2019-2020学年山东省泰安市肥城市九年级(上)期中数学试卷(最全解析)

2019-2020学年山东省泰安市肥城市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填涂在答题纸相应的位置）1．（4分）如图，已知直线////a b c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若12AB BC =，则(DE EF = )A ．13B ．12C ．23D ．12．（4分）下列式子错误的是(α，β均为锐角）( )A ．sin tan cos ααα=B ．22sin cos 1αα+=C ．sin22sin αα=D ．若90αβ+=︒，则sin cos αβ=3．（4分）下列下列说法中，正确的是( )A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心4．（4分）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A 、B 、C 、D 四个图中的三角形（阴影部分）与EFG ∆相似的是( )A ．B ．C ．D ．5．（4分）在ABC ∆中，90C ∠=︒，下列各式不一定成立的是( )A ．cos a b A =B ．cos a c B =C ．sin a c A =D ．tan b a B =6．（4分）如图，斜面AC 的坡度(CD 与AD 的比）为1:2，35AC =米，坡顶有旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带相连．若10AB =米，则旗杆BC 的高度为( )A ．5米B ．6米C ．8米D ．(35)+米7．（4分）下列说法中正确的有( )①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为16:81；④若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2cm ，那么这两个三角形一定相似．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（4分）在ABC ∆中，若2cos A =，tan 3B =，则这个三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形9．（4分）如图，在ABC ∆中，点P 在边AB 上，则在下列四个条件中：①ACP B ∠=∠；②APC ACB ∠=∠；③2AC AP AB =；④AB CP AP CB =，能满足APC ∆与ACB ∆相似的条件是( )A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③10．（4分）如图是圆桌正上方的灯泡（看做一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2m ，桌面距离地面1m ．若灯泡距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为( )A ．20.36m πB ．20.81m πC ．22m πD ．23.24m π11．（4分）如图，AD 是BAC ∠的平分线，AD BD ⊥，AC DC ⊥，若8AB =，6AC =，则AD 的长为( )A ．43B ．7C ．10D ．4212．（4分）如图，M 的半径为2，圆心M 的坐标为(3,4)，点P 是M 上的任意一点，PA PB ⊥，且PA 、PB 与x 轴分别交于A 、B 两点，若点A 、点B 关于原点O 对称，则AB 的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8二、填空题（请将答案直接填写在答题纸相应位置）13．（4分）22sin 60cos 60tan 45︒+︒-︒= ．14．（4分）已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3tan 4A =，则sin A = ． 15．（4分）如图，ABC ∆是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是ABC ∆的面积的 ．16．（4分）如图，直径为10的A经过点(0,5)O，B是y轴右侧A优弧上一C和点(0,0)点，则OBC∠的余弦值为．17．（4分）如图所示，P、Q分别是ABCAP=，AC=，2AB=，5∆的边AB、AC上的点，若6且以A、P、Q为顶点的三角形与ABC∆相似，则AQ的长为．18．（4分）如图，两个同心圆O，大圆的弦AB恰好是小圆的切线，切点为P，若23AB=，则圆环（图中阴影部分）的面积为．三、解答题（请在答题纸相应位置写出必要的步骤）19．（8分）如图，D是ABCAB=，∆的边AC上的一点，连接BD，已知ABD C∠=∠，6 AD=，求线段CD的长．420．（12分）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG BC⊥于点G，AF DE⊥于点F，EAF GAC∠=∠．（1）求证：ADE ABC∆∆∽；（2）若3AD=，5AB=，求AFAG的值．21．（10分）如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30︒，测得大楼顶端A的仰角为45︒（点B，C，E 在同一水平直线上），已知80AB m=，10DE m=，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1)m（参考数据：2 1.414≈，3 1.732)≈22．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE DC⊥，垂足为E，连接BE，F 为BE上一点，且AFE D∠=∠．（1）求证：ABF BEC∆∆∽；（2）若5AD=，8AB=，4sin5D∠=，求AF的长．23．（10分）如图所示，已知：在ABC∆中，60A∠=︒，45B∠=︒，8AB=．求：ABC∆的面积．（结果可保留根号）24．（12分）如图，AB是O的直径，OD⊥弦BC于点F，交O于点E，连结CE、AE、∠=∠．CD，若AEC ODC（1）求证：直线CD为O的切线；（2）若5BC=，求线段CD的长．AB=，425．（14分）如图，已知：AB是O的直径，点C在O上，CD是O的切线，AD CD⊥于点D，E是AB延长线上一点，CE交O于点F，连接OC、AC．（1）求证：AC平分DAO∠．（2）若105DAOE∠=︒∠=︒，30①求OCE∠的度数；②若O的半径为22，求线段EF的长．26．如图，在ABC=，AD BC⊥，垂足为D，E、G分别为AD、AC的中∆中，AB AC点，DF BE⊥，垂足为F，求证：FG DG=．2019-2020学年山东省泰安市肥城市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填涂在答题纸相应的位置）1．（4分）如图，已知直线////a b c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若12AB BC =，则(DE EF= )A ．13B ．12C ．23D ．1 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解．【解答】解：////a b c ，∴12DE AB EF BC ==． 故选：B ．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．2．（4分）下列式子错误的是(α，β均为锐角）( )A ．sin tan cos ααα=B ．22sin cos 1αα+=C ．sin22sin αα=D ．若90αβ+=︒，则sin cos αβ=【分析】根据同角的三角函数的关系，互余两角的三角函数的关系判断即可．【解答】解：根据同角的三角函数的关系可知，选项A ，选项B 不符合题意，根据互余两角的三角函数的关系可知，若90αβ+=︒，则sin cos αβ=，因此选项D 不符合题意；3sin 60︒，12sin30212︒=⨯=， sin602sin30∴︒≠︒，因此sin22sin αα≠，故选项C 符合题意，故选：C ．【点评】本题考查同角的三角函数，互余两角的三角函数之间的关系，掌握锐角三角函数的意义是正确判断的前提．3．（4分）下列下列说法中，正确的是( )A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A 、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误；B 、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误；C 、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误；D 、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确．故选：D ．【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．4．（4分）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A 、B 、C 、D 四个图中的三角形（阴影部分）与EFG ∆相似的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据相似三角形的判定，易得出EFG ∆的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可．【解答】解：小正方形的边长为1，∴在EFG ∆中，2EG ，2FG =，21310EF =+A 中，一边3=，一边2=2125=+=ABC ∆中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故A 错误；B 中，一边1=，一边=，==EFG ∆中的三边对应成比例，故两三角形相似．故B 正确；C 中，一边1=，一边=EFG ∆中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故C 错误；D 中，一边2=，一边=，一边==EFG ∆中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故D 错误．故选：B ．【点评】本题考查了相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．5．（4分）在ABC ∆中，90C ∠=︒，下列各式不一定成立的是( )A ．cos a b A =B ．cos a c B =C ．sin a c A =D ．tan b a B =【分析】根据锐角三角函数的定义判断即可．【解答】解：在ABC ∆中，90C ∠=︒， 则tan b B a=， tan b a B ∴=，A 选项错误，符合题意，D 选项正确，不符合题意；在ABC ∆中，90C ∠=︒， 则cos a B c=， cos a c B ∴=，B 选项正确，不符合题意；在ABC ∆中，90C ∠=︒， 则sin a A c =， sin a c A∴=，C 选项正确，不符合题意； 故选：A ．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做A ∠的正弦；锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做A ∠的余弦；锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做A ∠的正切．6．（4分）如图，斜面AC 的坡度(CD 与AD 的比）为1:2，35AC =米，坡顶有旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带相连．若10AB =米，则旗杆BC 的高度为( )A ．5米B ．6米C ．8米D ．(35)米【分析】设CD x =，则2AD x =，根据勾股定理求出AC 的长，从而求出CD 、AC 的长，然后根据勾股定理求出BD 的长，即可求出BC 的长．【解答】解：设CD x =，则2AD x =， 由勾股定理可得，22(2)5AC x x x +，35AC =∴535x =3x ∴=米，3CD ∴=米，236AD ∴=⨯=米，在Rt ABD ∆中，221068BD =-=米，835BC ∴=-=米．故选：A ．【点评】本题考查了解直角三角形的应用--坡度坡角问题，找到合适的直角三角形，熟练运用勾股定理是解题的关键．7．（4分）下列说法中正确的有( )①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为16:81；④若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2cm ，那么这两个三角形一定相似．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据相似三角形或相似多边形的定义以及性质即可作出判断．【解答】解：①正确．②两个等腰三角形一定相似，错误不一定相似．③两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为16:81，错误周长比应该是2:3， ④不相似，三边不一定成比例．故选：A ．【点评】本题考查相似图形的有关性质，解题的关键是理解相似三角形、相似多边形的定义和性质，属于中考常考题型．8．（4分）在ABC ∆中，若2cos A =，tan 3B =，则这个三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【分析】根据特殊角的三角函数值和三角形的内角和定理求出角的度数，再进行判断．【解答】解：2cos A =，tan 3B =， 45A ∴∠=︒，60B ∠=︒．180456075C ∴∠=︒-︒-︒=︒．ABC ∴∆为锐角三角形．故选：A ．【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．9．（4分）如图，在ABC ∆中，点P 在边AB 上，则在下列四个条件中：①ACP B ∠=∠；②APC ACB ∠=∠；③2AC AP AB =；④AB CP AP CB =，能满足APC ∆与ACB ∆相似的条件是( )A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【解答】解：当ACP B ∠=∠，A A ∠=∠，所以APC ACB ∆∆∽；当APC ACB ∠=∠，A A ∠=∠，所以APC ACB ∆∆∽；当2AC AP AB =，即::AC AB AP AC =，A A ∠=∠所以APC ACB ∆∆∽；当AB CP AP CB =，即::PC BC AP AB =，而PAC CAB ∠=∠，所以不能判断APC ∆和ACB ∆相似．故选：D ．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．10．（4分）如图是圆桌正上方的灯泡（看做一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2m ，桌面距离地面1m ．若灯泡距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为( )A ．20.36m πB ．20.81m πC ．22m πD ．23.24m π【分析】欲求投影圆的面积，可先求出其直径，而直径可通过构造相似三角形，由相似三角形性质求出．【解答】解：构造几何模型如图：依题意知 1.2DE =米，1FG =米，3AG =米，由DAE BAC ∆∆∽得DE AF BC AG =，即1.2313BC -=， 得 1.8BC =， 故221 1.8()()0.8122S BC πππ=⋅=⋅=圆，故选：B ．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力． 利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．11．（4分）如图，AD 是BAC ∠的平分线，AD BD ⊥，AC DC ⊥，若8AB =，6AC =，则AD 的长为( )A ．43B ．7C ．10D ．42【分析】根据角平分线的定义和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：AD 是BAC ∠的平分线，BAD DAC ∴∠=∠，AD BD ⊥，AC DC ⊥，90ADB C ∴∠=∠=︒，ABD ADC ∴∆∆∽， ∴AB AD AD AC =， ∴86AD AD =， 8643AD ∴=⨯=故选：A ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．12．（4分）如图，M的半径为2，圆心M的坐标为(3,4)，点P是M上的任意一点，⊥，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB PA PB的最小值为()A．3B．4C．6D．8【分析】由Rt APBAB OP=知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，∆中2交M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最小值，据此求解可得．【解答】解：PA PB⊥，∴∠=︒，90APB=，AO BOAB PO∴=，2若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最小值，过点M作MQ x⊥轴于点Q，则3MQ=，OQ=、4∴=，OM5又2MP'=，OP∴'=，3∴='=，AB OP26故选：C．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB 取得最小值时点P 的位置．二、填空题（请将答案直接填写在答题纸相应位置）13．（4分）22sin 60cos 60tan 45︒+︒-︒= 0 ． 【分析】将特殊角的三角函数值代入求解． 【解答】解：原式2231()()12=+- 0=． 故答案为：0．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．14．（4分）已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3tan 4A =，则sin A = 35 ． 【分析】根据3tan 4A =，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出sin A 的值．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3tan 4a Ab ==， ∴设3a x =，则4b x =，则22(3)(4)5c x x x =+=．33sin 55a x A c x ===． 故答案是：35． 【点评】本题考查了同角三角函数的关系．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．15．（4分）如图，ABC ∆是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是ABC ∆的面积的 13．【分析】根据题意，易证AEH AFG ABC ∆∆∆∽∽，利用相似比，可求出AEH S ∆、AFG S ∆面积比，再求出ABC S ∆．【解答】解：AB 被截成三等分，AEH AFG ABC ∴∆∆∆∽∽， ∴12AE AF =，13AE AB =， :4:9AFG ABC S S ∆∆∴=，:1:9AEH ABC S S ∆∆=，411993ABC ABC ABC S S S S ∆∆∆∴=-=阴影部分的面积． 故答案为13． 【点评】本题主要考查了利用三等分点求得各相似三角形的相似比，从而求出面积比计算阴影部分的面积，难度适中．16．（4分）如图，直径为10的A 经过点(0,5)C 和点(0,0)O ，B 是y 轴右侧A 优弧上一点，则OBC ∠的余弦值为 3 ．【分析】首先设A 与x 轴的另一个交点为D ，连接CD ，根据直角对的圆周角是直径，即可得CD 是直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可得OBC ODC ∠=∠，继而可求得答案．【解答】解：设A 与x 轴的另一个交点为D ，连接CD ，90COD ∠=︒，CD ∴是直径，即10CD =，(0,5)C ，5OC ∴=，2253OD CD OC ∴=-OBC ODC ∠=∠，533cos cos OD OBC ODC CD ∴∠=∠===．故答案为：32．【点评】此题考查了圆周角定理、勾股定理以及三角函数的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．17．（4分）如图所示，P 、Q 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，若6AB =，5AC =，2AP =，且以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则AQ 的长为 53或125．【分析】由A ∠是公共角，可得当::AP AB AQ AC =时，APQ ABC ∆∆∽，当::AP AC AQ AB =时，APQ ACB ∆∆∽，继而求得答案． 【解答】解：连接PQ ．A ∠是公共角，∴当::AP AB AQ AC =时，APQ ABC ∆∆∽，即2:6:5AQ =，解得：53AQ =； 当::AP AC AQ AB =时，APQ ACB ∆∆∽，即2:5:6AQ =，解得：125AQ =； ∴当53AQ =或125时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似． 故答案为：53或125．【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．18．（4分）如图，两个同心圆O ，大圆的弦AB 恰好是小圆的切线，切点为P ，若23AB =，则圆环（图中阴影部分）的面积为 3π ．【分析】连接OP 、OA ，由勾股定理可求得222OA OP AP -=，再结合圆的面积可求得阴影部分的面积．【解答】解：如图，连接OP 、OA ，AB 为小圆的切线，OP AB ∴⊥，132AP AB ∴== 由勾股定理可得2223AO OP AP -==，()222223S S S OA OP OA OP AP πππππ∴=-=-=-==阴影大圆小圆，故答案为：3π．【点评】本题主要考查切线的性质，掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键，注意整体思想的应用．三、解答题（请在答题纸相应位置写出必要的步骤）19．（8分）如图，D 是ABC ∆的边AC 上的一点，连接BD ，已知ABD C ∠=∠，6AB =，4AD =，求线段CD 的长．【分析】由已知角相等，加上公共角，得到三角形ABD 与三角形ACB 相似，由相似得比例，将AB 与AD 长代入即可求出CD 的长．【解答】解：在ABD ∆和ACB ∆中，ABD C ∠=∠，A A ∠=∠，ABD ACB ∴∆∆∽， ∴AB AD AC AB =， 6AB =，4AD =，23694AB AC AD ∴===， 945CD AC AD ∴=-=-=．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．20．（12分）如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG BC ⊥于点G ，AF DE ⊥于点F ，EAF GAC ∠=∠．（1）求证：ADE ABC ∆∆∽；（2）若3AD =，5AB =，求AF AG的值．【分析】（1）由于AG BC ⊥，AF DE ⊥，所以90AFE AGC ∠=∠=︒，从而可证明AED ACB ∠=∠，进而可证明ADE ABC ∆∆∽；（2）ADE ABC ∆∆∽，AD AE AB AC =，又易证EAF CAG ∆∆∽，所以AF AE AG AC=，从而可知AF AD AG AB =． 【解答】解：（1）AG BC ⊥，AF DE ⊥，90AFE AGC ∴∠=∠=︒，EAF GAC ∠=∠，AED ACB ∴∠=∠，EAD BAC ∠=∠，ADE ABC ∴∆∆∽，（2）由（1）可知：ADE ABC ∆∆∽， ∴35AD AE AB AC == 由（1）可知：90AFE AGC ∠=∠=︒，EAF GAC ∴∠=∠，EAF CAG ∴∆∆∽， ∴AF AE AG AC =， ∴35AF AG =另解：AG BC ⊥，AF DE ⊥，ADE ABC ∆∆∽， ∴35AF AD AG AB == 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型．21．（10分）如图，大楼AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30︒，测得大楼顶端A 的仰角为45︒（点B ，C ，E 在同一水平直线上），已知80AB m =，10DE m =，求障碍物B ，C 两点间的距离（结果精确到0.1)m 1.414≈ 1.732)≈【分析】如图，过点D 作DF AB ⊥于点F ，过点C 作CH DF ⊥于点H ．通过解直角AFD ∆得到DF 的长度；通过解直角DCE ∆得到CE 的长度，则BC BE CE =-．【解答】解：如图，过点D 作DF AB ⊥于点F ，过点C 作CH DF ⊥于点H ．则10DE BF CH m ===，在直角ADF ∆中，801070AF m m m =-=，45ADF ∠=︒，70DF AF m ∴==． 在直角CDE ∆中，10DE m =，30DCE ∠=︒， 103()tan303DE CE m ∴===︒， 701037017.3252.7()BC BE CE m ∴=-=-≈-≈．答：障碍物B ，C 两点间的距离约为52.7m ．【点评】本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．22．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE DC ⊥，垂足为E ，连接BE ，F 为BE 上一点，且AFE D ∠=∠．（1）求证：ABF BEC ∆∆∽；（2）若5AD =，8AB =，4sin 5D ∠=，求AF 的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定，可以从题意出发找到相似的条件，从而可以证明个结论成立；（2）根据锐角三角函数和三角形的相似可以求得AF 的长．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，//AD BC ，AD BC =，180D C ∴∠+∠=︒，ABF BEC ∠=∠，180AFB AFE ∠+∠=︒，AFE D ∠=∠，C AFB ∴∠=∠，ABF BEC ∴∆∆∽；（2）解：AE DC ⊥，5AD =，8AB =，4sin 5D ∠=， 4AE ∴=，AE DC ⊥，//AB DC ，90AED BAE ∴∠=∠=︒，在Rt ABE ∆中，根据勾股定理得：22224845BE AE AB =+=+=，5BC AD ==，由（1）得：ABF BEC ∆∆∽，∴AF AB BC BE =，即545AF =， 解得：25AF =．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．23．（10分）如图所示，已知：在ABC ∆中，60A ∠=︒，45B ∠=︒，8AB =．求：ABC ∆的面积．（结果可保留根号）【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，利用直角三角形的性质求得CD 的长．已知AB 的长，根据三角形的面积公式即可求得其面积．【解答】解：过C 作CD AB ⊥于D ，在Rt ADC ∆中，90CDA ∠=︒， ∴3cot cot 60DA DAC CD =∠=︒=， 即3AD CD =⨯． 在Rt BDC ∆中，45B ∠=︒，45BCD ∴∠=︒，CD BD ∴=．38AB DB DA CD CD =+=+⨯=， 1243CD ∴=-． 118(1243)4816322ABC S AB CD ∆∴=⨯=⨯⨯-=-． 答：ABC ∆的面积为48163-．【点评】考查直角三角形的性质及三角形的面积公式的掌握情况．24．（12分）如图，AB 是O 的直径，OD ⊥弦BC 于点F ，交O 于点E ，连结CE 、AE 、CD ，若AEC ODC ∠=∠．（1）求证：直线CD 为O 的切线；（2）若5AB =，4BC =，求线段CD 的长．【分析】（1）利用圆周角定理结合等腰三角形的性质得出90OCF DCB∠+∠=︒，即可得出答案；（2）利用圆周角定理得出90ACB∠=︒，利用相似三角形的判定与性质得出DC的长．【解答】（1）证明：连接OC，CEA CBA∠=∠，AEC ODC∠=∠，CBA ODC∴∠=∠，又CFD BFO∠=∠，DCB BOF∴∠=∠，CO BO=，OCF B∴∠=∠，90B BOF∠+∠=︒，90OCF DCB∴∠+∠=︒，∴直线CD为O的切线；（2）解：连接AC，AB是O的直径，90ACB∴∠=︒，DCO ACB∴∠=∠，又D B∠=∠OCD ACB∴∆∆∽，90ACB∠=︒，5AB=，4BC=，3AC∴=，∴CO CD AC BC=，即2.534CD=，解得；103 DC=．【点评】此题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，得出OCD ACB∆∆∽是解题关键．25．（14分）如图，已知：AB是O的直径，点C在O上，CD是O的切线，AD CD⊥于点D，E是AB延长线上一点，CE交O于点F，连接OC、AC．（1）求证：AC平分DAO∠．（2）若105DAO∠=︒，30E∠=︒①求OCE∠的度数；②若O的半径为22，求线段EF的长．【分析】（1）由切线性质知OC CD⊥，结合AD CD⊥得//AD OC，即可知DAC OCA OAC∠=∠=∠，从而得证；（2）①由//AD OC知105EOC DAO∠=∠=︒，结合30E∠=︒可得答案；②作OG CE⊥，根据垂径定理及等腰直角三角形性质知CG FG OG==，由22OC=2CG FG OG===，在Rt OGE∆中，由30E∠=︒可得答案．【解答】解：（1）CD是O的切线，OC CD∴⊥，AD CD⊥，//AD OC∴，DAC OCA ∴∠=∠，OC OA =，OCA OAC ∴∠=∠，OAC DAC ∴∠=∠，AC ∴平分DAO ∠；（2）①//AD OC ，105EOC DAO ∴∠=∠=︒，30E ∠=︒，45OCE ∴∠=︒；②作OG CE ⊥于点G ，则CG FG OG ==， 22OC =45OCE ∠=︒，2CG OG ∴==，2FG ∴=，在Rt OGE ∆中，30E ∠=︒，23GE ∴= ∴232EF GE FG =-=．【点评】本题主要考查圆的切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理及等腰直角三角形性质，熟练掌握切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理及等腰直角三角形性质是解题的关键．26．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，E 、G 分别为AD 、AC 的中点，DF BE ⊥，垂足为F ，求证：FG DG =．【分析】连接AF ，CF ，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得BD CD =，12DG AC =，通过证明AEF CDF ∆∆∽，可得AFE CFD ∠=∠，可证90AFC EFD ∠=∠=︒，由直角三角形的性质可得结论．【解答】证明：连接AF ，CF ，AB AC =，AD BC ⊥，BD CD ∴=，E 、G 分别为AD 、AC 的中点，AD BC ⊥，DE AE ∴=，12DG AC =， 90EBD BED ∠+∠=︒，90EBD BDF ∠+∠=︒，BED BDF ∴∠=∠，又90BFD EFD ∠=∠=︒，BFD DFE ∴∆∆∽，∴BD DF DE EF =， ∴CD DF AE EF=， BED BDF ∠=∠，AEF FDC ∴∠=∠，AEF CDF ∴∆∆∽，AFE CFD ∴∠=∠，AFE EFC CFD EFC ∴∠+∠+∠+∠，90AFC EFD ∴∠=∠=︒， G 是AC 中点，12FG AC ∴=， FG DG ∴=．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．。