18.1.2平行四边形的判定(2)第2课时教案

第2课时平行四边形的判定(2)

1．掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法；(重点) 2．掌握中位线的定义及中位线定理；(重点)

3．平行四边形性质与判定的综合运用．(难点)

一、情境导入

如图所示，吴伯伯家一块等边三角形ABC的空地，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出需要篱笆的长度吗？

二、合作探究

探究点一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

【类型一】判定四边形是平行四边形

如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．

解析：首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD＝CB，∠DAF ＝∠BCE，可证出AD∥CB.根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证出结论．

解：四边形ABCD是平行四边形．理由如下：∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB.又∵AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．

方法总结：根据题设条件，通过证明三角形全等，得出等量关系，继而证明四边形是平行四边形是判定时的一般解题思路．【类型二】判定平行四边形的条件

四边形ABCD中，对角线AC、BD 相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB ＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有()

A．3种B．4种C．5种D．6种

解析：①②组合可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；③④组合可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用“一组对边平行且相等的四边

形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；综上有4种可能使四边形ABCD为平行四边形．故选B.

方法总结：熟练运用平行四边形的判定定理是解决问题的关键．

探究点二：三角形的中位线

【类型一】利用三角形中位线定理求线段的长

如图，在△ABC中，D、E分别为

AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于

点F.若DF＝3，则AC的长为(

)

A.

3

2

B．3

C．6

D．9

解析：∵D、E分别为AC、BC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠2

＝∠3.又∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠3，

∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD

＝6.故选C.

方法总结：本题考查了三角形中位线定

理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键

是熟记性质并熟练应用．

【类型二】利用三角形中位线定理求

角

如图，C、D分别为EA、EB的中

点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为

()

A．80°B．90°

C．100°D．110°

解析：∵C、D分别为EA、EB的中点，

∴CD是△EAB的中位线，∴CD∥AB，∴∠2

＝∠ECD.∵∠1＝110°，∠E＝30°，∴∠2

＝∠ECD＝80°.故选A.

方法总结：中位线定理涉及平行线，所

以利用中位线定理中的平行关系可以解决

一些角度的计算问题．

【类型三】运用三角形的中位线性质

进行计算

如图，在△ABC中，AB＝5，AC

＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，

CM⊥AM，垂足为点M，延长CM交AB于

点D，求MN的长．

解析：首先证明△AMD≌△AMC，得

到DM＝MC，易得MN为△BCD的中位线，

即可解决问题．

解：∵AM 平分∠BAC ，CM ⊥AM ，∴∠DAM ＝∠CAM ，∠AMD ＝∠AMC .在△AMD 与△AMC 中，⎩⎪⎨⎪

⎧∠DAM ＝∠CAM ，AM ＝AM ，

∠AMD ＝∠AMC ，∴△AMD ≌△AMC (ASA)，∴AD ＝AC ＝3，

DM ＝CM .又∵BN ＝CN ，∴MN 为△BCD 的中位线，∴MN ＝12BD ＝1

2

×(5－3)＝1.

方法总结：当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点．

【类型四】 中位线定理的综合应用

如图，E 为▱ABCD 中DC 边的延

长线上一点，且CE ＝DC ，连接AE ，分别交BC 、BD 于点F 、G ，连接AC 交BD 于O ，连接OF ，判断AB 与OF 的位置关系和大小关系，并证明你的结论．

解析：本题可先证明△ABF ≌△ECF ，从而得出BF ＝CF ，这样就得出了OF 是△ABC 的中位线，从而利用中位线定理即可得出线段OF 与线段AB 的关系． 解：AB ∥OF ，AB ＝2OF .证明如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，OA ＝OC ，∴∠BAF ＝∠CEF ，∠ABF ＝∠ECF .∵CE ＝DC ，∴AB ＝CE .在△ABF 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪

⎧∠BAF ＝∠CEF ，AB ＝CE ，

∠ABF ＝∠ECF ，∴△ABF ≌△ECF (ASA)，∴BF ＝CF .∵OA

＝OC ，∴OF 是△ABC 的中位线，

∴AB ∥OF ，AB ＝2OF .

方法总结：本题综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断出OF 是△ABC 的中位线．

三、板书设计

1．平行四边形的判定定理(2)

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

2．三角形的中位线

三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

本节课，通过实际生活中的例子引出三角形的中位线，又从理论上进行了验证．在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机．对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环．