2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算课件新人教A版

2．空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量 a，b，则 |a||b|cos〈a，b〉叫做 a， b 的数量积，记作 a·b.即 a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉 ．
(2)数量积的运算律：
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝λ__(a_·_b_)_＝a·__(λ_b_)__
交换律
a·b＝__b_·_a__
a·b，再利用公式cos〈a·b〉＝
a·b |a||b|
求cos〈a，b〉，最后确定〈a，
b〉．
(2)我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角，步骤如下： ①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向 量)； ②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小； ④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的 余弦值应将余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角的大小．
分配律
a·(b＋c)＝__a_·_b_＋__a_·_c __
(3)空间两向量的数量积的性质：
垂直
若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔a·b＝0
共线 向量
同向：则 a·b＝|a|·|b| 反向：则 a·b＝－|a|·|b|
数量
a·a＝ |a||a|cos〈a，a〉 ＝|a|2
积的
模
|a|＝ a·a
性质
cos〈O→A，A→B〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
＝24－16 2.
∴cos〈O→A，B→C〉＝|O→O→AA|··|B→B→CC|＝24－8×165 2＝3－52 2，∴异面直
线OA与BC的夹角的余弦值为3－52
2 .
利用向量数量积求夹角问题的思路
(1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利 用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求
(1)A [由题意知，p·q＝0，p2＝q2＝1， 所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1.] (2)解：①E→F·B→A＝12B→D·B→A ＝12|B→D||B→A|cos〈B→D，B→A〉 ＝12cos 60°＝14.
②E→F·B→D＝12B→D·B→D＝12|B→D|2＝12. ③EF·D→C＝12B→D·D→C＝－12D→B·D→C＝－12×cos 60°＝－14. ④A→B·C→D＝A→B·(A→D－A→C) ＝A→B·A→D－A→B·A→C ＝|A→B||A→D|cos〈A→B，A→D〉－|A→B||A→C|cos〈A→B，A→C〉＝cos 60° －cos 60°＝0.
1．下列各命题中，不正确的命题的个数为( )
① a·a＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)；
③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④a2b＝b2a.
A．0
B．3
C．2
D．1
D [命题①②③正确，④不正确．]
2．已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，设 A→B ＝a， A→D ＝b，
A→A′＝c，则〈A→′B，B→′D′〉等于( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
D [△B′D′C是等边三角形，〈A→′B，B→′D′〉＝〈D→′C，B→′D′〉＝ 120°.]
3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．
23π [cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝3－×32＝－12. 所以〈a，b〉＝23π.]
|a·b|≤|a|·|b|
夹角
a·b θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝ |a||b|
思考：(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？ (2)若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？
[提示] (1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0. (2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a·b〉不一 定是锐角．
(2)∵A→C′＝－a＋c，∴|A→C′|＝ 2|a|，|C→E|＝ 25|a|，
∵A→C′·C→E＝(－a＋c)·b＋12c＝12c2＝12|a|2，
∴cos〈A→C′，C→E〉＝
12|a|2 ＝ 2· 25|a|2
1100.
∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为
10 10 .
利用数量积求距离
在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向 量的数量积． (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模． (4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
1．(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a， 点E，F分别是BC，AD的中点，则A→E·A→F＝________.
14a2 [A→E·A→F＝12A→B＋A→C·12A→D ＝14(A→B·A→D＋A→C·A→D)＝14(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝14a2.]
(2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1， OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则 O→G ·( O→A ＋ O→B ＋ O→C )＝ ________．
＝13×22＋13×32＋13×12＝134.]
利用数量积证明空间的垂直关系
【例2】 已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝ ∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的 中点，求证：OG⊥BC.
[解] 连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ， 又设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c， 则|a|＝|b|＝|c|. 又O→G＝12(O→M＋O→N) ＝1212O→A＋12（O→B＋O→C） ＝14(a＋b＋c)，B→C＝c－b.
【例4】 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60° 角，求此时B，D间的距离．
思路探究： B→D＝B→A＋A→C＋C→D → 得到|B→D|2的值，注意对〈B→A，C→D〉的讨论 → 得B，D间的距离
[解] ∵∠ACD＝90°，∴ A→C ·CD＝0，同理可得 A→C ·B→A ＝ 0.∵AB与CD成60°角，∴〈B→A，C→D〉＝60°或〈B→A，C→D〉＝120 °.又B→D＝B→A＋A→C＋C→D，∴|B→D|2＝|B→A|2＋|A→C|2＋|C→D|2＋2B→A·A→C＋ 2B→A·C→D＋2A→C·C→D＝3＋2×1×1×cos〈B→A，C→D〉．
14 3
[O→G＝O→A＋A→G＝O→A＋13(A→B＋A→C)
＝O→A＋13[(O→B－O→A)＋(O→C－O→A)]＝13O→B＋13O→C＋13O→A.
∴O→G·(O→A＋O→B＋O→C)＝13O→B＋13O→C＋13O→A·(O→A＋O→B＋O→C)
＝13O→B2＋13O→C2＋13O→A2
所以A→C′·B→′C＝|B→C|2－|C→C′|2＝0， 所以A→C′⊥B→′C，所以AC′⊥B′C. 同理可证，AC′⊥B′D′. 又B′C，B′D′⊂平面B′CD′，B′C∩B′D′＝B′，所以AC′⊥ 平面B′CD′.
利用数量积求夹角 【例3】 如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC ＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC 的夹角的余弦值．
4．设a⊥b，〈a，c〉＝
π 3
，〈b，c〉＝
π 6
，且|a|＝1，|b|＝2，|c|
＝3，则向量a＋b＋c的模是________．
17＋6 3 [因为|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2 ＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋a·c＋b·c) ＝1＋4＋9＋20＋1×3×12＋2×3× 23＝17＋6 3， 所以|a＋b＋c|＝ 17＋6 3.]
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量的数量积运算
学习目标
1.掌握空间向量夹角的概念及表示方 法． 2.掌握空间向量的数量积的定义、性 质、运算律及计算方法．(重点) 3.能用向量的数量积解决立体几何问 题．(难点)
核心素养 1.通过学习空间向量的数量 积运算，培养学生数学运算 的核心素养． 2.借助利用空间向量数量积 证明垂直关系、求夹角和距 离运算，提升学生的逻辑推 理和数学运算核心素养.
思路探究：求异面直线OA与BC所成的角，首先来求 O→A 与 B→C 的 夹角，但要注意异面直线所成角的范围是0，π2，而向量夹角的取值 范围为[0，π]，注意角度的转化．
[解] ∵B→C＝A→C－A→B，∴O→A·B→C＝O→A·A→C－O→A·A→B＝|O→A|·|A→C
|·cos〈O→A，A→C〉－|O→A|·|A→B|·
3．如图，已知直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB ＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D； (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
[解] (1)证明：设C→A＝a，C→B＝b，C→C′＝c， 根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0. ∴C→E＝b＋12c，A→′D＝－c＋12b－12a. ∴C→E·A→′D＝－12c2＋12b2＝0， ∴C→E⊥A→′D，即CE⊥A′D.
2．如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，CD′与DC′相交于点 O，连接AO，求证：
(1)AO⊥CD′； (2)AC′⊥平面B′CD′.
[证明] (1)因为A→O＝A→D＋D→O＝A→D＋12(D→D′＋D→C)，
因为C→D′＝D→D′－D→C，所以A→O·C→D′
＝
1 2
(
D→D′
＋
D→C
∴O→G·B→C＝14(a＋b＋c)·(c－b) ＝14(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c) ＝14(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0. ∴O→G⊥B→C，即OG⊥BC.
用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题． (2)用已知向量表示所证向量． (3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0. (4)将向量问题回归到几何问题．
自主预习 探新知
1．空间向量的夹角 (1)夹角的定义 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O， 作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB 叫做向量 a，b 的夹 角，记作 〈a，b〉 ．
(2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是[0，π]．特别地，当 θ ＝0 时，两向量同向共线；当 θ＝ π 时，两向量反向共线，所以若 a∥b， 则〈a，b〉＝0 或 π；当〈a，b〉＝π2时，两向量垂直，记作_a_⊥__b__．
[探究问题] 1．异面直线AB，CD所成的角为60°，则〈 A→B ， C→D 〉的值是 多少？ [提示] 〈A→B，C→D〉＝60°或120°.
2．如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面 α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，试求 A，D两点间的距离．
[提示] ∵A→D＝A→B＋B→C＋C→D，∴|A→D|2＝(A→B＋B→C＋C→D)2＝|A→B |2＋|B→C|2＋|C→D|2＋2A→B·B→C＋2A→B·CD＋2B→C·C→D＝12＋2(2·2·cos 90° ＋2·2·cos 120°＋2·2·cos 90°)＝8，
∴|A→D|＝2 2，即A，D两点间的距离为2 2.
合作探究 提素养
空间向量的数量积运算
【例1】 (1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单
位向量，则a·b＝( )
A．1
B．2C．3Fra bibliotekD．4
(2)如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是 AB，AD的中点，求值：
①E→F·B→A； ②E→F·B→D； ③E→F·D→C； ④A→B·C→D.
＋2
A→D
)·( D→D′
－
D→C
)＝
1 2
(
D→D′
·D→D′
－
D→D′
·D→C
＋
D→C·D→D′－D→C·D→C＋2A→D·D→D′－2A→D·D→C)＝12(|D→D′|2－|D→C|2)＝0，所
以A→O⊥C→D′，故AO⊥CD′.
(2)因为A→C′·B→′C＝(A→B＋B→C＋C→C′)·(B→′B＋B→C) ＝A→B·B→′B＋A→B·B→C＋B→C·B→′B＋B→C·B→C＋C→C′·B→′B＋C→C′·B→C， 可知A→B·B→′B＝0，A→B·B→C＝0， B→C·B→′B＝0，B→C·B→C＝|B→C|2， C→C′·B→′B＝－|C→C′|2，C→C′·B→C＝0，