槐荫区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

槐荫区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A ．众数 B ．平均数 C ．中位数
D ．标准差
2． 已知定义在R 上的可导函数y=f （x ）是偶函数，且满足xf ′（x ）＜0， =0，则满足
的x 的范围为（ ）
A ．（﹣∞，）∪（2，+∞）
B ．（，1）∪（1，2）
C ．（，1）∪（2，+∞）
D ．（0，）∪（2，+∞）
3． 函数y=sin2x+cos2x 的图象，可由函数y=sin2x ﹣cos2x 的图象（ ）
A ．向左平移个单位得到
B ．向右平移个单位得到
C ．向左平移
个单位得到 D ．向左右平移
个单位得到
4． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是
A 、28+
B 、30+
C 、56+
D 、 60+
5． 在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥平面1=22
ABC AA BC BAC π
=∠=，，,此三棱
柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ） A ．
323π B ．16π C.253π D ．312
π
6． 若全集U={﹣1，0，1，2}，P={x ∈Z|x 2＜2}，则∁U P=（ ） A ．{2} B ．{0，2} C ．{﹣1，2} D ．{﹣1，0，2}
7． 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ） A ． B ． C ．
D ．
8． 若命题p ：∃x ∈R ，x ﹣2＞0，命题q ：∀x ∈R ，＜x ，则下列说法正确的是（ ）
A ．命题p ∨q 是假命题
B ．命题p ∧（￢q ）是真命题
C ．命题p ∧q 是真命题
D ．命题p ∨（￢q ）是假命题
9． 设P 是椭圆+=1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于（ ）
A ．22
B ．21
C ．20
D ．13
10．如图，设全集U=R ，M={x|x ＞2}，N={0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A ．{3}
B ．{0，1}
C ．{0，1，2}
D ．{0，1，2，3}
11．若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()
2121
0f x f x x x -<-，则
（ ）
A ．()()()213f f f -<<
B ．()()()123f f f <-<
C ．()()()312f f f <<
D ．()()()321f f f <-<
12．已知a ＞0，实数x ，y 满足：，若z=2x+y 的最小值为1，则a=（ ）
A ．2
B ．1
C ．
D ．
二、填空题
13．已知变量x ，y ，满足，则z=log 4（2x+y+4）的最大值为
．
14．若函数y=f （x ）的定义域是[，2]，则函数y=f （log 2x ）的定义域为 ．
15．已知x 、y 之间的一组数据如下：
x 0 1 2 3 y 8 2 6
4
则线性回归方程
所表示的直线必经过点 ．
16．设,x y 满足条件,
1,
x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩，若z ax y =-有最小值，则a 的取值范围为 ．
17．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=3
x x +，对任意的m ∈[﹣2，2]，f （mx
﹣2）+f （x ）＜0恒成立，则x 的取值范围为_____．
18．如果直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行．那么a等于．
三、解答题
19．（本小题满分12分）为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了普法
知识竞赛.5名职工的成绩，成绩如下表：
（1
掌握更稳定；
（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的
分数差至少是4的概率.
20．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）求证：BD⊥AE．
21．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：
[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（Ⅰ）求图中x的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；
（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．
22．设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0
（Ⅰ）求实数a，b的值
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
23．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数()()2
ln R f x x ax x a =-+-∈.
（1）若函数()f x 是单调递减函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 在区间()0,3上既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.
24．现有5名男生和3名女生．
（1）若3名女生必须相邻排在一起，则这8人站成一排，共有多少种不同的排法？
（2）若从中选5人，且要求女生只有2名，站成一排，共有多少种不同的排法？
槐荫区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．
B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90
众数分别为88，90，不相等，A错．
平均数86，88不相等，B错．
中位数分别为86，88，不相等，C错
A样本方差S2=[（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，标准差S=2，
B样本方差S2=[（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，标准差S=2，D正确
故选D．
【点评】本题考查众数、平均数、中位标准差的定义，属于基础题．
2．【答案】D
【解析】解：当x＞0时，由xf′（x）＜0，得f′（x）＜0，即此时函数单调递减，
∵函数f（x）是偶函数，
∴不等式等价为f（||）＜，
即||＞，即＞或＜﹣，
解得0＜x＜或x＞2，
故x的取值范围是（0，）∪（2，+∞）
故选：D
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．3．【答案】C
【解析】解：y=sin2x+cos2x=sin（2x+），
y=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）+）]，
∴由函数y=sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位得到y=sin（2x+），
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象关系，利用辅助角公式将函数化为同名函数是解决本题的关键．
4．【答案】B
【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，
所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。

利用垂直关系和三角形面积公式，可得：
====
10,10,10,
S S S S
后右左
底
S=+B．
因此该几何体表面积30
5．【答案】A
【解析】
考点：组合体的结构特征；球的体积公式.
【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
6．【答案】A
【解析】解：∵x2＜2
∴﹣＜x＜
∴P={x∈Z|x2＜2}={x|﹣＜x＜，x∈Z|}={﹣1，0，1}，
又∵全集U={﹣1，0，1，2}，
∴∁U P={2}
故选：A．
7．【答案】B
【解析】【知识点】函数的奇偶性
【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数，y=x是奇函数，故是偶函数。

故答案为：B
8．【答案】B
【解析】解：∃x∈R，x﹣2＞0，即不等式x﹣2＞0有解，∴命题p是真命题；
x＜0时，＜x无解，∴命题q是假命题；
∴p∨q为真命题，p∧q是假命题，￢q是真命题，p∨（￢q）是真命题，p∧（￢q）是真命题；故选：B．
【点评】考查真命题，假命题的概念，以及p∨q，p∧q，￢q的真假和p，q真假的关系．9．【答案】A
【解析】解：∵P是椭圆+=1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，|PF1|等于4，
∴|PF2|=2×13﹣|PF1|=26﹣4=22．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆定义的应用．
10．【答案】C
【解析】解：由图可知图中阴影部分所表示的集合∁M∩N，
∵全集U=R，M={x|x＞2}，N={0，1，2，3}，
∴∁M={x|x≤2}，
∴∁M∩N={0，1，2}，
故选：C
【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件确定集合的基本关系是解决本题的关键．
11．【答案】D
12．【答案】C
【解析】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，
由，解得，
即C（1，﹣1），
∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，
∴﹣1=﹣2a，
解得a=．
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
二、填空题
13．【答案】
【解析】解：作的可行域如图：
易知可行域为一个三角形，
验证知在点A（1，2）时，
z1=2x+y+4取得最大值8，
∴z=log4（2x+y+4）最大是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
14．【答案】 [，4] ．
【解析】解：由题意知≤log
2x ≤2，即log 2≤log 2x ≤log 24，
∴
≤x ≤4．
故答案为：[
，4]．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，正确理解“函数y=f （x ）的定义域是[，2]，得到≤log 2x ≤2”是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．
15．【答案】 （，5） ．
【解析】解：∵，
=5
∴线性回归方程y=a+bx 所表示的直线必经过点（1.5，5）
故选C
【点评】解决线性回归直线的方程，利用最小二乘法求出直线的截距和斜率，注意由公式判断出回归直线一定过样本中心点．
16．【答案】[1,)+∞ 【解析】解析：不等式,
1,
x y a x y +≥⎧⎨
-≤-⎩表示的平面区域如图所示，由z ax y =-得y ax z =-，当01a ≤<时，
平移直线1l 可知，z 既没有最大值，也没有最小值；当1a ≥时，平移直线2l 可知，在点A 处z 取得最小值；当10a -<<时，平移直线3l 可知，z 既没有最大值，也没有最小值；当1a ≤-时，平移直线4l 可知，在点
A 处
取得最大值，综上所述，1a ≥．
17．【答案】22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解析】
18．【答案】 ．
【解析】解：∵直线3ax+y ﹣1=0与直线（1﹣2a ）x+ay+1=0平行，
∴3aa=1（1﹣2a ），解得a=﹣1或a=， 经检验当a=﹣1时，两直线重合，应舍去
故答案为：．
【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．
三、解答题
19．【答案】（1）90=甲x ,90=乙x ,5242
=甲s ,82=乙s ，甲单位对法律知识的掌握更稳定；（2）2
1
. 【解析】
试题分析：（1）先求出甲乙两个单位职工的考试成绩的平均数,以及他们的方差,则方差小的更稳定；（2）从乙单位抽取两名职工的成绩,所有基本事件用列举法得到共10种情况,抽取的两名职工的分数差至少是的事件用列举法求得共有种,由古典概型公式得出概率.
试题解析：解：（1）90939191888751=++++=）
（甲x ，9093929189855
1=++++=）（乙x 524
])9093()9091()9091()9088()9087[(51222222
=-+-+-+-+-=
甲s 8])9093()9092()9091()9089()9085[(51222222
=-+-+-+-+-=乙s
∵85
24
<，∴甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位对法律知识的掌握更稳定. （6分）
考
点：1.平均数与方差公式；2.古典概型． 20．【答案】
【解析】
【分析】（Ⅰ）连接FO，则OF为△BDE的中位线，从而DE∥OF，由此能证明DE∥平面ACF．
（Ⅱ）推导出BD⊥AC，EC⊥BD，从而BD⊥平面ACE，由此能证明BD⊥AE．
【解答】证明：（Ⅰ）连接FO，∵底面ABCD是正方形，且O为对角线AC和BD交点，
∴O为BD的中点，
又∵F为BE中点，
∴OF为△BDE的中位线，即DE∥OF，
又OF⊂平面ACF，DE⊄平面ACF，
∴DE∥平面ACF．
（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC，
∵EC⊥平面ABCD，∴EC⊥BD，
∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥AE．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由（0.006×3+0.01+0.054+x）×10=1，解得x=0.018，
前三组的人数分别为：（0.006×2+0.01+0.018）×10×50=20，第四组为0.054×10×50=27人，故数学成绩的众数落在第四组，故众数为75分．
（Ⅱ）分数在[40，50）、[90，100]的人数分别是3人，共6人，
∴这2人成绩均不低于90分的概率P==．
【点评】本题考查频率分布直方图及古典概型的问题，前者要熟练掌握直方图的基本性质和如何利用直方图求众数；后者往往和计数原理结合起来考查．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f′（x）=6x2+2ax+b
从而f′（x）=6y=f′（x）关于直线x=﹣对称，
从而由条件可知﹣=﹣，解得a=3 又由于f ′（x ）=0，即6+2a+b=0，解得b=﹣12
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）=2x 3+3x 2
﹣12x+1
f ′（x ）=6x 2+6x ﹣12=6（x ﹣1）（x+2） 令f ′（x ）=0，得x=1或x=﹣2
当x ∈（﹣∞，﹣2）时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（﹣∞，﹣2）上是增函数； 当x ∈（﹣2，1）时，f ′（x ）＜0，f （x ）在（﹣2，1）上是减函数； 当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（1，+∞）上是增函数．
从而f （x ）在x=﹣2处取到极大值f （﹣2）=21，在x=1处取到极小值f （1）=﹣6．
23．【答案】（1）a ≤2）193
a <<. 【解析】试题分析：
（1）原问题等价于()0f x '≤对()0,+∞恒成立，即1
2a x x
≤+对()0,+∞恒成立，结合均值不等式的结论可
得a ≤
（2）由题意可知()221
0x ax f x x
-+-'=
=在()0,3上有两个相异实根，结合二次函数根的分布可得实数a 的
取值范围是19
3
a <<.
试题解析：
（2）∵函数()f x 在()0,3上既有极大值又有极小值，
∴()221
0x ax f x x
-+-'=
=在()0,3上有两个相异实根， 即2
210x ax -+=在()0,3上有两个相异实根，
记()2
21g x x ax =-+，则()()0
03{ 4
0030a
g g ∆><<>>
，得{012 19
3
a a a a -<<<
，
即19
3
a <<.
24．【答案】
【解析】解：（1）先排3个女生作为一个整体，与其余的5个元素做全排列有 A 33A 66
=4320种．
（2）从中选5人，且要求女生只有2名，则男生有3人，先选再排，故有C 32C 53A 55
=3600种
【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式、组合数公式的应用，注意特殊元素和特殊位置要优先排．。