无穷级数教学课件 (7)

π
π
cos
k
x
cos
nx
d
x
cos k x cos nx
1 2
cos(k

n)
x

cos(k

n)
x


1 2
π
π
cos(k

n)x

cos(k

n)x
d
x

0
(k n)
同理可证 :
π
π
sin
k
x
sin
nx
dx

0
(k n )
π
π
cos
k
x
sin
n
x
dx

0
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4 1)2
π
,
0 ,
n 2k 1 n 2k
( k 1 , 2 , )
bn

1 π
π π
F
(
x)
sin
nx
d
x

1 π
π π
f (x) sin nx d x
0
f (x)
π 2

4 π

cos
x

1 32
cos
3x

1 52
cos 5x ( π x


第七节 傅里叶级数
第十二章
一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数
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一、三角级数及三角函数系的正交性
简单的周期运动 : y Asin( t ) (谐波函数)
( A为振幅, 为角频率, φ为初相 )

复杂的周期运动 : y A0 An sin(n t n )
定理 1. 组成三角级数的函数系 1 , cos x , sin x , cos 2x , sin 2x , , cos nx , sin nx ,
在 [ π, π]上正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
[ π, π] 上的积分等于 0 .
证: ππ1cos nx d x ππ1sin nx d x 0 (n 1, 2,)
2
x 为连续点 x 为间断点
其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 )
简介 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 [ π , π ) 上的表达式为
f
(
x)


1 1
, ,
π x0 0 x π
y
1
将 f (x) 展成傅里叶级数.
π
3
5
7
9
( x , x 0 , π , 2 π , )
y
说明:
1
1) 根据收敛定理可知, 当x k π (k 0, 1, 2,
y
2) 傅氏级数的部分和逼近 f (x) 的情况见右图.
x O
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x2 2
π 0

π
an

1 π
π
π
F (x) cos nx d
x

1 π
π
π
f
(x) cos nx dx

2 π
π 0
x
cos
nx
dx

2 π
x sin nx n

cos nx n2

π 0
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an

2 n2 π
(
cos
n
π
1)


(2k

x2 2

0 π


π 2
an

1 π
π
π
f
(x) cos nxdx

1 π
0
π
x cos nx
dx

1 x sin nx π n

cos nx n2
0 π
1 cos nπ n2 π
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an

1

cos n n2 π
π



1 62
,
3
1
1 22

1 32

1 42

已知

1

π2 8

2

4
1 2 ,
4

2

1
3

π2 24
又

1 2

π2 8
π2 24

π2 6
3 1 2
π2 π2 π2 8 24 12
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三、正弦级数和余弦级数
例2. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 [ π , π )
上的表达式为
y
f
(
x)

x

0
, ,
π x0 0 x π
3π 2π π
π 2π 3π O
x
将 f (x) 展成傅里叶级数.
解:
a0
1 π
π π
f (x)d x
1 π
0
x
π
d
x

1 π
2
3
( x , x (2k 1)π , k 0, 1 ,)
在[π, π) 上 级数的部分和
y n＝12345
逼近 f (x) 的情况见右图.
O
x x
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例5. 将周期函数 u(t) E sin t 展成傅里叶级数, 其中
E 为正常数 .
解: 先求傅里叶系数
π Oπ
x
an

1 π
π π
f
(x) cos nx d
x
1

1 π
0
π
(1)
cos
nx
d
x

1 π
0π1
cos
nx
d
x
0 ( n 0 ,1, 2 , )
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bn

1 π
π π
f (x)sin nx d x

1 π
4π
2

2 32 π
cos3x
1 3
sin
3x

1 sin 4x 4

2 52 π
cos
5
x
1 5
sin 5x


( x , x (2k 1) π , k 0, 1 , 2 , )
说明:
当
x

(2k
1) π
时,
级数收敛于
0 ( π 2
π
2 π



n1

an
π π
cos
k
x
cosnx
dx

bn
π π
cos
k
x
sinnx
dx

ak
π π
cos 2
kx
dx

ak
π
(利用正交性)

ak

1 π
π π
f
(x) cos k x dx
( k 1, 2, )
类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得
n1
(谐波迭加)
An sin n cos n t An cosn sin n t
令 a0 2
A0 ,
an An sin n ,
bn An cosn ,
t x
得函数项级数
a0 2


(an
k 1
cos nx
bn
sin
nx)
称上述形式的级数为三角级数.
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②
证: 由定理条件, 对①在 [ π, π] 逐项积分, 得
π
π
f
(
x)
d
x

a0 2
π
d
π
x

n1
an
π
cos
π
n
x
dx

bn
π
sin
π
nx
dx

a0 π
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a0
1
π
f (x)d x
π
π f (x) cos k x dx a0 π cos k x dx
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 [ π, π]
上的积分不等于 0 . 且有
ππ11dx 2π
π
π
cos2
n
x
dx
π
π
π
sin
2
nx dx

π
( n 1, 2, )
cos2 nx 1 cos 2nx , sin 2 nx 1 cos 2nx
2
2
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sin nx n2

0
2 cos n 2 (1)n1 ( n 1 , 2 , 3 , )
n
n
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根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:
y

f (x) 2
(1)n1 sin nx
n1 n
O
2(sin x 1 sin 2x 1sin 3x )
它的傅里叶系数为
an

2 π
π
f (x) cos nx d x
0
bn 0
(n 0 ,1, 2 , ) (n 1, 2 , 3 , )
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例4. 设 f (x) 是周期为2 的周期函数,它在 [ , )上
的表达式为 f (x) x , 将 f (x) 展成傅里叶级数.
1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数
定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为
正弦级数, 它的傅里叶系数为
an 0
(n 0 ,1, 2 , )
bn

2 π
π
f (x) sin nx d x
0
(n 1, 2 , 3 , )
周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,
0 π
(1)
sin
nx
d
x

1 π
π 1sin nxdx
0

1 π
cos nx n
0 π

1 π

cos nx n
π 0

2 nπ

1
cos
nπ

2 nπ

1 (1)n



4 nπ
,
0,
当n 1, 3, 5, 当n 2 , 4 , 6 ,
π
)
说明: 利用此展式可求出几个特殊的级数的和.
当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得
π2 8
1
1 32

1 52

1 (2n 1)2

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设

1
1 22

1 32

1 42
,
1
1
1 32

1 52

1 72

2

1 22

1 42
解: 若不计 x (2k 1) (k 0, 1, 2,), 则 f (x) 是
周期为 2 的奇函数, 因此
y
an 0 (n 0 , 1 , 2 , )
bn
2


0
f
(x)sin nx d x
O
x

2

0
x sin
nx d
x

2



x cos nx n
2 (2k 1)2 π
0,
,
n 2k 1 n 2k
( k 1, 2 , )
bn f (x)
1 π

π
π
π
f(
x)sin nx d x
2 cos x

1 π
0
π
x
sin
nxdx
sin x 1 sin 2x

(1)n1 n
( n 1,
2,
)
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例3. 将函数
f
(x)



x x
, ,

π 0

x x

0 π
展成傅里叶级数.
解: 将 f (x)延拓成以
y
2为周期的函数 F(x) , 则
π O π
x
a0

1 π
π F(x)d x 1
π
π
π
f (x)d x
π
2
π
xdx
π0

2 π
)

π 2
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定义在[– ,]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法 f (x) , x [ π , π ] 周期延拓
f (x) ,
x [ π , π )
F(x)
f (x 2k π ) , 其它
傅里叶展开
f (x) 在 [ π, π ] 上的傅里叶级数
二、函数展开成傅里叶级数
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且
f
(x)

a0 2


(an
n1
cos nx

bn
sin
nx)
①
右端级数可逐项积分, 则有
an

1

π
π f (x) cos nx dx
bn

1

π π
f
( x) sin
nx
dx
(n 0, 1, ) (n 1, 2, )
y
解: u(t) 是周期为2 的 2 O 2 x
周期偶函数 , 因此 bn 0 (n 1 , 2 , ) ;
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
注意: 函数展成
a0
2



n1
an
cos
nx

bn
sin
nx

傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多.


f (x) ,
f (x) f (x) ,

f
(
x)

4 π

sin x 1sin 3x 3