恒成立问题的解法20141009

取值范围．
【解】
(1)令 F(x)＝ g(x)－ f(x)＝ 2x3－ 3x2－ 12x＋ k.
问题转化为 F(x)≥0 在 x∈[－ 3， 3]时恒成立， 故解 [F(x)]min≥0 即可． ∵ F′ (x)＝ 6x － 6x－ 12＝ 6(x － x－ 2)， 故由 F′(x)＝ 0，得 x＝ 2 或 x＝－ 1. ∵ F(－ 3)＝ k－ 45， F(3)＝ k－ 9， F(－ 1)＝ k＋ 7， F(2)＝ k－ 20， ∴ [F(x)]min＝ k－ 45， 由 k－ 45≥ 0，解得 k≥ 45， 故实数 k 的取值范围是[45，＋∞ )．
3．极值只能在区间内取得，最值则可以在端 点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的 也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只 要不在端点处取必定是极值．
利用导数解不等式恒成立问题 利用导数研究某些函数的单调性与最值，可以解 决一些不等式证明及不等式恒成立问题，如利用 “f(x) ＜ a 恒 成 立 ⇔ f(x)max ＜ a” 和 “f(x) ＞ a⇔f(x)min＞a”的思想解题．
1：当 a 1,3 时，不等式 x 2 ax 2 0 恒成立，则 x 的范围为 ．
x＞－1或x＜－2
对于一次函数f x kx b(k 0)， x [m，n]，有 f m 0 ； 1 f x 0恒成立 f n 0 f m 0 . 2 f x 0恒成立 f n 0
6＋6a＋ 3b＝0 即 . 24＋ 12a＋ 3b＝0
解得 a＝－3，b＝4. 3 2 (2)由(1)可知，f(x)＝2x － 9x ＋ 12x＋8c， 2 f′ (x)＝ 6x －18x＋ 12＝6(x－ 1)(x－2)． 当 x∈ (0,1)时，f′ (x)>0； 当 x∈ (1,2)时，f′ (x)<0； 当 x∈ (2,3)时，f′ (x)>0.
2
【误区警示】
本题中易出现漏“m
＝0”的情况，原因是对于二次项系数 为参数的函数直觉上认定其为二次函 数．
类型四．三次函数,分式,对数或其它：
例3
1 2 已知 f(x)＝ x － x － 2x＋5，当 x∈[－ 1,2] 2
3
时，f(x)<m 恒成立，求实数 m 的取值范围．
【思路点拨】 把m>f(x)恒成立，转化为求 f(x) 在 [ － 1,2] 上的最大值，只要 m 大于此最 大值即可．
1 2 【解】 ∵ f(x)＝x － x －2x＋5， 2 2 ∴ f′(x)＝3x －x－2. 令 f′(x)＝0，即 3x2－ x－ 2＝ 0， 2 ∴ x＝1，或 x＝－ . 3 列表：
3
x －1 2 (－ 1，－ ) 3 2 － 3 2 (－ ， 1) 3 1 (1,2) 2
f′ (x)
最值法 已知两个函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x3＋5x2＋
4x,其中k为实数， (1) 若对任意的 x∈[ － 3 ， 3] ，都有 f(x)≤g(x) 成立，求 k 的取 值范围； (2) 若对任意的 x1 、 x2 ∈ [ － 3 ， 3] ，都有 f(x1)≤g(x2) ，求 k 的
2
∵ g(－ 3)＝－ 21， g(3)＝ 111， g(－ 1)＝－ 1， 2 28 g－ ＝－ ， 3 27 ∴ [g(x)]min＝－ 21. 则 120－ k≤－ 21，解得 k≥ 141. ∴实数 k 的取值范围是[141，＋∞ )．
将恒成立问题转化为求函数的最值问题来处理，一般有下 面两种类型： (1)若所给函数能直接求出最值，则有： ① f(x)>0 恒成立⇔[f(x)]min>0； ②f(x)≤0 恒成立⇔ [f(x)]max≤0. (2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不 等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出 参数范围，则有 (下面的 a 为参数 )： ① f(x)<g(a)恒成立⇔ g(a)>[f(x)]max； ② f(x)>g(a)恒成立⇔ g(a)<[f(x)]min.
一、二次不等式恒成立问题
例 1 不等式 x 2 ax 2 0 对任意 x R 恒成立，则 a 的 范围为 ．
2 2 a 2 2
变式 1： 不等式 a x 2 ax 2 0 对任意 x R 恒成立，则 a 的范 围为 ． 0≤a≤8
1 例1.若不等式x ax 1 ≥ 0对于一切xx (0, ]成立， 2 则a的最小值为 （ ） A.0 B.-2 5 C.D.-3 2
解：由例题解析可知 2 22 7 f(－ )＝5 ， f(1)＝ ， 3 27 2 11 f(－1)＝ ， f(2)＝7， 2
7 ∴ f(x)在 x∈ [－ 1,2]上的最小值为 f(1)＝ ， 2 ∴要使 f(x)≥ m 恒成立，需 f(x)min≥ m， 7 即 m≤ ， 2 7 ∴所求实数 m 的取值范围是(－∞， ]． 2
还是最小值即可，不必再与端点的函数值比
较．
失误防范 1 ．函数的最值是一个整体性的概念．函数极 值是在局部上对函数值的比较，具有相对性； 而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的 情况，是对整个区间上的函数值的比较． 2．函数在一个闭区间上若存在最大值或最小 值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯 一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可 能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没 有极小值．
【思维总结】
有关恒成立问题，一般是转化为
求函数的最值问题．求解时要确定这个函数，看 哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的 变量为自变量的函数． 一般地，λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)
恒成立⇔λ≤[f(x)]min.
互动探究3 本例中，把“f(x)<m”改为 “f(x)≥m”，求实数m的取值范围．
所以 g(x)max＝g(3)＝7m－6<0， 6 6 所以 m< ，则 0<m< ； 7 7 当 m＝0 时，－6<0 恒成立； 当 m<0 时，g(x)在[1,3]上是减函数， 所以 g(x)max＝g(1)＝m－6<0， 所以 m<6，所以 m<0. 6 综上所述：m 的取值范围是{m|m< }． 7
不等式恒成立问题 不等式恒成立问题 1．解决恒成立问题一定要搞清 谁是自变量，谁是参数．一般地，知 道谁的范围，谁就是变量，求谁的范 围，谁就是参数．
利用不等式与函数和方程之间的联系， 将问题转化成一次函数或二次函数(二次方 程)的问题来研究，一般有下面几种类型： 类型一．一次函数型问题：利用一次 函数的图象特征求解．
2
法一:不等式可化为ax ≥ - x 1 ，
2
1 5 1 1 ( x )在(0, ]上是减函数, ( x ) max x 2 x 2
1 1 由x (0, ]， a ≥ ( x ). 2 x
5 a ≥ 2
2. 变量分离法：
【例1】 当 x (1, 2) 时，不等式 x mx 4 0
方法感悟 方法技巧
1．函数的最大值与最小值：在闭区间 [a，b]上 连续的函数 f(x)在 [a， b]上必有最大值与最小值； 但在开区间 (a，b)内连续的函数 f(x)不一定有最 大值与最小值． 1 例如：函数 f(x)＝ 在 (0，＋∞ )上连续，但没有 x 最大值与最小值．
2．求实际问题的最大值(最小值)的方法：在 实际问题中，如果函数在区间内只有一个极 值点，那么只要根据实际意义判定是最大值
类型二．二次函数型问题 (R 型 ) ：结合抛物 线的形状，考虑对称轴、顶点、区间端点等， 列出相关的不等式，求出参数的解．下面是两 种基本类型： 对于二次函数f x ax 2 bx c(a 0，x R )，
有： a 0 ； 1 f x 0对x R恒成立 0 a 0 . 2 f x 0对x R恒成立 0
2.f(x)=ax2+bx+c<0(a>0) 在 [m, n] 上恒成立. f(m)<0 f(n)<0.
难点：
②若不等式x2-kx+2>0,对x [-3,3]恒成立，则实数k的
取值范围是
—————————— 。
-x－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立， 求m的取值范围； (2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成 立，求m的取值范围．
2 2
(2)由题意可知当 x∈ [－ 3， 3]时，都有 [f(x)]max≤ [g(x)]min. 由 f′(x)＝ 16x＋ 16＝ 0，得 x＝－ 1. ∵ f(－ 3)＝ 24－ k， f(－ 1)＝－ 8－ k，f(3)＝ 120－ k， ∴ [f(x)]max＝－ k＋ 120. 2 由 g′(x)＝ 6x ＋ 10x＋ 4＝ 0，得 x＝－1 或 x＝－ . 3
方法点拨： 先把两个变量化在不等式的 两边；在利用函数性质求解最值
不等式 ax2+bx+c>0 恒成立问题 类型三．二次函数型问题(非R型)：
b <m 1. f(x)=ax2+bx+c>0(a>0) 在 [m, n] 上恒成立. 2a f(m)>0, b b m≤- 2a≤n - 2a >n f(x)min>0(x∈[m, n]) 或 或 2 △=b -4ac<0, f(n)>0.
12 3 法二：因为 x －x＋1＝(x－ ) ＋ >0， 2 4 又因为 m(x2－x＋1)－6<0，所以 6 m< 2 . x －x＋1 6 6 因为函数 y＝ 2 ＝ 在 12 3 x －x＋1 x－ ＋ 2 4 6 6 [1,3]上的最小值为 ， 所以只需 m< 即可． 7 7 6 所以，m 的取值范围是{m|m< }． 7
【思路分析】
本题(1)可讨论m的取
值,利用判别式来解决.对于(2)含参数的 一元二次不等式在某区间内恒成立问
题,常有两种处理方法：法一是利用二
次函数区间上的最值来处理.法二是先
分离出参数,再去求函数的最值来处理,
一般法二比较简单.
【解】 (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立， 若 m＝0，显然－1<0；若 m≠0，
所以当x＝1时，f(x)取极大值，f(1)＝5＋8c. 又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c. 则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c. 因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立， 所以9＋8c<c2， 解得c<－1或c>9.
因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
m<0 则 ⇒－4<m<0. 2 Δ＝m ＋4m<0
所以－4<m≤0.
(2)要使 f(x)<－m＋5 在[1,3]上恒成立， 12 3 就是要使 m(x－ ) ＋ m－6<0 在 x∈[1,3] 2 4 上恒成立． 有以下两种方法： 12 3 法一：令 g(x)＝m(x－ ) ＋ m－6， 2 4 x∈[1,3]． 当 m>0 时，g(x)在[1,3]上是增函数，
2
恒成立，则 m 的取值范围是
.
解：当 x (1, 2) 时，由 x 2 mx 4 0 2 x2 4 x 4 4 m 得 x .令 f ( x ) x x x 则易知 f ( x) 在 (1, 2) 上是减函数， 所以 f ( x)max f (1) 5 ，∴ m 5 .
例4 设函数 f(x) ＝ 2x3＋ 3ax2 ＋ 3bx ＋ 8c 在 x ＝ 1 及
x＝2处取得极值． (1)求a、b的值； (2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c 的取值范围． 【解】 (1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b. 因为函数f(x)在x＝1及x＝2处取得极值， 所以f′(1)＝0，f′(2)＝0，
f(x ) 11 2 ↗ 157 27 ↘ 7 2 ↗ 7
＋ 0 － 0 ＋
2 22 2 ∴当 x＝－ 时，f(x)取得极大值 f －3 ＝ 5 ； 3 27 7 当 x＝ 1 时， f(x)取得极小值 f(1)＝ . 2 11 又 f(－ 1)＝ ， f(2)＝ 7. 2 ∴ f(x)在 x∈ [－ 1,2]上的最大值为 f(2)＝7， ∴要使 f(x)<m 恒成立，需 f(x)max<m，即 m>7. ∴所求实数 m 的取值范围是 (7，＋∞ )．