课件6：3.2.2 半角的正弦、余弦和正切

1．(1)已知|cos θ|＝35，且52π<θ<3π，则 sinθ2，cosθ2，tanθ2的值
分别为( B )
A．－2 5 5， 55，2
B．－2 5 5，－ 55，2
2 C.
5
5，－
55，2
D．－2 5 5，－ 55，－2
(2)若 cos α＝－45，α 是第三象限的角，则11＋－ttaannα2α2＝( A )
(2) 2＋2cos 8＋2 1－sin 8的化简结果是_－__2_si_n__4_．
(3)化简(tan
5°－tan
cos 70° 85°)·1＋sin 70°.
【解析】(1)cos12α＋tan 2α＝cos12α＋csoins 22αα＝
（scionsα2α＋－csoisn2αα）2＝csions
(3)选公式．涉及半角公式的正切值时，常用 tanα2＝
sin α 1＋cos
α＝1－sincoαs
α，其优点是计算时可避免因开方带
来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，
常先利用 sin2α2＝1－c2os α，cos2α2＝1＋c2os α计算．
(4)下结论．结合(2)求值．
跟踪训练
(2)正确．当 cos α＝－ 3＋1 时，上式成立，但一般情况
下不成立．
(3)错误．当 α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下
不成立．
(4)正确．若 α 是第一象限角，则α2是第一、三象限角，
此时 tanα2＝
1－cos 1＋cos
α成立． α
2．已知 cos α＝32，270°<α<360°，那么 cosα2的值为
正切的半角公式
1－cos α tan α2＝_±_____1_＋__c_o_s__α_____
1－cos α ＝1＋sincoαs α ____s_in__α__”，错误的打“×”)
(1)cosα2＝
1＋cos α
2 .( × )
(2)存在 α∈R，使得 cos α2＝12cos α.( √ )
(D ) 6
A. 6
B．－
6 6
C.
30 6
D．－
30 6
【解析】因为 270°<α<360°，
所以
135°<α2<180°，所以
α cos2<0.
故 cosα2＝－
1＋cos 2
α＝－
1＋23 2
＝－
56＝－
30 6.
3．设－3π<α<－52π，化简 是( C ) A．sin2α C．－cosα2
＝ccooss22αα2s－inα2sicno2sα2α2＝cos2αcsoisnα2αcosα2＝cos
αα αsin2·cos2
＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边．
方法归纳 证明三角恒等式的常用方法 (1)直接法：直接从等式的一边开始转化到等式的另一边， 一般是按照由繁到简的原则进行，依据是相等关系的传 递性． (2)综合法：由一个已知的等式(或已有的公式等)恒等变 形到所要证明的等式．
(3)由于
tanα2＝1＋sincoαs
及 α
tanα2＝1－sincoαs
α不含被开方数，
且不涉及符号问题，所以求解关于 tanα2的题目时，使用
相对方便，但需要注意该公式成立的条件．
(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用 sin2α2
＝1－c2os α，cos2α2＝1＋c2os α求解．
(2)半角的正切公式分无理表达式与有理表达式两种形 式，前者有正负号选取，其符号由角的范围确定，必 要时需要讨论，后者没有符号选取，其结果的符号由 sin α确定，应用十分方便．
跟踪训练
2．(1)若11＋ －ttaann αα＝2 015，则cos12α＋tan 2α＝__2_0_1_5___.
1－
3 2
2－ 2＋
2＋ 2
2＋ 3 2－ 3
法二：tan
π8＋
1 π
tan 12
＝1－sinco4πsπ4＋1＋sincoπ6sπ6＝1－2222＋1＋12
3 2
＝2－ 2＋2＋ 3＝1＋ 2＋ 3. 2
(2)原式＝2sin2α2－2sinα2cosα2sinα2＋cosα2 2×2sin2α2
3.2.2 半角的正弦、余弦和正切
问题导航
(1)如何理解“半角”？
(2)利用半角公式求值时，如何确定符号？
(3)等式 sin 15°＝±
1－cos 2
30°成立吗？
知识梳理 正弦、余弦和正切的半角公式
正弦的半角公式
sinα2＝_±_____1_－__c2_o_s_α______
余弦的半角公式
1＋cos α cosα2＝_±________2________
1 π.
tan12
（1－sin (2)化简
α－2c－os2αc）osαsinα2＋cosα2(－π<α<0)．
解：(1)法一：tan 8π＋
1 π
tan 12
＝
11＋－ccoossπ4π4＋
1＋cos6π 1－cos6π
＝
1－
2 2＋
1＋
2 2
＝2－ 2＋2＋ 3 2
＝1＋ 2＋ 3.
1＋
3 2＝
题型探究 探究点一 给值求值 例 1 已知 α 为钝角，β 为锐角，且 sin α＝45，sin β＝1123， 求 cosα－2 β的值．
解：因为 α 为钝角，β 为锐角，sin α＝45，sin β＝1123， 所以 cos α＝－35，cos β＝153， 所以 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－35×153＋45×1123＝3635，
1＋2 35＝－2
5
5 .
又 cos θ＝2cos2θ2－1，
所以 cosθ2＝－
θ
1＋cos 2
θ＝－
55，所以 tan
θ2＝sin θ2＝2.
cos2
(2)因为 α 是第三象限角，cos α＝－45，
所以
sin
α＝－35，11＋－ttaannα2α2＝11＋－11＋＋ssiinnccooααss
α α
1＋cos α＋sin α
＝1＋1co＋s cαo－s αsin
α＝11＋＋ccooss
α＋sin α－sin
α α
1＋cos α
＝11－－4545－＋3535＝－4525＝－12.
(3)解：1－sincoαs α＝1－1－α2sinα2α2 2sin2cos2
＝
2sin2α2 α
α α＝ sin2α
A．－12
B．12
C．2
D．－2
(3)若1－sincoαs α＝2，则 cos α－sin α＝__－__75____.
【解析】(1)因为|cos θ|＝35，52π<θ<3π，
所以 cos θ＝－35，54π<θ2<32π.由 cos θ＝1－2sin2θ2，
得 sinθ2＝－
1－cos 2
θ＝－
(3)对于任意 α∈R，sinα2＝12sin α 都不成立．( × )
(4)若 α 是第一象限角，则 tanα2＝
1－cos α
1＋cos α.( √ )
【解析】(1)错误．只有当－2π＋2kπ≤α2≤π2＋2kπ(k∈Z)，
即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cosα2＝
1＋cos α 2.
又因为 0<α<π2，0<β<π2，
所以－π2<α－β<π2， 所以－π4<α－2 β<π4，
所以 cosα－2 β＝
1＋cos（2 α－β）＝
1＋26635＝8
65 65 .
方法归纳 利用半角公式求值的思路 (1)看角．若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中 角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围．由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求 解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)中间量法：通过证明等式左右两边都等于同一个式子 完成恒等式的证明．
跟踪训练
3．(1)求证：2(1＋cos α)－sin2α＝4cos4α2.
(2)求证：tan32x－tan2x＝cos
2sin x x＋cos
2x.
证明：(1)左边＝2×2cos2α2－2sinα2cosα22 ＝4cos2α2－4sin2α2cos2α2 ＝4cos2α21－sin2α2＝4cos4α2 ＝右边．
3x x
(2)法一：tan32x－tan2x＝ sin
32x－
sin2 x
cos 2 cos2
＝sin32xcos2x3－x cosx32xsin2x cos 2 cos2
＝sin332xx－2xx＝
sin x 3x x
cos 2 cos2 cos 2 cos2
＝cos32x＋2x2s＋incxos32x－2x
＝2sinα2sinα2－cosα2αsinα2＋cosα2＝sinα2sin2α2－α cos2α2
2|sin2|
|sin2|
＝－sinα2cαos
α .
|sin2|
因为－π<α<0，所以－π2<α2<0，所以 sinα2<0，
所以原式＝－s－insα2incoα2s
α ＝cos
α.
方法归纳 (1)利用半角公式进行化简与计算时，应正确选用升、 降幂公式：当待化简式中含有根式时，应选用升幂公 式去根号；当待化简式中含有高次式时，应选用降幂 公式减少运算量，注意隐含条件中角的范围．
【解析】sin 11°>0，cos 11°>0，
所以 sin 11°＝
1－2 a，cos 11°＝
1＋a 2.
名师指导 对半角公式的四点认识 (1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变 形得到的．(2)半角公式给出了求α2的正弦、余弦、正切 的另一种方式，即只需知道 cos α 的值及相应 α 的条件， 便可求出 sin2α，cosα2，tanα2.
1－cos（2 α－π）的结果
B．cosα2 D．－sinα2
【解析】原式＝
1＋cos 2
α＝|cosα2|，
因为－3π<α<－52π，
所以－32π<2α<－54π.所以
α cos2<0.
因此原式＝－cosα2.
4．若 cos 22°＝a，则 sin 1＋a
_____2___(用 a 表示)．
1－a 11°＝_____2___，cos 11°＝
α＋cos α－sin
αα＝t1a－n αta＋n 1α＝2
015，
故填 2 015.
(2)原式＝ 4cos24＋2 1－2sin 4cos 4 ＝2|cos 4|＋2 （sin 4－cos 4）2 ＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|. 因为54π<4<32π，所以 cos 4<0，sin 4<cos 4<0， 所以 sin 4－cos 4<0. 从而原式＝－2cos 4－2sin 4＋2cos 4＝－2sin 4. 故填－2sin 4.
2sin2cos2 cos2
＝tanα2＝2.
所以 cos α－sin α＝cos2α2－cossin2α22α2＋－si2nc2oα2sα2sinα2 ＝1－t1a＋n2α2ta－n22α2tanα2＝1－12＋2－222×2＝－75.
探究点二 利用半角公式化简求值
例2
(1)计算：tan π8＋
tan2
证明：(1)左边＝csoins αα＋1＋sincoπ2s＋2π＋αα
＝csoins αα＋1－cossinα α
＝sin
α＋1－sin cos α
α＝co1s
α＝右边．
故等式成立．
(2)左边＝cosαcα2o－s2sαinα2α＝cos2cα2oα－s2αsinα2α2 sin2 cos2 sin2cos2
又因为π2<α<π，0<β<π2，所以 0<α－β<π， 所以 0<α－2 β<π2，
所以 cosα－2 β＝
1＋cos（2 α－β）＝
1＋6353 2
＝7
65 65 .
互动探究 把本例中的条件“α 为钝角”改为“α 为锐角”，求 cosα－2 β的值．
解：因为 α 为锐角，β 为锐角，sin α＝45，sin β＝1123， 所以 cos α＝35，cos β＝153， 所以 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×153＋45×1123＝6635，
(3)解：原式＝tan 5°－tan15°·1＋sinco2s02°0° ＝tanta2n5°5－°1·2sin21c0o°s·2c1o0s°10° ＝tanta2n5°5－°1·tan 10° ＝tanta2n5°5－°1·1－2tatnan52°5°＝－2.
探究点三 证明三角恒等式 例 3 求证：(1)tan α＋tanπ41＋α2＝co1s α. (2) 1cαo－s2tαanα2＝14sin 2α.
＝ cos
2sin x x＋cos
2x.
法二： cos
2sin x x＋cos
2x＝cos32x2－six2n＋32xc－os2x32x＋2x
＝2sin32xcos2x3－x cosx32xsin2x＝sin332xx－sinx2x＝tan32x－tan2x.