0
1
＝(23x
3 2
＋16x2)|10＋(2x－12x2＋16x2)|13
＝23＋16＋(2x－13x2)|31
＝56＋6－13×9－2＋13＝163.
解法2：若选积分变量为y，则三个函数分别为
x＝y2，x＝2－y，x＝－3y.
因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
所以S＝0 [(2－y)－(－3y)]dy＋1[(2－y)－y2]dy
即4t2－23t3＝0，解得t＝0或t＝6， t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况， t＝6是所求的值．
求变力做功
一物体在变力F(x)＝
2x＋4 x2＋2x
0≤x≤2 2≤x≤5
(x的单
位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向从x＝0
运动到x＝5处，求变力所做的功．
[解析] 变力F(x)所做的功为
W＝2(2x＋4)dx＋5(x2＋2x)dx
0
2
＝(x2＋4x)|20＋(13x3＋x2)|25
＝12＋60＝72(J)．
[解析] 解法1：画出草图，如图所示．
解方程组yx＝＋y＝x，2.
y＝ x， 得y＝－13x.
x＋y＝2， 及y＝－13x. 得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
所以S＝1[
x－(－13x)]dx＋3[(2－x)－
0
1
(－13x)]dx
＝1(
x＋13x)dx＋3(2－x＋13x)dx
-1
0
＝0
(2＋2y)dy＋1(2－y－y2)dy
-1
0
＝(2y＋y2)|0－1＋(2y－12y2－13y3)|01
＝－(－2＋1)＋2－12－13＝163.
变速直线运动的路程、位移问题
有一动点P从原点出发沿x轴运动，在时刻为t时 的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求
(1)t＝6时，点P离开原点后运动的路程和点P的位移； (2)经过时间t后又返回原点时的t值．
[分析] (1) 解不等式vt>0或vt<0
→ 确定积分区间 → 求t＝6时的路程以及位移
(2)
求定积分t
vtdt→Βιβλιοθήκη 令t vtdt＝0求t
0
0
[解析] (1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点沿x轴正方向运动，