东南大学期末数学试卷
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一、选择题（每题5分，共20分）
1. 下列函数中，在定义域内单调递增的是：
A. f(x) = x^2
B. f(x) = 2x - 1
C. f(x) = x^3
D. f(x) = -x
2. 设函数f(x) = x^2 - 3x + 2，则f(x)的对称轴为：
A. x = -1
B. x = 1
C. x = 2
D. x = 3
3. 已知向量a = (1, 2, 3)，向量b = (3, 4, 5)，则向量a与向量b的夹角余弦值为：
A. 1/2
B. 1/3
C. 1/5
D. 1/7
4. 下列极限中，正确的是：
A. lim(x→0) (x^2 + 1) / x = 1
B. lim(x→0) (sinx) / x = 1
C. lim(x→0) (1 - cosx) / x = 0
D. lim(x→0) (e^x - 1) / x = 1
5. 设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，矩阵B = [[5, 6], [7, 8]]，则矩阵A与矩阵B的乘积为：
A. [[19, 22], [27, 30]]
B. [[15, 18], [21, 24]]
C. [[23, 26], [31, 34]]
D. [[25, 28], [33, 36]]
二、填空题（每题5分，共25分）
6. 设函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，则f'(x) = _______。
7. 设向量a = (2, 3, 4)，向量b = (1, -2, 3)，则向量a与向量b的叉积为
_______。
8. 设函数f(x) = e^x，则f'(x) = _______。
9. 设矩阵A = [[2, 1], [3, 4]], 则矩阵A的行列式为 _______。
10. 设数列{an}的通项公式为an = 3^n - 2^n，则数列{an}的前n项和S_n =
_______。
三、解答题（每题15分，共45分）
11. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1，求f(x)在区间[0, 3]上的最大值和最小值。
12. 设向量a = (2, 3, 4)，向量b = (1, -2, 3)，求向量a与向量b的点积。
13. 设函数f(x) = ln(x^2 + 1)，求f'(x)。
14. 设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]], 矩阵B = [[5, 6], [7, 8]]，求矩阵A与矩阵B的乘积。
四、证明题（15分）
15. 证明：若数列{an}满足an + 1 = an + 2n，且a_1 = 1，则数列{an}是等比数列。
答案：
一、选择题：
1. B
2. B
3. C
4. B
5. A
二、填空题：
6. 6x^2 - 12x + 9
7. -2
8. e^x
9. 2
10. 3^n - 2^n - 1
三、解答题：
11. 最大值为7，最小值为-1。
12. -19
13. f'(x) = 2x / (x^2 + 1)
14. [[23, 26], [31, 34]]
四、证明题：
15. 证明：设数列{an}的公比为q，则有a_n = a_1 q^(n-1) = q^(n-1)。
由题意得：a_n + 1 = a_n + 2n，即q^(n-1) + 1 = q^(n-1) + 2n。
两边同时减去q^(n-1)，得1 = 2n，即n = 1/2。
因此，数列{an}的公比q = a_2 / a_1 = (a_1 + 2) / a_1 = 3/2。
所以，数列{an}是等比数列。