复数代数形式的乘除运算课件

2 + 3a = 2b,
即
-2 = 4( + 2),
3 + 8 = -2.
解得
= -2,
或 = -4,
= -1,
= 2.
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
(2)∵f(z)=2z+-3i,∴f(+i)=2(+i)+( + i)-3i=2+2i+z-i-3i=2+z-2i.
1
例 3 设 z 是虚数,ω=z+ 是实数,且-1<ω<2,
(1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围;
1-
(2)设 u=1+,求证:u 为纯虚数.
1

思路分析:(1)按常规解法,设 z=x+yi(x,y∈R),化简 ω=z+ ,找出实部、
虚部可以列出等量关系式求解;(2)证明 u 为纯虚数,可按定义证明实部
为零,虚部不为零,或证明 u+=0,且 u≠0.
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
(1)解:∵z 是虚数,
∴可设 z=x+yi,x,y∈R,且 y≠0.
1
-i
1


∴ω=z+ =x+yi++i =x+yi+2 +2=x+2 +2 + - 2 +2 i.

∵ω 是实数且 y≠0,∴y-2 +2 =0.∴x2+y2=1,即|z|=1.此时 ω=2x.
若 z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.
(2)共轭复数的性质
①z·
=|z|2=||2;②||=|z|;③z+=2a,z-=2bi;④1 ± 2 = 1 ±
2 ;⑤1 ·2 = 1 ·2 ;⑥
纯虚数.
1
2
=
1
(z ≠0);⑦z=⇔z∈R;=-z(z≠0)⇔z;2,∴-1<2x<2,从而有-2<x<1,即 z 的实部的取值范围是 - 2 ,1 .
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
1-
1+
(2)证明:u=
=
=
=
1-(+i)
1+(+i)
(1--i)(1+-i)
2
(1+) +2
1-2 -2 -2yi
2

i.
1+
=2
3.|z1·
z2|与|z1|·
|z2|相等吗?
提示:相等.
1
2
与
|1 |
相等吗?
|2 |
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
例 1 计算下列各题:
(1)(1-i)(1+i)+(-1+i);
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i;
(1-4i)(1+i)+2+4i
;
3+4i
(3)
(i-2)(i-1)
z1,z1·
(z2·
z3)=(z1·
z2)·
z3,z1·
(z2+z3)=z1·
z2+z1·
z3.
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
2.共轭复数、共轭虚数
(1)定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个
复数叫做互为共轭复数.虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚
数.z 的共轭复数用 表示.
思路分析:利用共轭复数的定义及两复数相等的充要条件列方程
组求解.
解:(1)∵z=1+i,
∴az+2b=a(1+i)+2b(1-i)=a+2b+(a-2b)i,
(a+2z)2=(a+2+2i)2=(a+2)2-4+4(a+2)i.
∵a,b 都是实数,由复数相等的充要条件,得
+ 2 = ( + 2)2 -4,
=(9-12i+33i-44i2)+2i=53+21i+2i=53+23i.
(1-4i)(1+i)+2+4i
(3)
3+4i
(7+i)(3-4i)
=
(3+4i)(3-4i)
=
(i-2)(i-1)
(4)
(1+i)(i-1)+i
2
-2-i+6i+3i
=
5
2
21-28i+3i-4i
25
=
=
=
2
(1+i-4i-4i )+2+4i 5-3i+2+4i
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
1.复数的乘法
(1)复数的乘法法则
设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
则 z 1·
z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
(2)复数的乘法满足的运算律
复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律,
即:z1·
z2=z2·
(1+) +
1
2
∵x∈ - ,1 ,y≠0,

≠0.∴u
1+
∴
为纯虚数.
.
(1+i)(i-1)+i
(4)
思路分析:根据复数乘法和除法的运算法则,运算律进行计算,对于
除法运算要特别注意分母实数化方法的应用.
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
解:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i.
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i=(3+11i)(3-4i)+2i
= 3+4i
3+4i
2
i -i-2i+2
25-25i
=1-i.
25
=
1-3i
2
i-1+i -i+i -2+i
=
-5+5i
=-1+i.
5
=
(1-3i)(-2-i)
(-2+i)(-2-i)
7+i
= 3+4i
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
二、共轭复数
活动与探究
1.在复平面内,互为共轭复数的对应点有怎样的位置关系?
又 f(+i)=6-3i,∴2+z-2i=6-3i,
即 2+z=6-i.
设 z=x+yi(x,y∈R),则=x-yi.
∴2(x-yi)+x+yi=3x-yi=6-i,
3 = 6,
= 2,
∴
⇒
∴z=2+i.
=1
= 1.
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
三、复数的综合应用
活动与探究
2 2
为
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
一、复数的乘法与除法运算
活动与探究
1.复数的乘法法则与什么相似?相乘的结果是什么数?
提示:复数的乘法与多项式相乘相似,相乘的结果仍是一个复数.
2.两个虚数的积是否一定是虚数?
提示:不一定.如 z1=3+4i,z2=3-4i,则 z1·z2=25 为实数.
提示:关于 x 轴对称.
2.设复数 z 的共轭复数为,则|z|,||,及 z·
之间有怎样的关系?
提示:|z|=||且|z|2=||2=z·.
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
例 2(1)已知复数 z=1+i,求实数 a,b,使 az+2b=(a+2z)2;
(2)若 f(z)=2z+-3i,f(+i)=6-3i,求复数 z.