解直角三角形应用举例

海洋100海里以内的区域，如图，设A、B
是我们的观察站，A和B 之间的距离为
157.73海里，海岸线是过A、B的一条直
线，一外国船只在P点，在A点测得
∠BAP=450，同时在B点测得∠ABP=600，
问此时是否要向外国船只发出警告，令
其退出我国海域.
P
A
B
——坡度、坡角
学习目标
1、知道坡角、坡比（坡度）的意义。 2、能将h、l、c、i各量的计算问题转化 为解直角三角形的问题，这些量中若已知 两个量，可求其他量. 3、在有些实际问题中没有直角三角形， 学会添加辅助线构造直角三角形.
Ex
x
100 2xD
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知 相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角 形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某 边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实 际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实 际问题化归为直角三角形中的边角关系。
2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联 系，所以在复习时要形成知识结构，要把解直 角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问 题时合理运用。
65° P
C 34°
B
例4.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内 有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测 得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达 D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如 果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁 的危险？
A
60°
B 12
30°
DF
3.国外船只，除特许外，不得进入我国
___1 :__3__。
h
α
L
例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高
23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度
i=1∶2.5，求：
（1）坝底AD与斜坡AB的长度。（精确到0.1m ）
（2）斜坡CD的坡角α。（精确到 ）
10
分析：（1）由坡度i会想到产 生铅垂高度，即分别过点B、 C作AD的垂线。
BE=CF=23m EF=BC=6m
AB AE2 BE2 692 232 72.7m
在Rt△ABE中
i
BE AE
1 3
AE 3BE 3 23 69m
在Rt△DCF中，同理可得
i CF
1
FD
2.5
FD 2.5CF 2.5 23 57.5m
AD AE EF FD
=69+6+57.5
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线 的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅 仰角 直 线 俯角
水平线
视线
例 1为缓解“停车难”问题，某单位拟建造 地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车 库的设计示意图，按规定，地下停车库坡道 口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车 辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该
AB。
A
3x
45° 60°
C
D xB
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为450。问 题如下：变式： 沿着坡角为30 °的斜坡前 进300米到达D点，在D点测得山顶A的仰角 为600 ,求山高AB。 A
D xF
30°
C
Ex B
3、在山顶上处D有一铁塔，在塔顶B处测 得地面上一点A的俯角α=60o，在塔底D测 得点A的俯角β=45o，已知塔高BD=30米， 求山高CD。
1、如图，为了测量电线杆的高度AB，在离 电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪 CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电 线杆AB的高．（精确到0.1米）
1.20
=220 22.7
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。
问题如下：
1）沿着水平地面向前300米到达D点，
在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高
米
2 1.414 3 1.732 ）
D 12米
C
4米
45°
A
E
30°
F
B
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
DE＝CF＝4（米）， CD＝EF＝12（米）． 在Rt△ADE中，
i DE 4 tan45 AE AE
AE 4 4(米) tan 45
D 12米
4米
图计算CE.（精确到0. 1 m)
例2、如图，为了测量某建筑物AB的高度， 在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为 30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D 处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建
筑物AB的高度等于（ C ）
A.12( 3 1) m C. 6( 3 1) m
B. 6( 3 1)m D. 12( 3 1)m.
45°
A
E
C
30°
F
B
在Rt△BCF中，同理可得
BF 4 6.93(米) tan 30
因此AB＝AE＋EF＋BF
≈4＋12＋6.93≈22.93（米）． 答： 路基下底的宽约为22.93米．
2. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中 i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的 比），根据图中数据求：
如图：点A在O的北偏东30°
点B在点O的南偏西45°（西南方向） 北A
30°
西
45°O
东
B南
例3如图，一艘海轮位于 灯塔P的北偏东65°方向， 距离灯塔80海里的A处，
它沿正南方向航行一段时 间后，到达位于灯塔P的 南偏东34°方向上的B处， 这时，海轮所在的B处距 离灯塔P有多远（精确到
0.01海里）？
C
1.2
1.2
30°
A
B
为了增加抗洪能力，现将横断面如图
所示的大坝加高，加高部分的横断面为梯
形DCGH，GH∥CD，点G、H分别在AD、 BC的延长线上,当新大坝坝顶宽为4.8米 时，大坝加高了几米？
H
G
D M 6米 N C
A
E
F
B
1、植树ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，某班同学决定去坡度为1:2的山
坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距
B α
D
β
C
A
利用解直角三角形的知识解决实际问题的 一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出 平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三 角形函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
方位角
指南或指北的方向线与目标方向线构成 小于900的角,叫做方位角.
（1）坡角a和β;
（2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）
i=1:1.5
α B
AD 6m
FE
i=1:3
β C
一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米. 台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根 据这个城市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角 不得超过30°．从斜坡的起点至楼门的最短 的水平距离该是多少？（精确到0.1米）
A
6
i 1 : 3B E
C
i=1:2.5
Fα
23
D
（2）斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上 就是解Rt△ ABE和Rt△ CDF。
A
解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，
6
i 1 : 3B
C
i=1:2.5
α
23
EF D
垂足分别为点E、 F,由题意可知
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
离）是6m，斜坡上相邻两树间的坡面距离
为
m.
C
A i=1:2
C 6m
B
Ax D
B
2、如图，为了测量小河的宽度，在河的岸
边选择A、B两点，在对岸选择一个目标点C，
测得∠BAC=60°, ∠ABC=45°;AB=20m, 则
河宽
米.
例 3 如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖 点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点 C的仰角为45°，已知OA=100米，山坡坡度为1： 2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的 高度以及此人所在位置点P的铅直高度.（测倾器 的高度忽略不计，结果保留根号形式）
坡面
i= h : l
h
α
1、坡角
水平面
l
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。
如2、图坡所示度，（坡或面坡的比铅）垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i,
即
h
i=——
l
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
3、坡度与坡角的关系
i
h l
tan
坡度等于坡角的正切值
1、斜坡的坡度是 1 : 3 则坡α=___3_0__度。 2、斜坡的坡角是450 ，则坡比是_1_：_1__。 3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是
=132.5m
(2) 斜坡CD的坡度i=tanα=1：2.5=0.4 由计算器可算得
220
答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB 的长约为72.7米．斜坡CD的坡角α约 为22°。
一段路基的横断面是梯形，高为4米，上
底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角
分别是45°和30°，求路基下底的
宽．（精确到0.1