人教版初中数学八年级上册 实验与探究 三角形中边与角之间的不等关系(全国一等奖)

《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计
一．内容和内容解析
1.内容：
三角形中边与角之间的不等关系：大边对大角，大角对大边
2.内容解析：
本节内容是八年级上册数学教科书第十三章《轴对称》这一章章末的“实验与探究”材料。

它是在学生学习了三角形中“等边对等角”和“等角对等边”的性质后提出来的反思：如果三角形的边（角）不相等，那么它们所对的角（边）的大小关系怎样大边所对的角也大吗从“等角对等边”到“大角对大边”，从“等边对等角”到“大边对大角”，至此，教材将三角形中的“相等”与“不等”关系演绎的淋漓尽致。

针对学生的认知水平，课本利用了轴对称的方法来解决问题，借助于轴对称，解决了上述疑问，也获得了添加辅助线证明性质的方法。

在此探索与证明的过程中，体现了转化的思想。

基于以上分析，确定本节课的教学重点，探索并证明三角形中边与角之间的不等关系。

二．目标与目标解析
1.目标
（1）探索并证明三角形中边与角的不等关系
（2）能利用三角形中边与角的不等关系来比较边或角的大小
（3）结合上述性子和探索的证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的桥梁作用，以及在此过程中作辅助线的方法。

2.目标解析
达成目标（1）的标志是学生能借助实验探究发现在一个三角形中边与角之间的不等关系，并能推理论证出来，能正确理解其中的含义，能用数学语言准确表述性质的含义。

达成目标（2）的标志是：学生能解决相关应用问题。

达成目标（3）的标志是：学生获得添加辅助线证明几何题的方法。

三．教学重难点
教学重点：三角形中边与角之间的不等关系的探究过程。

教学难点：折纸的无意操作与辅助线的有意添加结合，即如何从实验操作中得到启示，写成几何证明的表达。

教具准备：三角形纸片数张、剪刀、圆规、三角板等。

四．教学过程
一、课题引入
我们知道，在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等（等边对等角）。

在一个三角形中，如果两条边不相等，这两条边所对的角是否相等呢
二、探究“大边对大角”
（一）观察图形，提出猜想
观察你手边的不等边三角形纸片，能得到你的猜想吗
（在△ABC中，边AC对∠B，边AB对∠C，同学们通过肉眼观察可得到∠C大于∠B，故猜想大边对大角）
综上，我们提出猜想：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大（简写成"大边对大角"）
（二）小组讨论，验证猜想
1量角器测量：通过几何画板演示验证
2折纸活动：
A B C
E
D A B C 我们在探究“等边对等角”时，采用将三角形对折的方式，发现了“等边对等角”，从而利用三角形的全等证明了这些性质。

现在请大家拿出三角形的纸片用类似的方法探究今天的问题。

（1）叠合法：沿BC 边的垂直平分线折叠
（2）作∠BAC 的角平分线AD ，将△ADC 沿AD 翻折（或将△ADB 沿AD 翻折）
（3）作BC 边的高AD,将△ADC 沿AD 翻折（或将△ADB 沿AD 翻折）
提问：通过折纸，如何说明∠C > ∠B
（三）证明猜想
师：利用实验操作的方法，我们发现并进一步验证了我们的猜想，依据刚刚的折纸方式，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗
已知：如图，在△ABC 中，AB>AC
求证：∠C > ∠B
证法一: 作∠BAC 的平分线交BC 交于点D
在边AB 上取点E 使AE=AC ，连接DE
∵AD 为∠BAC 的角平分线（已知）
∴∠BAD=∠CAD （角平分线定义） 在⊿EAD 和⊿CAD 中
∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=（公共边）（已证）
作图）AD AD CAD BAD AC AE (
∴△EAD ≌△CAD （SAS ）
∴∠C=∠AED （全等三角形的性质）
又∵∠AED=∠B ∠BDE ∴∠AED>∠B
∴∠C>∠B （等量代换）
证法二：作∠’，使AB ’=AB ，连接B ’D
证法三：
过A 作AD ⊥BC 于点D ，在BD 边上截取DC ’，
使DC ’=DC ，连接AC ’。

（说明：沿角平分线所在直线翻折，使∠B 或∠C
转移位置，利用三角形外角的性质证明了∠C > ∠B ）
证法四：
在边AB 上 取点D,使AD=AC ，连接CD
由等边对等角可知∠ADC=∠ACD
又由三角形中外角的性质知∠ADC=∠B ∠DCB
所以∠ADC ＞∠B ， 又因为∠ACB=∠ACD ∠DCB
所以∠ACB ＞∠ACD 所以∠ACB ＞∠B
E A
证法五：
延长AC到点E，使AB=AE
归纳结论：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边所对的角较大。

（简写成：在一个三角形中，大边对大角）
符号表示：∵在△ABC中，AB>AC
∴∠C > ∠B
从对“大边对大角”的探索过程中，你有何收获
（1）折纸对我们添加辅助线的启发
（2）利用等腰三角形和轴对称的性质（截长补短）构造全等，将角进行转移。

转化为“一个角为另一个角所在三角形的外角”。

五．练习与应用
1利用上述的两个结论，回答下面问题：
（1）在△ABC中，已知BC>AB>AC,那么∠A、∠B、∠C有怎样的大小关系
（2）如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，那么这个三角形一定是锐角三角形吗为什么
2如图, △ABC中，AD是中线，如果AB>AC，判断∠BAD与∠DAC的大小关系，并给予证明
六．小结提升
1、本节课通过对三角形边角不等关系的探究，经历了“观察图形→猜想性质→实践检验→推理证明”等一系列活动，了解了研究几何问题的方法
2、在解决问题时，我们可以将新问题转化到我们已学过的知识，如在探究上述问题的过程中，我
们利用了轴对称的性质，把研究边与角之间的不等问题，转化为外角的问题，这种转化的思想是研究几何问题时常用的方法
七．布置作业
1、整理做法：选出两种你喜欢的作法完成证明。

2、类比今天探究“大边对大角”的活动过程，请你探究“大角对大边”。

并完整写出一种证明方法。