中考数学 课外提升作业 第三章 函数 第七节 二次函数与几何综合题 类型一：二次函数与线段问题

∵OF2＋OB2＝BF2，
∴1－m2＋1＝4295，∴m＝±15.
1 ∵－1<m<0，∴m＝－5.
3．在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C(0，6)，其中 AB＝8，tan∠
1 ACO＝3. (1)求抛物线的表达式；
②将抛物线 L 向左平移 m(m＞0)个单位得到抛物线 L1.过点 M 作 MN∥y 轴， 交抛物线 L1 于点 N.P 是抛物线 L1 上一点，横坐标为－1，过点 P 作 PE∥x 轴，交抛物线 L 于点 E，点 E 在抛物线 L 对称轴的右侧．若 PE＋MN＝10， 求 m 的值．
解：(1)把点 A(0，－5)，B(5，0)的坐标分别代入 y＝x2＋bx＋c，
(ⅰ)如解图1，当点N在点M及下 即方0，<m≤ 6时，PQ＝5－2m－(－1)＝6－2m， MN＝－3－(m2－9)＝6－m2. 由平移性质得 QE＝m. ∴PE＝6－2m＋m＝6－m， ∵PE＋MN＝10，∴6－m＋6－m2＝10， 解得 m1＝－2(舍去)，m2＝1.
(ⅱ)如解图2，
当点 N 在点 M 上方，点 Q 在点 P 及右侧，即 6<m ≤3 时，PE＝6－m，MN＝m2－6， ∵PE＋MN＝10， ∴6－m＋m2－6＝10.
∵PD∥AC， ∴∠ACB＝∠CEP， 即∠ACO＋45°＝∠EPQ＋45°. ∴∠EPQ＝∠ACO， ∴tan∠EPQ＝13.
过点 E 作 EF⊥PQ 于点 F，
1
10
2
则 EF＝FQ＝4PQ，PE＝ 4 PQ，EQ＝ 4 PQ.
∴
5PE－BE＝5
4
2 PQ－
42PQ＋BQ＝
2PQ－
2(xB－xQ)＝－ 22(p－4)2＋
(2)点 P 是直线 BC 上方抛物线上的一点，过点 P 作 PD∥AC 交 x 轴于点 D， 交 BC 于点 E，求 5PE－BE 的最大值及点 P 的坐标．
解：(1)∵C(0，6)，tan∠ACO＝OOAC＝13，∴OC＝6，OA＝2. ∵AB＝8，∴OB＝AB－OA＝6，∴A(－2，0)，B(6，0)． 可设抛物线的表达式为 y＝a(x＋2)(x－6)，将 C(0，6)代入， 得－12a＝6，
则
m＋3＝161，即点
M
7 的坐标为－6，0，
11
点
N
的坐标为
6
，－1.
2．(2021·苏州)如图，二次函数 y＝x2－(m＋1)x＋m (m 是实数，且－1<m<0) 的图象与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，其对称轴与 x 轴交于 点 C，已知点 D 位于第一象限，且在对称轴上， OD⊥BD，点 E 在 x 轴的 正半轴上，OC＝EC.连接 ED 并延长交 y 轴于点 F，连接 AF.
(3)当 a<－1 时，点 F(0，1－a)，过点 C 作直线 l 平行于 x 轴，M(m，0) 是 x 轴上的动点，N(m＋3，－1)是直线 l 上的动点．当 a 为何值时，FM ＋DN 的最小值为 2 10，并求此时点 M，N 的坐标．
解：抛物线 y＝ax2－2ax＋c(a，c 为常数，a≠0)经过点 C(0，
－1)，则 c＝－1.
(1)当 a＝1 时，抛物线的解析式为 y＝x2－2x－1，故抛物线的
顶点坐标为(1，－2)．
(2)∵y＝ax2－2ax－1＝a(x－1)2E＝2 2DC 得：DE2＝8DC2，即(1－0)2＋(a＋1＋a
＋1)2＝8[(1－0)2＋(－a－1＋1)2]，
1＋ 41
1－ 41
解得 m1＝ 2 (舍去)，m2＝ 2 (舍去)．
(ⅲ)如解图3，
当点 N 在点 M 上方，点 Q 在点 P 左侧，即 m>3 时，
PE＝ m，MN＝m2－6，
∵PE＋ MN＝10, ∴m＋m2－6＝10.
－1＋ 65
－1＋ 65
解得 m1＝ 2 (舍去)，m2＝ 2 (舍去)．
在 Rt△AOF 中， AF2＝OA2＋OF2，∴AF2＝m2＋1－m2＝1，即 AF＝1. ∵点 A 与点 B 关于对称轴对称，∴QA＝QB. ∴当点 F，Q，B 三点共线时，FQ＋AQ 最小，此时△AFQ 的周长最小，如 解图．
12 ∵△AFQ 的周长的最小值为 5 ，
7
7
∴FQ＋AQ 的最小值为5，即 BF＝5.
(1)求 A，B，C 三点的坐标(用数字或含 m 的式子表示)； (2)已知点 Q 在抛物线的对称轴上，当△AFQ 的周长的最小值等于152时， 求 m 的值．
解：(1)由 x2－(m＋1)x＋m＝0 得 x＝m 或 1， ∴A(m，0)，B(1，0)， ∴对称轴为直线 x＝m＋2 1，∴Cm＋2 1，0.
②设抛物线 L1 的解析式是 y＝(x－2＋m)2－9，
∵MN∥y 轴，
∴点 N 的坐标是(2，m2－9)．
∵点 P 的横坐标为－1，
∴点 P 的坐标是(－1，m2－6m)，
设PE交抛物线L1于另一点Q， ∵抛物线L1的对称轴是直线x＝2－m， ∴PE根∥据x轴抛物线的轴对称性， 点Q的坐标是(5－2m，m2－6m)，
第七节 二次函数与几何 综合题
类型一：二次函数与线段 问题
1．(2021·天津)已知抛物线 y＝ax2－2ax＋c(a，c 为常数，a≠0)经过点 C(0，－1)，顶点为 D. (1)当 a＝1 时，求该抛物线的顶点坐标； (2)当 a>0 时，点 E(0，1＋a)，若 DE＝2 2DC，求该抛物线的解析式；
c＝－5， 得25＋5b＋c＝0，
b＝－4， 解得c＝－5. ∴b，c 的值分别为－4，－5，
(2) ①设 AB 所在直线的函数解析式为 y＝kx＋n(k≠0)，把 A(0，－5)， n＝－5， k＝1，
B(5，0)的坐标分别代入解析式，得5k＋n＝0.解得n＝－5. ∴AB 所在直线的函数解析式为 y＝x－5， 由(1)得，抛物线 L 的对称轴是直线 x＝2， 当 x＝2 时，y＝x－5＝－3. ∴点M的坐标是(2，－3)．
理由：
∵FM＋ND＝F′M＋D′M＝F′D′＝2 10为最小，
则 F′D′2＝F′H2＋D′H2＝(1－2a)2＋4＝(2 10)2， 解得 a＝72(舍去)或－52，
5 7 则点 D′，F′的坐标分别为－2，2，0，－2， 由点 D′，F′的坐标得，直线 D′F′的解析式为
7
7
y＝－3x－2，当 y＝0 时，解得 x＝－6＝m，
1 ∴a＝－2， ∴y＝－12(x＋2)(x－6)，即抛物线的表达式为 y＝－12x2＋2x＋6.
(2)设 Pp，－21p2＋2p＋6，0<p<6. ∵B(6，0)，C(0，6)， ∴直线 BC 的解析式为 y＝－x＋6，∠OCB＝∠OBC＝45°. 如解图，过点 P 作 PQ∥y 轴，交直线 BC 于点 Q， 则 Q(p，－p＋6)，∠EQP＝∠OCB＝45°. ∴PQ＝－12p2＋2p＋6－(－p＋6)＝－12p2＋3p.
解得
13 a＝2或2，故抛物线的解析式为
y＝12x2－x－1
或
y＝32x2－3x－1.
(3)将点 D 向左平移 3 个单位，向上平 移 1 个单位得到点 D′(－2，－a)，如 解图，作点 F 关于 x 轴的对称点 F′， 则点 F′的坐标为(0，a－1)，当满足条 件的点 M 落在 F′D′上时，由图象的平 移知 DN＝D′M，故此时 FM＋ND 最小，
综上所述，m 的值是 1 或－1＋2
65 .
2 2.
∵－ 22<0，开口向下，
∴当 p＝4 时， 5PE－BE 取最大值，最大值为 2 2，此时 P(4，6)．
4．(2021·丽水)如图，已知抛物线 L：y＝x2＋bx＋c 经过点 A(0，－5)， B(5，0)． (1)求 b，c 的值； (2)连接 AB，交抛物线 L 的对称轴于点 M. ①求点 M 的坐标；
m＋1 (2)在 Rt△ODB 中， CD⊥OB，OC＝ 2 ，
m＋1 1－m BC＝1－ 2 ＝ 2 .由△COD∽△CDB， 得 CD2＝OC·CB＝m＋2 1·1－2 m＝1－4 m2. ∵CD⊥x 轴， OF⊥x 轴，∴CD//OF.
∵OC ＝EC，∴OF＝2CD，∴OF2＝4CD2＝1－m2.