随机过程——泊松过程(习题讲解)

n 0 k 1
n ( x t )n
n!
e ( x t )
因此，
dP( Sn k
k 1 n ( x t )n ( x t ) d 1 e k k 1 n! x | N (t ) n) n 0 ( x t ) e ( x t ) dx dx (k 1)!
即，在 N (t ) n 条件下，在时刻 t 之后首次事件发生的平均时间为 t


1 .
下面求 E{Sn k | N (t ) n} ， （ k 1） ： E ( Sn k | N (t ) n)

t
xdP(Sn k x | N (t ) n) ，而
由于在 N(t)=n 的条件下，n 个到达时刻 < < …< 区 间 [0 ， t] 上 均 匀 分 布
（ ）<
与时间
,
,… ，
的 顺 序 统 计量
<…<
有相同分布，所以
故
= 习题九：假设车站有两辆客车准备开出，乘客以速率为 泊松过程登上 A 车，当 A 车坐满 的事件，乘客以速率为 的
个乘客就开出；与此独立
P( Sn k x, N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k , N (t ) n) P( N (t ) n) P( N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k ) P( N (t ) n) P( N ( x t ) k ) 1 P( N ( x t ) k 1) P( N (t ) n) P( Sn k x | N (t ) n) 1
t
e ( x t )

E ( S N (t ) 1 | N (t ) n)
xdP( S N (t ) 1 x | N (t ) n)
t
xe ( x t ) dx
1 t 1 y x t ( y t ) e y dy ye y dy t e y dy 2 t 0 0 0
第三章 泊松过程
习题二：令 其中，W(t)表示剩余寿命，V(t)表示年 龄.
（1） （2）由于 W (t ) S N (t )1 - t ，所以，
P( N (t ) k | W (t ) x)
P( N (t ) k ,W (t ) x) P( N (t ) k , S N (t ) 1 t x) P(W (t ) x) P( S N (t ) 1 t x) P( N (t ) k , N (t x) N (t ) 0) P( N (t x) N (t ) 0)
J




0


0

0

因此，
E ( Sn k | N (t ) n)
y k e y dy t y k 1e y dy 0 0 (k 1)!
k
(k 1)! k k! t t k 1 (k 1)! k
P( N (t ) k , S N (t ) 1 x t ) P( S N (t ) 1 x t )
P( N (t ) k ) P( N (t x) N (t ) 0) P( N (t ) k ) P( N (t x) N (t 是独立的，即 S N (t ) 1 - t与N (t ) 是独立的。 故， S N (t ) 1 - t 与 N (t ) k 也是独立的。
,t>=0， 由于 和 是独立的，则：
习题四：设随机变量 X,Y 相互独立，且分别 服从速率为 和 的泊松过程，试证明：
[
证
明
]
习题八：假设到达机场的旅客为速率是λ 的泊松过程，假设 飞机在 t 时刻起飞，求在[0，t]到达机场的旅客等待时间总 和的期望值. [解]：设 是第 k 个旅客到达机场的时刻，在[0，t]时间段 到达机场的旅客人数为 N(t),则[0，t]到达机场的旅客等待 时间总和为 其 中
k
即，在 N (t ) n 条件下，在时刻 t 之后第 k 个事件发生的平均时间为 t

k .
注释：关于分部积分 d (uv) du v u dv ，因此， d (uv) v du u dv, 即



v du d (uv) u dv
的泊松过程登上 B 车，当 B 车坐满
个乘客时就开出.现问：A 车在 B 车之后开出的概率是什 么. [解]： (1)令 表示乘坐 A 车的第 个乘客的到达时间， 表
示乘坐 B 车的第
个乘客的到达时间,根据题意，其 A 车在 },
B 车之后启动的概率为 p{
针对简单的泊松计数过程 X(t),到达时间的概率密度函 数为 由此 ,t>=0 ,t>=0，
因此，
P( S N (t ) 1 x | N (t ) n)
P( S N (t ) 1 x, N (t ) n)

P( N ( x) N (t ) 1, N (t ) n) P( N (t ) n)
dP( S N (t )1 x | N (t ) n) dx
()
y
本题在计算 J 时，取 () 式中， u e
, v yk 。
（4） V (t ) 与 W (t ) 是否独立？ 当 0 x t , y 0 时，
P(V (t ) x,W (t ) y ) P( N (t ) N (t x) 0, N (t y ) N (t ) 0) P( N (t y ) N (t x) 0) e ( x y ) P(V (t ) x) e x , P(W (t ) y ) e y
k
令J


0
y k e y dy ，利用分部积分计算，
1 1 y k e y dy y k d (e y ) y k e y ky k 1e y dy 0 0 0 0 k k k 1 k 2 y k ! y k! y k 1e y dy y e dy ye dy k 1 k 1
(3) 先求 E{S N (t )1 | N (t ) n} : E ( S N (t ) 1 | N (t ) n) 而 x t 时，


t
xdP( S N (t ) 1 x | N (t ) n)
P( N (t ) n) P( N ( x) N (t ) 1) P( N (t ) n) P( N ( x t ) 1) 1 P( N ( x t ) 0) 1 e ( x t ) P( N (t ) n)
因此， P(V (t ) x,W (t ) y) P(V (t ) x) P(W (t ) y) 对于其他情况，都有 P(V (t ) x,W (t ) y) P(V (t ) x) P(W (t ) y) 0 所以 V (t ) 与 W (t ) 独立。

E ( Sn k | N (t ) n) y x t ( y t)
0
t
x
k ( x t )k 1
(k 1)! e y dy
e ( x t ) dx
k y k 1
(k 1)!
y k e y dy t y k 1e y dy 0 0 (k 1)!