近三年解三角形高考真题(带解析)

近三年解三角形高考真题（带解析）
1．（2022·北京·统考高考真题）在ABC 中，sin 2C C =． (1)求C ∠；
(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．
2．（2022·天津·统考高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知
1
2,cos 4
a b c A ==-.
(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.
3．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别
以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知1231
3
S S S B -+==．
(1)求ABC 的面积；
(2)若sin sin 3
A C =
，求b ． 4．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知
()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+
5．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．
(1)证明：2222a b c =+； (2)若25
5,cos 31
a A ==
，求ABC 的周长． 6．（2022·浙江·统考高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已
知34,cos 5
a C ==． (1)求sin A 的值；
(2)若11b =，求ABC 的面积．
7．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A B
A B
=++．
(1)若23
C π
=
，求B ；
(2)求22
2
a b c +的最小值．
8．（2021·全国·统考高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，
1b a =+，2c a =+.．
（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；
（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．
9．（2021·全国·统考高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.
（1）证明：BD b =；
（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.
10．（2020·浙江·统考高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
且2sin 0b A =． （I ）求角B 的大小；
（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．
11．（2020·全国·统考高考真题）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ． （1）求A ；
（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.
12．（2020·全国·统考高考真题）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24
A A π++=．
（1）求A ；
（2）若b c -=
，证明：△ABC 是直角三角形．
参考答案：
1．(1)
6
π (2)663
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.
【详解】（1）解：因为()0,C π∈，则sin 0C >
2sin cos C C C =，
可得cos C =
，因此，6C π=.
（2
）解：由三角形的面积公式可得13
sin 22
ABC
S ab C a =
==
，解得a =
由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=
，c ∴=
所以，ABC
的周长为6a b c ++=.
2．(1)1c =
(2)sin B =
(3)sin(2)A B -=
【分析】（1）根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-以及2b c =解方程组即可求出； （2）由（1）可求出2b =，再根据正弦定理即可解出；
（3）先根据二倍角公式求出sin 2,cos 2A A ，再根据两角差的正弦公式即可求出．
【详解】（1）因为2222cos a b c bc A =+-，即22162
b c bc =++，而2b c =，代入得
22264c c c =++，解得：1c =．
（2）由（1）可求出2b =，而0πA <<
，所以sin A =sin sin a b A B =，
所以2sin sin b A B a
==
=．
（3）因为1cos 4
A =-，所以
ππ2A <<，故π02B <<
，又sin A ==
所以1sin 22sin cos 24A A A ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，2
17cos 22cos 121168A A =-=⨯-=-
，而
sin B =
cos B ==
故7sin(2)sin 2cos cos 2sin 8A B A B A B ⎛-=-=+= ⎝⎭
． 3．
(2)12
【分析】（1）先表示出123,,S S S
，再由123S S S -+=求得2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得22sin sin sin b ac B A C
=，即可求解.
【详解】（1
）由题意得2222
1231,,2S a S S =⋅==
，则222123S S S -+=
=
即2
2
2
2a c b +-=，由余弦定理得222
cos 2a c b B ac
+-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又
1
sin 3B =，
则cos B
1cos ac B ==
1sin 2ABC
S ac B =
=
（2）由正弦定理得：sin sin sin b a c
B A C
==
，则2
29sin sin sin sin sin 4b a c ac B A C A C =
⋅===，则3
sin 2
b B =，31sin 22b B ==.
4．(1)
5π
8
； (2)证明见解析．
【分析】（1）根据题意可得，()sin sin C C A =-，再结合三角形内角和定理即可解出； （2）由题意利用两角差的正弦公式展开得
()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再根据正弦定理，余弦定理化
简即可证出．
【详解】（1）由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π
02
B <<
，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8
C =． （2）由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，
()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得，
cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，
()()()()2222222222221111
2222
a c
b b
c a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得： 2222a b c =+，故原等式成立．
5．(1)见解析 (2)14
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c +，即可得解. 【详解】（1）证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，
所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-， 所以222222222
2222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅，
即()
222222222
22
a c
b a b
c b c a +-+--+-=-， 所以2222a b c =+； （2）解：因为25
5,cos 31
a A ==， 由（1）得2250
b
c +=，
由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 则50
502531
bc -
=， 所以312
bc =
， 故()2
222503181b c b c bc +=++=+=， 所以9b c +=，
所以ABC 的周长为14a b c ++=. 6．
(2)22．
【分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab
+-=
以及4a =可解出a ，即可由三角形面积公
式in 1
2
s S ab C =求出面积．
【详解】（1）由于3
cos 5
C =， 0πC <<，则4
sin 5
C =
．因为4a =，
由正弦定理知4sin A C =
，则sin A C =
=
（2
）因为4a =，由余弦定理，得2
2
22221612111355cos 22225
a a a a
b
c C ab a a +--
+-====， 即26550a a +-=，解得5a =，而4
sin 5
C =，11b =， 所以ABC 的面积114
sin 51122225
S ab C ==⨯⨯⨯=．
7．(1)π
6；
(2)5．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将
cos sin 21sin 1cos2A B
A B
=++化成
()cos sin A B B +=，再结合π
02
B <<
，即可求出；
（2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将22
2
a b c +化成
222
4cos 5cos B B +-，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为
2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B
A B B B
===++，即
()1
sin cos cos sin sin cos cos 2
B A B A B A B
C =-=+=-=， 而π02
B <<
，所以π6B =；
（2）由（1）知，sin cos 0B C =->，所以
ππ
π,022
C B <<<<， 而πsin cos sin 2B C C ⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭，
所以π2C B =+，即有π22A B =-，所以30,,,424B C πππ⎛⎫⎛⎫
∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以
222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B
c C B
+++-== ()2
2
2
22
2
2cos 11cos 2
4cos 555cos cos B B
B B
B
-+-=
=+
-≥=．
当且仅当2
cos B =222a b c +的最小值为5．
8．（1（2）存在，且2a =. 【分析】（1）由正弦定理可得出23c a =，结合已知条件求出a 的值，进一步可求得b 、c 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B ，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值. 【详解】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，
222
1
cos 28a b c C
ab
，所以，C 为锐角，则sin C ==
因此，11
sin 452
2
ABC S ab C ==⨯⨯△ （2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，
由余弦定理可得()()()()
2
2
2
22221223
cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---=
==<++， 解得13a -<<，则0<<3a ，
由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ∈，故2a =. 9．（1）证明见解析；（2）7
cos 12
ABC ∠=
. 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有ac
BD b
=
，结合已知即可证结论. （2）方法一：两次应用余弦定理，求得边a 与c 的关系，然后利用余弦定理即可求得
cos ABC ∠的值.
【详解】（1）设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理， 得sin sin ,22b c
R ABC C R
=
=∠， 因为sin sin BD ABC a C ∠=，所以22b c
BD a R R
⋅=⋅，即BD b ac ⋅=． 又因为2b ac =，所以BD b =．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为2AD DC =，如图，在ABC 中，222
cos 2a b c C ab
+-=，①
在BCD △中，222
()3cos 23
b
a b b a C +-=⋅
．② 由①②得2222223()3b a b c a b ⎡⎤+-=+-⎢⎥⎣⎦
，整理得2
2211203a b c -+=．
又因为2b ac =，所以2261130a ac c -+=，解得3
c
a =或32c a =，
当22,33c c a b ac ===时，33c c
a b c +=<（舍去）
． 当2233,22c c a b ac ===时，2
2233()72
2cos 31222c c ABC c c c +⋅-
==⋅∠． 所以7cos 12
ABC ∠=
． [方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知2AD DC =，则2
3
ABD ABC S S =
△△， 即21221
sin sin 2332
b a
c AD A B BC ⨯=⨯⨯∠∠，
而2b ac =，即sin sin ADB ABC ∠=∠， 故有ADB ABC ∠=∠，从而ABD C ∠=∠． 由2b ac =，即
b c
a b =，即CA BA CB BD
=，即ACB ABD ∽， 故AD AB
AB AC
=，即23b
c c b =，
又2b ac =，所以2
3
c a =
， 则2227
cos 212
c a b ABC ac +-=
=∠． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知BD b AC ==，再由2AD DC =得21
,33
AD b CD b ==．
在ADB 中，由正弦定理得
sin sin AD BD
ABD A
=∠．
又ABD C ∠=∠，所以s 3sin n 2
i C b A b
=，化简得2sin sin 3C A =． 在ABC 中，由正弦定理知23c a =
，又由2b ac =，所以222
3
b a =． 在ABC 中，由余弦定理，得222
2
2
2
242
793cos 221223a a a a c b ABC ac a +--⨯∠+=
==． 故7cos 12
ABC ∠=
． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作DE AB ∥，交BC 于点E ，则DEC ABC △∽△．
由2AD DC =，得2,,333c a a
DE EC BE ===．
在BED 中，222
2(
)()33cos 23
23BED a c b a c -=⋅∠+⋅．
在ABC 中222
cos 2a a BC c A b c
+-=∠．
因为cos cos ABC BED ∠=-∠，
所以222
2
2
2
2(
)()3322233
a c b
a c
b a
c ac +-+-=-⋅⋅，
整理得22261130a b c -+=．
又因为2b ac =，所以2261130a ac c -+=， 即3c
a =
或32
a c =． 下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理 因为2AD DC =，所以2AD DC =． 以向量,BA BC 为基底，有21
33
BD BC BA =+． 所以2
22
441999
BD BC BA BC BA =
+⋅+， 即2
22441
cos 999
b a
c c ABC a ∠=
++， 又因为2b ac =，所以22944cos ac a ac ABC c ⋅∠=++．③ 由余弦定理得2222cos b a c ac ABC =+-∠， 所以222cos ac a c ac ABC =+-∠④ 联立③④，得2261130a ac c -+=．
所以32a c =或13
a c =． 下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，过点D 垂直于AC 的直线为y 轴，
DC 长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则()()()0,0,2,0,1,0D A C -．
由（1）知，3BD b AC ===，所以点B 在以D 为圆心，3为半径的圆上运动．
设()(),33B x y x -<<，则229x y +=．⑤
由2b ac =知，2BA BC AC ⋅=， 2222(2)(1)9x y x y ++-+．⑥
联立⑤⑥解得74x =-或732x =≥（舍去），29516y =， 代入⑥式得36||||6,3a BC c BA b =====， 由余弦定理得2227cos 212
a c
b ABC a
c +-∠==． 【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
10．（I ）3B π=；（II ）32⎤⎥⎝⎦
【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；
（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.
【详解】（I ）
[方法一]：余弦定理
由2sin b A =，得2
2223sin 4a A b ==⎝⎭，即22231cos 4a A b -=. 结合余弦定222
cos 2b c a A bc
+-=， ∴2
2222
23124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭， 即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=，
即444222222220a b c a c a b b c +++--=，
即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=，
即()()22
222a c b ac +-=， ∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->，
∴222a c b ac +-=， 所以2221cos 22
a c
b B a
c +-==， 又B 为ABC 的一个内角，故3B π
=.
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
由2sin b A =，结合正弦定理可得：2sin sin ,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π
=.
（II ） [方法一]：余弦定理基本不等式
因为3B π
=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，
即223()ac a c b =+-. 结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤. 由临界状态（不妨取2A π
=
）可知a c b
+=而ABC
为锐角三角形，所以a c b
+>由余弦定理得222222
1cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab
+-+-++=++， 222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭
故cos cos cos A B C ++
的取值范围是32⎤⎥⎝⎦
. [方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有：
12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭
11cos cos 22A A A =-
+11cos 22
A A =++ 1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭. 由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，
则sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦
，13sin 622A π⎤⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++
的取值范围是32⎤⎥⎝⎦
. 【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.
11．（1）23
π；（2
）3+【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；
（2）方法一：利用余弦定理可得到()2
9AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果.
【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，
2221cos 22
AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅， ()0,A π∈，23
A π∴=. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式
由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=，
即()2
9AC AB AC AB +-⋅=. 2
2AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭
（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，
解得：AC AB +≤AC AB =时取等号），
ABC ∴
周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴
周长的最大值为3+[方法二]：正弦化角（通性通法） 设,66π
π
αα=+=-B C ，则66π
π
α-<<
，根据正弦定理可知sin sin sin a b c A B C
===
以sin )b c B C +=
+sin sin 6
6ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭
⎦α=≤0α=，即6B C π
==时，等号成立．此时ABC
周长的最大值为3+
[方法三]：余弦与三角换元结合
在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即
2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c
．令13sin ,20,2b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩
，得
3sin b c θθ+=6πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝
⎭6C π=时，max ()b c +=
所以ABC 周长的最大值为3+
【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；
方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.
方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.
方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.
12．（1）3A π
=；（2）证明见解析
【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭可化为251cos cos 4
A A -+=，即可解出；
（2）根据余弦定理可得222b c a bc +-=，将b c -代入可找到,,a b c 关系， 再根据勾股定理或正弦定理即可证出． 【详解】（1）因为25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=， 即251cos cos 4
A A -+=， 解得1cos 2A =
，又0A π<<， 所以3A π
=；
（2）因为3A π=，所以2221cos 22
b c a A bc +-==， 即222b c a bc +-=①，
又b c -②， 将②代入①得，()2223b c b c bc +--=， 即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =，
所以a =，
故222b a c =+，
即ABC 是直角三角形．
【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．。